(고등학교) 두 점 사이의 거리(수학1)

직교 좌표계에서 두 점 사이의 거리는 최단 거리를 말하며, 물리량이므로 음의 값을 가질 수 없습니다. 또한 직선이 어느 공간에 놓여있는지에 따라 두 점 사이의 거리를 구하는 식이 다르게 표현됩니다.

수직선 위의 두 점 사이의 거리

수직선 위에서는 한 개의 변수만이 존재합니다. 오른쪽에 있는 값이 항상 크므로 수직선 위에 점이 표시되어 있을 때에는 오른쪽의 좌표에서 왼쪽의 좌표를 뺀 값이 거리입니다.

그러나, 수직선에 표시를 하지 않는 경우에는, 두 점 $\mathrm{A}(x_1),\mathrm{B}(x_2)$ 사이의 거리는 다음과 같이 표현됩니다.

• $x_1\ge x_2$일 때, $\mathrm{AB}=x_1-x_2$
• $x_1<x_2$일 때, $\mathrm{AB}=x_2-x_1$

어느 값이 더 오른쪽에 있는지 알지 못하기 때문에 경우에 따라서 표현식이 달라집니다.

위의 경우는 절댓값을 사용해서 아래와 같이 간단히 나타낼 수 있습니다.

$$$\mathrm{AB}=|x_2-x_1|=|x_1-x_2|$

좌표평면 위의 두 점 사이의 거리

좌표 평면에서는 한 점이 2개의 변수로 표현이 됩니다.

두 점 $\mathrm{A}(x_1,y_1),\mathrm{B}(x_2,y_2)$ 사이의 거리는 피타고라스 정리로 구해집니다. 오른쪽 그림과 같이 $\mathrm{A},\mathrm{B}$에서 각각 $x,y$축으로 평행한 직선을 그었을 때 $\mathrm{C}$에서 만나게 됩니다.

여기서 $\mathrm{△}\mathrm{ABC}$는 직각삼각형이므로, 피타고라스 정리에 의해 다음이 성립합니다.

$$${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2$

선분 $\mathrm{BC},\mathrm{CA}$는 수직선 사이의 거리에 해당되므로 다음과 같이 구해집니다.

$$$\mathrm{BC}=y_2-y_1,\mathrm{CA}=x_2-x_1$

기하학적으로 표시가 되어 있으므로 절댓값 기호를 사용할 필요가 없습니다.

이 식을 피타고라스 정리에 대입을 해서, 좌표평면 위에서 두 점 사이의 거리를 구해냅니다.

$$$\mathrm{AB}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

물리량이므로 음의 제곱근이 무시됩니다. 또한, 두 좌표의 차이를 제곱할 것이므로 반드시 큰 좌표에서 뺄 필요는 없는데, 단지 부호를 조심해서 계산해야 합니다.

응용예제

응용예제1

두 점 $\mathrm{A}(2,3),\mathrm{B}(6,1)$과 $x$축 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$의 최솟값을 구하여라.

응용예제2

좌표평면 위의 두 점 $\mathrm{A}(1,4),\mathrm{B}(5,1)$에 대하여, 두 점 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$가 각각 $x$축, $y$축 위를 움직일 때, $\mathrm{AQ}+\mathrm{QP}+\mathrm{PB}$의 최솟값을 구하여라.

응용예제3

그림과 같이 좌표평면 위에 두 직선이 놓여 있습니다.

$$$l:2x-y-1=0,m=2x-3y+6=0$

두 직선 사이에 있는 점 $\mathrm{P}$를 지나고 $x$-축에 수직인 직선이 $l,m$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A},\mathrm{B}$라 하고, $y$-축에 수직인 직선이 $l,m$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{C},\mathrm{D}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{PAD}$의 면적을 $S_1$, 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 면적을 $S_2$라 할 때, $\frac{S_1}{S_2}$의 값은?

응용예제4

좌표평면 위의 네 점 $\mathrm{A}(1,1)$, $\mathrm{B}(5,1)$, $\mathrm{C}(5,5)$, $\mathrm{A}(1,5)$에 대하여, 두 선분 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}$,  $\overline{\mathrm{B}\mathrm{D}}$로 이루어진 도형을 $S$라 하자. 아래 조건을 만족시키는 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형의 넓이는 $a+b\sqrt{2}+c\pi$일 때, $a+b+c$의 값은? (단, $a,b,c$는 모두 정수이다.)

$$조건: 도형 $S$ 위의 임의의 점과 점 $\mathrm{P}$ 사이의 거리의 최솟값은 1이다.