전체 글3081 (고등학교) 스튜어트의 정리 스튜어트의 정리(Stewart's theorem)는 삼각형을 구성하는 선분들의 길이에 관한 식으로써, 스코틀랜드의 수학자 매튜 스튜어트의 이름을 따서 지어졌습니다. 삼각형의 한 꼭짓점에서 마주 보는 변을 내분하는 선을 그었을 때, 그 길이들 사이의 관계식이 스튜어트 정리입니다. 오른쪽 그림과 같이 \(\triangle \mathrm{ABC}\)의 세 변을 \(a, b, c\)로 나타내고 꼭짓점 \(\mathrm A\)에서 변 \(a\)에 그은 선을 \(d\)라고 표시했을 때, 변 \(d\)에 의해 변 \(a\)가 변 \(m, n\)으로 나누어지면 다음이 성립합니다. \(\quad\)\(b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)\,\) 특히 \(m = n\)일 때, \(d\)는 중앙 선이라 불리고, 관.. 2023. 10. 30. (고등학교) 아폴로니우스의 정리 아폴로니우스의 정리(Apollonius's theorem)는 기하학에서 삼각형의 각 변들 사이의 관계 중 하나를 나타낸 식으로써, 고대 그리스의 수학자인 페르게의 아폴로니우스의 이름을 따서 지어졌습니다. 이 정리는 스튜어트의 정리에서 나뉘는 변의 길이가 같을 때 발생합니다. 대한민국과 일본 등에서, 파푸스의 중선 정리라는 이름으로 잘못 알려져 있으며, 이외의 국가에서는 이 기사의 제목처럼 아폴로니우스의 정리로 불립니다. 간혹 중선정리라고 불리우기도 하지만 불분명한 명칭으로 여져지고, 아폴로니우스의 중선정리는 받아들여질만한 명칭입니다. 대한민국의 수학 명칭 중에 일부는 원래 만들어진 곳에서 불리는 명칭이 아니라, 정리 등의 특징을 고려해서 새롭게 만들어진 용어들이 꽤 있습니다. 한편, 대한민국의 수학 교재.. 2023. 10. 30. (고등학교) 두 점 사이의 거리(수학1) 직교 좌표계에서 두 점 사이의 거리는 최단 거리를 말하며, 물리량이므로 음의 값을 가질 수 없습니다. 또한 직선이 어느 공간에 놓여있는지에 따라 두 점 사이의 거리를 구하는 식이 다르게 표현됩니다. 수직선 위의 두 점 사이의 거리 수직선 위에서는 한 개의 변수만이 존재합니다. 오른쪽에 있는 값이 항상 크므로 수직선 위에 점이 표시되어 있을 때에는 오른쪽의 좌표에서 왼쪽의 좌표를 뺀 값이 거리입니다. 그러나, 수직선에 표시를 하지 않는 경우에는, 두 점 \(\mathrm{A}(x_1), \mathrm{B}(x_2)\) 사이의 거리는 다음과 같이 표현됩니다. \(x_1\geq x_2\)일 때, \(\mathrm{AB}=x_1-x_2\) \(x_1 < x_2\)일 때, \(\mathrm{AB}=x_2-x_1\.. 2023. 10. 30. (고등학교) 이차함수와 이차부등식의 관계 이차부등식에서 이차부등식의 해를 구하기 위한 방법에 대해 알아보았습니다. 또한, 이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계에서 이차방정식의 실근의 존재 유무에 대해 알아보았습니다. 여기서는 이차부등식을 이차함수와 \(x\)축 (\(y=0\)) 사이의 대소 비교를 통해서 해집합을 구하는 것에 대해 알아보겠습니다. 그래프의 개형은 최고차항이 양수인 경우만 다룹니다. 최고차항이 음수인 경우에는 양수로 만들어서 사고하시기 바랍니다. 예를 들어 \(ax^2+bx+c>0\;(a>0)\)의 해집합을 다음과 같은 과정으로 구합니다. \(y_1=ax^2+bx+c\)와 \(y_2=0\)인 2개의 도형을 그립니다. \(y_1>y_2\)를 만족하는 \(x\)좌표를 구합니다. 즉, 이차함수의 \(y\)좌표가 \(x\)축 (\(y=0.. 2023. 10. 30. (고등학교) 이차방정식의 실근의 분리 이차방정식의 실근의 부호 문제는 기준점이 \(0\)입니다. 여기서 좀 더 일반화시켜 기준점이 임의의 실숫값이 되는 것을 실근의 분리 문제라고 부릅니다. 실근의 부호에서는 판별식, 두 근의 합, 두 근의 곱으로 부호의 판정을 했습니다. 반면에 실근의 분리에서는 판별식, 대칭축, 함숫값을 이용합니다. 이차계수의 부호가 음수이면, 아래와 같이 함숫값의 부호만 달라집니다. 외우는 것보다 그래프의 개형으로 확인을 하는 것이 필요합니다. 여기서 대칭축은 \(\displaystyle x_s=-\frac{b}{2a}\)라고 놓습니다. \(\quad\)i) \(\alpha>p,\;\beta>p\) : \(D\geq 0,\;x_s>p,\;f(p) 2023. 10. 30. (고등학교) 이차방정식의 실근의 부호 이차방정식에서 판별식을 통해 어떤 근을 가질 것인지를 알 수 있었습니다. 여기서는 근의 부호(양수인지, 음수인지)를 알 수 있는 방법에 대해 알아보겠습니다. 이 문제를 이차방정식의 실근의 부호 문제라고 부릅니다. 이 문제를 이차방정식의 실근의 분리를 적용해서 풀어도 상관없습니다. 예를 들어 두 근이 모두 양수인 경우는 어떻게 알 수 있을까요? 우선은 판별식을 해야 합니다. 허수는 대소 관계의 정의가 없기 때문에 양수/음수의 개념 자체가 없습니다. 그러므로 반드시 실근이 나와야 하기 때문에 판별식 \(D \ge 0\)이어야 합니다. 이제 나온 두 실근이 모두 양수인 경우는 근의 합과 곱이 전부 양수인 경우입니다. 이를 정리하면 다음과 같습니다. 실계수 이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\)의 두 근을 \(.. 2023. 10. 30. 이전 1 ··· 500 501 502 503 504 505 506 ··· 514 다음
