수학(mathematics)에서, 매니폴드(manifold)의 접 공간(tangent space)은 삼차원에서 표면에 접하는 평면의 개념과 이차원에서 곡선에 대한 접선의 개념을 더 높은 차원으로 일반화합니다. 물리학의 문맥에서 한 점에서 매니폴드에 대한 접하는 공간은 매니폴드에서 움직이는 입자의 가능한 속도의 공간으로 보일 수 있습니다.
Informal description
미분 기하학(differential geometry)에서, 우리는 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold)의 모든 각 점 \( x \)에 접 공간을 연결할 수 있습니다–이것은 \( x \)를 접선으로 통과할 수 있는 가능한 방향을 직관적으로 포함하는 실수 벡터 공간(vector space)입니다. \( x \)에서 접 공간의 원소는 \( x \)에서 접 벡터(tangent vector)라고 불립니다. 이것은 유클리드 공간(Euclidean space)에서 주어진 초기점을 기반으로 하는 벡터(vector)의 개념의 일반화입니다. 연결된(connected) 매니폴드의 모든 각 점에서 접 공간의 차원(dimension)은 매니폴드(manifold) 자체의 차원과 같습니다.
예를 들어, 만약 주어진 매니폴드가 \( 2 \)-구(sphere)이면, 우리는 한 점에서 접하는 공간을 해당 점에서 구와 접촉하고 그 점을 통해 구의 반지름에 수직(perpendicular)인 평면으로 그릴 수 있습니다. 보다 일반적으로, 만약 주어진 매니폴드가 유클리드 공간(Euclidean space)의 삽입된(embedded) 부분매니폴드(submanifold)로 생각되면, 우리는 접선 공간을 이 문자 그대로 그릴 수 있습니다. 이것은 병렬 전송(parallel transport)을 정의하는 것을 향한 전통적인 접근 방식이었습니다. 미분 기하학(differential geometry)과 일반 상대성(general relativity)에서 많은 저자들이 이것을 사용합니다. 보다 엄격하게 말하면, 이것은 현대 용어로 설명되는 접 벡터의 공간과 구별되는 아핀 접 공간을 정의합니다.
대수 기하학(algebraic geometry)에서, 대조적으로, 적어도 \( V \) 자체의 차원을 갖는 벡터 공간을 제공하는 대수적 다양체(algebraic variety) \( V \)의 한 점에서 접 공간의 본질적인 정의가 있습니다. 접선 공간의 차원이 정확하게 \( V \)인 점 \( p \)는 비-특이 점이라고 불립니다; 나머지는 특이 점이라고 불립니다. 예를 들어, 자체 교차하는 곡선은 해당 점에서 고유한 접선을 가지지 않습니다. \( V \)의 특이점은 "매니폴드일 테스트"가 실패한 점들입니다. 자르스키 접 공간(Zariski tangent space)을 참조하십시오.
일단 매니폴드의 접 공간이 도입되면, 우리는 공간에서 움직이는 입자의 속도 필드의 추상화인 벡터 필드(vector field)를 정의할 수 있습니다. 벡터 필드는 매니폴드의 모든 각 점에 매끄러운 방식에서 해당 점에서 접 공간으로부터 벡터를 연결합니다. 그러한 벡터 필드는 매니폴드에서 일반화된 보통의 미분 방정식(ordinary differential equation)을 정의하는 역할을 합니다: 그러한 미분 방정식에 대한 해는 임의의 점에서 도함수가 벡터 필드에 의해 해당 점에 연결된 접 벡터와 같은 매니폴드 위의 미분-가능 곡선(curve)입니다.
매니폴드의 모든 접 공간은 매니폴드의 접 다발(tangent bundle)이라고 불리는 원래 매니폴드의 차원의 두 배를 갖는 새로운 미분-가능 매니폴드를 형성하기 위해 "함께 접착"될 것입니다.
Formal definitions
위의 비공식적인 설명은 접 벡터가 매니폴드에서 주변 공간으로 "튀어나올" 수 있도록 주변 벡터 공간 \( \mathbb{R}^{m} \)에 삽입되는 매니폴드의 능력에 의존합니다. 어쨌든, 매니폴드 자체만을 기반으로 하는 접 공간의 개념을 정의하는 것이 더 편리합니다.
매니폴드의 접 공간을 정의하는 등가 방법은 다양합니다. 곡선의 속도를 통한 정의는 직관적으로 가장 간단하지만, 그것이 역시 작업하기 가장 번거롭습니다. 보다 우아하고 추상적인 접근 방식이 아래에 설명되어 있습니다.
