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(고등학교) 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계 이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계에 대해서 알아보았습니다. 이제 개념을 확장해서 이차함수와 직선이 만나는지 유무에 대해 알아보겠습니다.일반화이차함수 \(y=a_1x^2+b_1x+c_1\)와 직선 \(y=mx+n\)이 만나는 경우는 이 둘을 연립방정식을 풀었을 때, \(a_1x^2+b_1x+c_1=mx+n\) 실근을 갖게 되는 경우입니다. 여기서 표현되지 않는 \(x=k\)와 같은 직선도 같은 방법으로 사용가능합니다. 왜냐하면, 위의 식을 정리해서 만들어지는 \(a_1x^2+(b_1-m)x+(c_1-n)=0\)은 이차함수 \(y=a_1x^2+(b_1-m)x+(c_1-n)\)와 \(y=0\)(x축) 사이의 위치 관계에 해당되기 때문입니다. 즉, \(a_1=a, (b_1-m)=b, (c_1-n)=c\)로 .. 2023. 10. 29.
(고등학교) 이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계 이 부분은 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계에서 특별한 경우에 해당됩니다. \(x\)축도 직선의 일종이므로 이것을 별도로 이해할 필요는 없습니다. 그러나 일반적인 이차함수와 일반적인 직선이 만나는지를 표현하는 것이 쉽지 않기 때문에 먼저 이것을 서술해서 이해를 돕기 위함입니다. 먼저, 실계수 이차방정식은 판별식을 통해서 실근의 개수를 파악할 수 있었습니다. 또한 일차함수의 절편에서 일차방정식과 일차함수의 \(x\)절편 사이의 관계에 대해서도 설명을 했습니다. 이차방정식의 판별식이 양수인 경우 이차방정식 \(x^2-4x+3=0\)은 판별식이 \(D/4=b'^2-ac=2^2-1\cdot 3=1\)이므로 서로 다른 2개의 실근을 갖게 됩니다. 한편, \(y=x^2-4x+3\)의 그래프의 개형을 그려보면, .. 2023. 10. 29.
(고등수학) 두 도형의 위치 관계 고등학교 수학 교과과정의 많은 부분에서, 두 도형이 만나는지 그렇지 않은지 여부에 대한 부분이 있습니다. 예를 들어, 이차함수와 이차방정식의 관계, 이차함수와 직선의 위치 관계, 원과 직선의 위치관계, 이차도형과 직선의 위치 관계 등이 있습니다. 이 문제는 실근과 관련이 있습니다. 왜냐하면 고등학교에서는 좌표평면의 구성이 \(x\)축과 \(y\)축이 실수로 구성되는 직교 좌표계(데카르트 좌표 시스템)를 사용하기 때문입니다. 결국 도형이 만나는 경우는 실근을 갖는 경우이고, 만나지 않으면 실근이 없으니 허근을 갖는 경우입니다. 두 도형의 만남은 두 도형의 식으로 구성되는 연립방정식을 풀었을 때, 실근의 유무와 동치 관계입니다. 연립방정식을 풀 때, 어떤 미지수를 선택할 것인지는 정해져 있지 않고, 다만, .. 2023. 10. 29.
(고등학교) 절댓값 기호를 포함한 함수의 그래프 여기서 예제가 직선이라서 곡선에 대한 그래프와 해당 예제는 아래 글에서 볼 수 있습니다: https://dawoum.tistory.com/entry/절댓값 기호를 포함한 이차함수의 그래프 https://dawoum.tistory.com/entry/절댓값 기호를 포함한 이차함수의 그래프 예제와 해설 고등학교 과정에서 함수는 일차함수, 이차함수, 등의 다항함수와 지수함수, 로그함수, 삼각함수 등의 초월함수가 있습니다. 이런 기본 함수의 그림에서 절댓값 기호가 더해질 경우 그래프의 모양이 어떻게 바뀌는지 알아둘 필요가 있습니다. 다항식에서 절댓값 기호가 있게 되면 절댓값 안쪽의 값에 따라 부호가 달라지기 때문에, 그래프에서도 경계를 기점으로 부호가 달라지게 됩니다. 부호가 바뀌게 되면 그래프에서는 대칭과 관련.. 2023. 10. 29.
(고등학교) 이차함수 만들기 지금까지 이차함수의 특징에 대해서 알아보았습니다. 이번에는 이차함수의 특징을 알고 있을 때 이차함수를 구해보는 과정을 해보고자 합니다. 꼭짓점이 주어진 경우 이차함수의 표준형이 특징을 잘 나타내므로 가장 쉽게 구할 수 있습니다. 예를 들어, 꼭짓점의 좌표가 \((p,q)\)로 주어진 경우에는 다음과 같이 식을 만듭니다. \(\quad\)\(y=a(x-p)^2+q\) 이 후에 \(a\)의 값은 지나가는 한 점을 대입해서 구할 수 있습니다. 대칭축이 주어진 경우 이 경우에도 표준형을 사용하는 것이 좋습니다. \(\quad\)\(y=a(x-p)^2+q\) 대칭축이 주어지면, \(p\)의 값이 알려져 있는 것입니다. 나머지 \(a, q\)는 지나가는 점을 대입해서 주로 구합니다. x절편이 주어진 경우 일차함수의.. 2023. 10. 29.
(고등학교) 이차함수 이차 함수(quadratic function)는 다항함수 중에서 최고차항이 2차인 함수입니다. 이차 함수는 정의역과 공역이 실수의 집합인, 다음과 같은 꼴의 함수입니다. \(\quad\)\(f(x)=ax^2+bx+c\,(a\neq 0)\) 여기서 \(a\,(a\neq 0),\, b,\,c\)는 임의의 실수입니다. 일반적으로 새로운 함수를 만났을 때에는 정의역을 파악하는 것이 중요합니다. 정의역은 함수의 특징을 파악하기 위해서 대입해 볼 수 있는 것들을 의미합니다. 정의역에 없는 것은 대입을 해서는 안됩니다. 이전 과정에서 일차함수를 배울 때에도 가장 기본 모양에 정수를 하나씩 대입해서 그 결과를 이어서 직선의 모양을 갖는 것을 알아내었습니다. 지금도 마찬가지입니다. 이차함수의 가장 기본 모양에 정수를 하.. 2023. 10. 29.

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