수학(mathematics)에서, 곡선(curve) 위의 한 점에 벡터(vector)가 주어지면, 해당 벡터는 두 벡터의 합으로 고유하게 분해될 수 있으며, 하나는 벡터의 접선 성분(tangential component)이라고 불리는 곡선에 접하는 벡터이고, 또 다른 하나는 벡터의 법선 성분(normal component)이라고 불리는 곡선에 수직인 벡터입니다. 유사하게, 표면(surface) 위의 한 점에 있는 벡터도 같은 방법으로 분해될 수 있습니다.
보다 일반적으로, 매니폴드(manifold) M의 부분-매니폴드 N과 N의 한 점에서 M으로의 접 공간(tangent space)에서 벡터가 주어지면, 그것은 N에 접하는 성분과 N에 수직인 성분으로 분해될 수 있습니다.
Formal definition
Surface
좀 더 형식적으로, \(S\)를 표면이라고 놓고, \(x\)를 표면 위의 한 점이라고 놓습니다. \(\mathbf{v}\)를 \(x.\)에서의 벡터라고 놓습니다. 그런-다음 \(\mathbf{v}\)를 다음 합으로 고유하게 쓸 수 있습니다:
\(\quad \mathbf{v}=\mathbf{v}_\parallel + \mathbf{v}_\perp\)
여기서 합에서 첫 번째 벡터는 접선 성분이고 두 번째 벡터는 법선 성분입니다. 이들 두 벡터가 서로 수직이라는 것은 직접 이어집니다.
접선 성분과 법선 성분을 계산하기 위해, 표면에 대한 단위 법선(unit normal), 즉, \(x\)에서 \(S\)에 수직인 단위 벡터(unit vector) \(\hat{n}\)을 생각해 보십시오. 그런-다음,
\(\quad \mathbf{v}_\perp = (\mathbf{v}\cdot\hat{n})\hat{n}\)
그리고 따라서
\(\quad \mathbf{v}_\parallel = \mathbf{v} - \mathbf{v}_\perp\)
여기서 "\(\cdot\)"은 점 곱(dot product)을 나타냅니다. 접선 성분에 대해 또 다른 공식은 다음과 같습니다:
\(\quad \mathbf{v}_\parallel = -\hat{n}\times(\hat{n}\times\mathbf{v}),\)
여기서 "\(\times\)"는 교차 곱(cross product)을 나타냅니다.
이들 공식은 사용된 특정 단위 법선 \(\hat{n}\)에 의존하지 않는다는 점에 주목하십시오 (주어진 점에서 임의의 표면으로의 반대 방향을 가리키는 두 개의 단위 법선이 존재하므로, 단위 법선 중 하나는 다른 하나의 음수입니다).
Submanifold
보다 일반적으로, 매니폴드 M의 부분매니폴드 N과 점 \(p \in N\)이 주어지면, 접 공간을 포함하는 짧고 정확한 수열(short exact sequence)을 얻습니다:
\(\quad T_p N \to T_p M \to T_p M / T_p N\)
몫 공간(quotient space) \(T_p M / T_p N\)은 법선 벡터의 일반화된 공간입니다.
만약 M이 리만 매니폴드(Riemannian manifold)이면, 위의 수열은 분할되고, p에서 M의 접 공간은 N에 접하는 성분과 N에 수직인 성분의 직접 합(direct sum)으로 분해됩니다:
\(\quad T_p M = T_p N \oplus N_p N := (T_p N)^\perp\)
따라서 모든 각 접 벡터(tangent vector) \(v \in T_p M\)는 \(v = v_\parallel + v_\perp\)로 분할되며,
여기서 \(v_\parallel \in T_p N\)이고 \(v_\perp \in N_p N := (T_p N)^\perp\)입니다.
Computations
N은 비-퇴화 방정식에 의해 주어진다고 가정합니다.
만약 N이 매개변수 방정식 (예를 들어 매개변수 곡선)을 통해 명시적으로 주어지면, 그 도함수는 접선 다발에 대한 스팬하는 집합을 제공합니다 (그것이 하나의 기저(basis)인 것과 매개변수화가 몰입(immersion)인 것은 필요충분 조건입니다).
만약 N이 \(g_i\)에 대한 수준 집합(level set) 또는 수준 표면의 교집합으로 암시적으로 (위의 표면 설명에서와 같이, (또는 더 일반적으로) 초표면으로) 제공되면, \(g_i\)의 그래디언트는 법선 공간에 스팬합니다.
두 경우 모두에서, 점 곱(dot product)을 사용하여 다시 계산할 수 있습니다; 어쨌든, 교차 곱은 3차원에 특별합니다.
Applications
- Lagrange multipliers: constrained critical points are where the tangential component of the total derivative vanish.
- Surface normal
- Frenet–Serret formulas
- Differential geometry of surfaces#Tangent vectors and normal vectors
References
- Rojansky, Vladimir (1979). Electromagnetic fields and waves. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-63834-0.
- Benjamin Crowell (2003) Light and Matter. (online version).