Definition via tangent curves
삽입된-매니폴드 그림에서, 점 \( x \)에서 접 벡터는 점 \( x \)를 통과하는 곡선(curve)의 속도로 생각됩니다. 우리는 따라서 접 벡터를 \( x \)에서 서로 접되는 동안 \( x \)를 통과하는 곡선의 동치 클래스로 정의할 수 있습니다.
\( M \)이 (매끄러움(smoothness) \( k \geq 1 \)을 갖는) \( C^{k} \) 미분-갸능 매니폴드(differentiable manifold)이고 \( x \in M \)라고 가정합니다. 좌표 차트(coordinate chart) \( \varphi: U \to \mathbb{R}^{n} \)를 선택하며, 여기서 \( U \)는 \( x \)를 포함하는 \( M \)의 열린 부분집합(open subset)입니다. 나아가서 \( {\gamma_{1}}(0) = x = {\gamma_{2}}(0) \)을 갖는 두 곡선 \( \gamma_{1},\gamma_{2}: (- 1,1) \to M \)이 \( \varphi \circ \gamma_{1},\varphi \circ \gamma_{2}: (- 1,1) \to \mathbb{R}^{n} \) 둘 다가 보통의 의미에서 미분-가능을 만족하도록 제공된다고 가정합니다 (우리는 이것들을 \( x \)에서 초기화된 미분-가능 곡선이라고 부릅니다.) 그런-다음 \( \gamma_{1} \)과 \( \gamma_{2} \)는 \( 0 \)에서 동등한 것이라고 말해지는 것과 \( 0 \)에서 \( \varphi \circ \gamma_{1} \)와 \( \varphi \circ \gamma_{2} \)의 도함수가 일치하는 것은 필요충분 조건입니다. 이것은 \( x \)에서 초기화된 모든 미분-가능 곡선의 집합에 대한 동치 관계(equivalence relation)를 정의하고, 그러한 곡선의 동치 클래스(equivalence class)는 \( x \)에서 \( M \)의 접 벡터로 알려져 있습니다. 임의의 그러한 곡선 \( \gamma \)의 동치 클래스는 \( \gamma'(0) \)에 의해 표시됩니다. \( T_{x} M \)으로 표시되는 \( x \)에서 \( M \)의 접 공간은 그때에 \( x \)에서 모든 접 벡터의 집합으로 정의됩니다; 그것은 좌표 차트 \( \varphi: U \to \mathbb{R}^{n} \)의 선택에 의존하지 않습니다.
\( T_{x} M \)에 대한 벡터-공간 연산을 정의하기 위해, 우리는 차트 \( \varphi: U \to \mathbb{R}^{n} \)를 사용하고 \( {\mathrm{d}{\varphi}_{x}}(\gamma'(0)) \mathrel{\stackrel{\text{df}}{=}} \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [(\varphi \circ \gamma)(t)] \right|_{t = 0}\,\)에 의해 맵(map) \( \mathrm{d}{\varphi}_{x}: T_{x} M \to \mathbb{R}^{n} \)을 정의하며, 여기서 \(\gamma \in \gamma'(0) \)입니다. 다시, 우리는 이 구성이 특정 차트 \( \varphi: U \to \mathbb{R}^{n} \)와 사용된 곡선 \( \gamma \)에 의존하지 않는지 점검할 필요가 있고, 실제로 그것은 사실이 아닙니다.
맵 \( \mathrm{d}{\varphi}_{x} \)은 [[bijective|전단사(bijective)]]인 것으로 밝혀졌고 \( \mathbb{R}^{n} \)에서 벡터-공간 연산을 \( T_{x} M \)으로 전달하기 위해 사용될 수 있고, 따라서 후자 집합을 \( n \)-차원 실수 벡터 공간으로 변환합니다.
Definition via derivations
이제 \( M \)이 \( C^{\infty} \) 매니폴드라고 가정합니다. 실수-값 함수 \( f: M \to \mathbb{R} \)이 \( {C^{\infty}}(M) \)에 속한다고 말해지는 것과 모든 각 좌표 차트 \( \varphi: U \to \mathbb{R}^{n} \)에 대해, 맵 \( f \circ \varphi^{- 1}: \varphi[U] \subseteq \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} \)이 무한하게 미분-가능인 것은 필요충분 조건입니다. \( {C^{\infty}}(M) \)가 점별 곱(pointwise product)과 함수의 합과 스칼라 곱셈에 관한 실수 결합 대수(associative algebra)임을 주목하십시오.
