스튜어트의 정리(Stewart's theorem)는 삼각형을 구성하는 선분들의 길이에 관한 식으로써, 스코틀랜드의 수학자 매튜 스튜어트의 이름을 따서 지어졌습니다.
삼각형의 한 꼭짓점에서 마주 보는 변을 내분하는 선을 그었을 때, 그 길이들 사이의 관계식이 스튜어트 정리입니다. 오른쪽 그림과 같이 \(\triangle \mathrm{ABC}\)의 세 변을 \(a, b, c\)로 나타내고 꼭짓점 \(\mathrm A\)에서 변 \(a\)에 그은 선을 \(d\)라고 표시했을 때, 변 \(d\)에 의해 변 \(a\)가 변 \(m, n\)으로 나누어지면 다음이 성립합니다.
\(\quad\)\(b^2m + c^2n = a(d^2 + mn)\,\)
특히 \(m = n\)일 때, \(d\)는 중앙 선이라 불리고, 관계식은 아폴로니우스의 중앙 선 정리라고 불립니다.
이를 증명하기 위해, 삼각함수를 사용하는 것이 조금 계산에서 간편함을 느낄 수 있습니다.
변 \(m\)과 변 \(d\)으로 만들어지는 각을 \(\theta_1\)이라고 나타내고, 변 \(n\)과 변 \(d\)으로 만들어지는 각을 \(\theta_2\)라고 나타내었을 때, 코사인 제2법칙에 의해 다음 식이 성립합니다.
\(\quad\)\(\begin{align}
c^2 &= m^2 + d^2 - 2dm\cos\theta_1& \cdots(1) \\
b^2 &= n^2 + d^2 - 2dn\cos\theta_2& \cdots(2)
\end{align}\)
여기서 \(\theta_2=\pi-\theta_1\)이므로 \(\cos\theta_2=\cos(\pi-\theta_1)\)으로 나타낼 수 있습니다.
또한, 삼각함수의 덧셈정리에 의해 \(\cos(\pi-\theta_1)=\cos\pi\cos\theta_1+\sin\pi\sin\theta_1=-\cos\theta_1\)으로 나타낼 수 있습니다.
\(\quad\)\(\begin{align}
b^2 &= n^2 + d^2 + 2dn\cos\theta_1& \cdots(3)
\end{align}\)
임시 변수인 \(\theta_1\)을 없애기 위해, (1)식에 \(n\)을 곱하고 (3)식에 \(m\)을 곱한 후 변변 더해줍니다. 이를 간단히 하면, 스튜어트 정리를 얻을 수 있습니다.
\(\quad\)\(\begin{align}b^2m + c^2n
&= nm^2 + n^2m + (m+n)d^2 \\
&= (m+n)\left(mn + d^2\right) \\
&= a\left(d^2 + mn\right) \\
\end{align}\)
증명이 끝났습니다.
다른 증명으로, 아폴로니우스의 정리에서와 마찬가지로 피타고라스의 정리를 이용할 수 있습니다.
먼저, 꼭짓점 \(\mathrm A\)로부터 변 \(\mathrm{BC}\)에 수선의 발을 내려서 \(\mathrm{H}\)라 놓고, \(\mathrm{AH}=h\), \(\mathrm{DH}=x\)라 놓습니다.
그런 다음, 삼각형 \(\triangle{\mathrm{ADH}}\), \(\triangle{\mathrm{ABH}}\), \(\triangle{\mathrm{AHC}}\) 각각에 피타고라스 정리를 적용하면,
\(\quad\)\(h^2+x^2=d^2\cdots(1)\)
\(\quad\)\(h^2+(m+x)^2=c^2\cdots(2)\)
\(\quad\)\(h^2+(n-x)^2=b^2\cdots(3)\)
식 (2), (3)을 전개한 후, 식 (1)을 각각 대입하면,
\(\quad\)\(d^2+m^2+2mx=c^2\cdots(4)\)
\(\quad\)\(d^2+n^2-2nx=b^2\cdots(5)\)
새롭게 주어진 변수 \(h\)는 없어졌으므로, \(x\)를 없애기 위해, 식 (4)×\(n\), 식 (5)×\(m\)을 하면,
\(\quad\)\(d^2n+m^2n+2mnx=c^2n\)
\(\quad\)\(d^2m+mn^2-2mnx=b^2m\)
두 식을 더하고, 공통인수로 묶으면,
\(\quad\)\((m+n)(d^2+mn)=b^2m+c^2n\)
이때, \(m+n=a\)이므로, 대입하면, 따라서,
\(\quad\)\(a\left(d^2+mn\right)=b^2m+c^2n\)
증명이 끝났습니다.
