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(고등학교) 인수정리 나눗셈에서 나머지를 구하기 위한 나머지정리를 적용했을 때, 나머지가 0이 되는 특수한 경우를 가리켜 인수정리라고 부릅니다. 즉, 다항식

f (x)

x - α

로 나누었을 때,

R = 0

이 나오는 경우에, 나누어떨어진다라고 얘기하고,

x - α

f (x)

의 인수라고 부릅니다. 물론 몫인

Q (x)

도 인수의 조건을 만족합니다. 따라서 다항식의 나머지정리에 의해, 다항식

f (x)

는 다음의 형태로 적을 수 있습니다:

f (x) = (x - α) Q (x)

이와 같은 성질을 인수정리라고 합니다. 이때,

Q (x)

가 상수이면, 인수라고 부르지 않고, 실수배라고 부릅니다. 기본예제 기본예제1

x

에 대한 다항식 \(f(.. 2023. 10. 27.

(고등학교) 나머지정리 다항식의 나눗셈에서 정의한 식의 특수한 경우에 대한 이야기입니다. 만약 나누는 식이 일차식이라면 나머지는 상수입니다. 이 나머지를 구할 때에, 나눗셈을 직접 하지 않고, 항등식의 성질을 이용해서 구하는 방법을 다항식의 나머지 정리(Polynomial remainder theorem)라고 합니다. 즉, 다항식

f (x)

x - α

로 나누었을 때의 몫을

Q (x)

R

이라 하면, 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

f (x) = (x - α) Q (x) + R

위 식은 항등식이므로

x = α

를 대입하면,

f (α) = R

이라는 결과를 얻을 수 있습니다. 즉, 나누는 식을 영으로 만드는 숫자를 대입하면, 나머지를, 나눗셈의 과정.. 2023. 10. 27.

(고등학교) 항등식 항등식은 근본적으로 왼쪽 변과 오른쪽 변이 같은 식을 말합니다. 즉, 언제든지 왼쪽 식을 오른쪽 식으로 대체될 수 있습니다. 그 의미는 아래의 두 가지 정도로 생각해 볼 수 있습니다. 첫 번째 의미, 등식 내부의 특정한 변수가 실수(복소수로 확장가능)의 범위에서 어떤 값으로 변하든 항상 참을 만족하는 등식입니다. 다음 표현은 첫 번째 의미를 표현하는 말들로, 어떤 등식이 이 표현의 수식을 갖는다면 그 등식은

x)

에 대한 항등식을 말합니다. 모든

x

에 대하여 성립하다. 임의의

x

에 대하여 성립한다.

x

값에 관계없이 성립한다. 어떤

x

의 값을 대입해도 성립한다. 두 번째 의미, 등식의 양변에서 특정한 문자의 차수에 따른 문자들의 계수가 각각 모두 같은 다항식입니다. 이 의.. 2023. 10. 27.

(고등학교) 다항식의 곱셈공식 다항식의 곱셈공식 또는 전개공식은 특별히 의미를 갖지는 않는데, 곱셈공식 자체는 주어진 식을 전개해서 간단히 한 결과이기 때문입니다. 반면에 다항식의 곱셈공식의 역은 곧 배우는, 인수분해 과정으로, 인수분해가 되면, 더 나중에 배우는, 방정식의 해를 특별한 과정 없이 바로 구할 수 있기 때문에 매우 중요합니다. 왜냐하면, 전개 공식은 분배과정을 거쳐 동류항을 단순화하는 과정이지만, 인수분해 과정은 이 역과정에서 사라진 부분을 만들어 내야 하는 등의 단순한 계산 과정이 아닌 부분이 있으므로, 쉽지 않은 과정이기 때문입니다. 따라서, 적어도 인수분해가 되는 것 중에 자주 사용해 왔던 것은 공식으로 암기할 필요가 있습니다. 마찬가지로, 그의 역과정에 해당하는 곱셈공식을 외우는 것은 실제로는 인수분해 공식을 외.. 2023. 10. 27.

(고등학교) 다항식의 곱셈 나눗셈 다항식의 곱셈은 분배법칙을 이용해서 괄호를 없앤 후에 동류항끼리 계산을 해서 정리를 합니다. 다항식의 곱셈에서는, 숫자와 문자는 분리해서 계산을 하는데, 같은 문자에 대한 곱셈은 지수법칙을 적용해서 결과를 산출합니다. 지수법칙은 같은 밑수를 가진 단항식의 곱셈(나눗셈)에 대한 내용이고, 같은 문자에 대한 덧셈과 뺄셈은, 동류항에서 다루었던 분배법칙을 적용하는데, 다음과 같이 공통 인수로 묶는 과정입니다.

5 \cdot 2^{10} + 3 \cdot 2^{5} = 2^{5} (5 \cdot 2^{5} + 3)

정수의 나눗셈에서, 나누어지는 숫자에서 나누는 숫자의 배수를 빼고 남은 숫자가 나누는 숫자보다 작은 나머지를 구하고, 반면에 다항식의 나눗셈에서는 정수의 나눗셈과 거의 같은 개념을 이용하.. 2023. 10. 26.

(고등학교) 다항식의 덧셈 뺄셈 다항식(polynomial)은 문자의 거듭제곱에 상수 배수가 곱해진 여럿의 합을 표현하는 수식을 말합니다. 하나의 변수,

x

에 대한 다항식의 일반 형식은 다음과 같습니다:

a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + a_{1} x + a_{0}

여기서 비-음의 정수

n

은 차수이고,

a_{i} (a = n, \dots, 0)

는 계수입니다. 고등학교 교과과정에서는 보통 사차 이내의 다항식을 다루지만, 특수한 몇 개의 다항식은 별도로 기억해 둘 필요가 있습니다. 다항식 사이의 덧셈, 뺄셈은 오직 동류항끼리 계산이 되어 간단히 될 수 있고, 다른 항들은 정리만 가능합니다. 동류항은 모든 변수가 같고, 해당 변수의 차수 모.. 2023. 10. 25.

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