점 \( x \in M \)을 선택합니다. \( x \)에서 도함수화(derivation)는 라이프니츠 항등식을 만족시키는 선형 맵(linear map) \( D: {C^{\infty}}(M) \to \mathbb{R} \)으로 정의됩니다:
\(\quad
\forall f,g \in {C^{\infty}}(M): \qquad
D(f g) = D(f) \cdot g(x) + f(x) \cdot D(g),
\)
이것은 미적분의 곱 규칙(product rule)을 모델로 한 것입니다.
(모든 각 동일하게 상수 함수 \(f=\text{const}\)에 대해, 그것은 \( D(f)=0 \)를 따릅니다).
만약 우리가 다음에 의한 \( x \)에서 도함수화의 집합에 대한 덧셈과 스칼라 곱셈을 정의하면:
- \( (D_1+D_2)(f) \mathrel{\stackrel{\text{df}}{=}} {D}_1(f) + {D}_2(f) \) 및
- \( (\lambda \cdot D)(f) \mathrel{\stackrel{\text{df}}{=}} \lambda \cdot D(f) \),
우리는 실수 벡터 공간을 획득하며, 우리는 이것을 \( x \)에서 \( M \)의 접 공간 \( T_{x} M \)으로 정의합니다.
Generalizations
이 정의의 일반화는, 예를 들어, 복소 매니폴드(complex manifold)와 대수적 다양체(algebraic varieties)로 가능합니다. 어쨌든, 함수의 전체 대수로부터 도함수화 \( D \)를 검사하는 대신에, 우리는 대신 함수의 싹(germs) 수준에서 연구해야 합니다. 그 이유는 구조 뭉치(structure sheaf)가 그러한 구조에 적합(fine)하지 않을 수 있기 때문입니다. 예를 들어, \( X \)를 구조 뭉치(structure sheaf) \( \mathcal{O}_{X} \)를 갖는 대수적 다양체라고 놓습니다. 그런-다음 점 \( p \in X \)에서 자르스키 접 공간(Zariski tangent space)은 모든 \( \mathbb{k} \)-도함수화 \( D: \mathcal{O}_{X,p} \to \mathbb{k} \)의 모음이며, 여기서 \( \mathbb{k} \)v \( \mathcal{O}_{X,p} \)는 \( p \)에서 \( \mathcal{O}_{X} \)의 줄기(stalk)입니다.
Equivalence of the definitions
\(x \in M\)와 \(\gamma (0) = x\)를 만족하는 미분-가능 곡선 \( \gamma: (- 1,1) \to M \)에 대해, \( {D_{\gamma}}(f) \mathrel{\stackrel{\text{df}}{=}} (f \circ \gamma)'(0) \)를 정의합니다 (여기서 도함수는 보통 의미에서 취해지는데 왜냐하면 \( f \circ \gamma \)는 \( (- 1,1) \)에서 \( \mathbb{R} \)로의 함수이기 때문입니다). 우리는 \(D_{\gamma}(f)\)가 점 \(x\)에서 도함수화이고 해당 동등 곡선이 같은 도함수화를 산출한다고 확인할 수 있습니다. 따라서, 동치 클래스 \( \gamma'(0)\)에 대해, 우리는 \( {D_{\gamma'(0)}}(f) \mathrel{\stackrel{\text{df}}{=}} (f \circ \gamma)'(0)\)를 정의할 수 있으며, 여기서 곡선 \(\gamma \in \gamma'(0) \)은 임의적으로 선택됩니다. 맵 \( \gamma'(0) \mapsto D_{\gamma'(0)} \)은 동치 클래스 \( \gamma'(0) \)의 공간과 점 \(x\)에서 도함수화의 공간 사이에 벡터 공간 동형입니다.
Definition via cotangent spaces
다시, 우리는 \( C^\infty \) 매니폴드 \( M \)과 점 \( x \in M \)으로 시작합니다. \( x \)에서 사라지는, 즉, \( f(x) = 0 \)인 모든 매끄러운 함수 \( f \)로 구성되는 \( C^\infty(M) \)의 아이디얼(ideal) \( I \)를 생각해 보십시오. 그런-다음 \( I \)와 \( I^2 \)은 둘 다 실수 벡터 공간이고, 몫 공간(quotient space) \( I / I^2 \)은 테일러의 정리(Taylor's theorem)의 사용을 통해 공동-접 공간(cotangent space) \( T^{*}_x M \)으로 동형적(isomorphic)이 됨을 보일 수 있습니다. 접 공간 \( T_x M \)은 그때에 \( I / I^2 \)의 이중 공간(dual space)으로 정의될 수 있습니다.
이 정의가 가장 추상적이지만, 다른 설정, 예를 들어 대수 기하학(algebraic geometry)에서 고려되는 다양체(varieties)로 가장 쉽게 이전될 수 있는 정의이기도 합니다.
만약 \( D \)가 \( x \)에서 도함수화이면, 모든 각 \( f \in I^2 \)에 대해 \( D(f) = 0 \)이며, 이것은 \( D \)가 선형 맵 \( I / I^2 \to \mathbb{R} \)를 발생시킴을 의미합니다. 반대로, 만약 \( r: I / I^2 \to \mathbb{R} \)가 선형 맵이면, \( D(f) \mathrel{\stackrel{\text{df}}{=}} r\left((f - f(x)) + I^2\right) \)는 \( x \)에서 도함수화를 정의합니다. 이것은 도함수화를 통해 정의된 접 공간과 공동-접 공간을 통해 정의된 접 공간 사이의 동치를 산출합니다.
Properties
만약 \( M \)이 \( \mathbb{R}^{n} \)의 열린 부분집합이면, \( M \)은 (좌표 차트를 \( \mathbb{R}^{n} \)의 열린 부분집합에 대한 항등 맵(identity maps)으로 취하여) 자연스러운 방식에서 \( C^{\infty} \) 매니폴드이고, 접 공간은 모두 자연스럽게 \( \mathbb{R}^{n} \)로 식별됩니다.
Tangent vectors as directional derivatives
접 벡터에 대해 생각하는 또 다른 방법은 방향 도함수(directional derivative)입니다. \( \mathbb{R}^{n} \)에서 벡터 \( v \)가 주어지면, 우리는 다음에 의해 점 \( x \in \mathbb{R}^{n} \)에서 대응하는 방향 도함수를 정의합니다:
\(\quad\displaystyle
\forall f \in {C^{\infty}}(\mathbb{R}^{n}): \qquad
(D_{v} f)(x) \mathrel{\stackrel{\text{df}}{=}}
\left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [f(x + t v)] \right|_{t = 0}
= \sum_{i = 1}^{n} v^{i} {\frac{\partial f}{\partial x^{i}}}(x).
\)
이 맵은 자연스럽게 \( x \)에서 도함수화입니다. 게다가, \( \mathbb{R}^{n} \)에서 한 점에서 모든 각 도함수와는 이 형식의 것입니다. 따라서, (한 점에서 접 벡터로 생각되는) 벡터와 한 점에서 도함수화 사이의 일-대-일 대응이 있습니다.
한 점에서 일반적인 매니폴드에 대한 접 벡터는 해당 점에서 도함수화로 정의될 수 있기 때문에, 그것들을 방향 도함수로 생각하는 것이 당연합니다. 구체적으로, 만약 \( v \)가 (도함수로 생각되는) 점 \( x \)에서 \( M \)에 대한 접 벡터이면, 다음에 의해 방향 \( v \)에서 방향 도함수 \( D_{v} \)를 정의합니다:
\(\quad
\forall f \in {C^{\infty}}(M): \qquad
{D_{v}}(f) \mathrel{\stackrel{\text{df}}{=}} v(f).
\)
만약 우리가 \( v \)를 \( x \)에서 초기화된 미분-가능 곡선 \( \gamma \)의 초기 속도, 즉, \( v = \gamma'(0) \)로 생각하면, 대신, 다음에 의해 \( D_{v} \)를 정의합니다:
\(\quad
\forall f \in {C^{\infty}}(M): \qquad
{D_{v}}(f) \mathrel{\stackrel{\text{df}}{=}} (f \circ \gamma)'(0).
\)
Basis of the tangent space at a point
\( C^{\infty} \) 매니폴드 \( M \)에 대해, 만약 차트 \( \varphi = (x^{1},\ldots,x^{n}): U \to \mathbb{R}^{n} \)가 \( p \in U \)로 주어지면, 우리는 다음에 의해 \( T_{p} M \)의 순서화된 기저 \( \left\{ \left( \frac{\partial}{\partial x^{1}} \right)_{p} , \dots , \left( \frac{\partial}{\partial x^{n}} \right)_{p} \right\} \)를 정의할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle
\forall i \in \{ 1,\ldots,n \}, ~ \forall f \in {C^{\infty}}(M): \qquad
{\left( \frac{\partial}{\partial x^{i}} \right)_{p}}(f) \mathrel{\stackrel{\text{df}}{=}}
\left( \frac{\partial}{\partial x^{i}} \Big( f \circ \varphi^{- 1} \Big) \right) \Big( \varphi(p) \Big) .
\)
그런-다음 모든 각 접 벡터 \( v \in T_{p} M \)에 대해, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle
v = \sum_{i = 1}^{n} v^{i} \cdot \left( \frac{\partial}{\partial x^{i}} \right)_{p}.
\)
이 공식은 따라서 \( v \)를 좌표 차트 \( \varphi: U \to \mathbb{R}^{n} \)에 의해 정의된 기저 접 벡터 \( \left( \frac{\partial}{\partial x^{i}} \right)_{p} \in T_{p} M \)의 선형 조합으로 표현합니다.
The derivative of a map
매끄러운 (또는 미분-가능) 매니폴드 사이의 모든 각 매끄러운 (또는 미분-가능) 맵 \( \varphi: M \to N \)은 그것들의 대응하는 접 공간 사이의 자연스러운 선형 맵(linear map)을 유도합니다:
\(\quad
\mathrm{d}{\varphi}_{x}: T_{x} M \to T_{\varphi(x)} N.
\)
만약 그 접 공간이 미분-가능 곡선을 통해 정의되면, 이 맵은 다음에 의해 정의됩니다:
\(\quad
{\mathrm{d}{\varphi}_{x}}(\gamma'(0)) \mathrel{\stackrel{\text{df}}{=}} (\varphi \circ \gamma)'(0).
\)
만약, 대신, 그 접 공간이 도함수화를 통해 정의되면, 이 맵은 다음에 의해 정의됩니다:
\(\quad
[\mathrm{d}{\varphi}_{x}(D)](f) \mathrel{\stackrel{\text{df}}{=}} D(f \circ \varphi).
\)
선형 맵 \( \mathrm{d}{\varphi}_{x} \)는 다양하게 \( x \)에서 \( \varphi \)의 도함수, 전체 도함수, 미분, 또는 밂이라고 불립니다. 그것은 자주 다른 다양한 표기법을 사용하여 표현됩니다:
\(\quad
D \varphi_{x}, \qquad (\varphi_{*})_{x}, \qquad \varphi'(x).
\)
한 의미에서, 도함수는 \( x \) 근처의 \( \varphi \)에 대한 최상의 선형 근사입니다. \( N = \mathbb{R} \)일 때, 맵 \( \mathrm{d}{\varphi}_{x}: T_{x} M \to \mathbb{R} \)가 함수 \( \varphi \)의 미분(differential)의 보통의 개념과 일치함을 주목하십시오. 지역 좌표(local coordinates)에서, \( \varphi \)의 도함수는 [[Jacobian matrix and determinant|야코비(Jacobian)]]에 의해 제공됩니다.
도함수 맵과 관련된 중요한 결과는 다음과 같습니다:
Theorem — 만약 \( \varphi: M \to N \)가 \( M \) 안의 \( x \)에서 지역 미분-동형(local diffeomorphism)이면, \( \mathrm{d}{\varphi}_{x}: T_{x} M \to T_{\varphi(x)} N \)는 선형 동형(isomorphism)입니다. 반대로, 만약 \(\varphi : M\to N\)가 연속적으로 미분-가능이고 \(\mathrm{d}{\varphi}_{x}\)가 동형이면, \( \varphi \)가 \( U \)를 미분-동형젹으로 그것의 이미지 위로의 매핑을 만족하는 \( x \)의 열린 이웃(open neighborhood) \( U \)가 있습니다.}}
이것은 매니폴드 사이의 매핑에 대한 역 함수 정리(inverse function theorem)의 일반화입니다.
See also
References
- Lee, Jeffrey M. (2009), Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 107, Providence: American Mathematical Society.
- Michor, Peter W. (2008), Topics in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, vol. 93, Providence: American Mathematical Society.
- Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus, W. A. Benjamin, Inc., ISBN 978-0-8053-9021-6.
External links
- Tangent Planes at MathWorld
