수학(mathematics)에서, 접 벡터(tangent vector)는 주어진 점에서 곡선 또는 표면에 접하는 벡터(vector)입니다. 접 벡터는 \(\mathbf{R}^n\)에서 곡선의 맥락에서 곡선의 미분 기하학에 설명되어 있습니다. 보다 일반적으로, 접 벡터는 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold)의 접 공간(tangent space)의 원소입니다. 접 벡터는 싹틈(germs)의 측면에서도 설명될 수 있습니다. 형식적으로, 점 \(x\)에서 접 벡터는 \(x\)에서 싹틈의 집합에 의해 정의된 대수의 선형 유도(derivation)입니다.
Motivation
접 벡터의 일반적인 정의를 진행하기 전에, 우리는 미적분(calculus)과 그것의 텐서(tensor) 속성에서의 사용을 논의합니다.
Calculus
\(\mathbf{r}(t)\)를 매개변수 매끄러운 곡선(smooth curve)이라고 놓습니다. 접 벡터는 \(\mathbf{r}'(t)\)에 의해 주어지며, 여기서 매개변수 t에 관한 미분을 나타내기 위해 보통의 점 대신 프라임을 사용했습니다. 단위 접 벡터는 다음과 같이 지정됩니다:
\(\quad\displaystyle \mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}\,.\)
Example
\(\mathbb{R}^3\)에서 다음 곡선이 주어지면,
\(\quad \mathbf{r}(t) = \left\{\left(1+t^2, e^{2t}, \cos{t}\right) \mid t\in\mathbb{R}\right\}\)
\(t = 0\)에서 단위 접 벡터는 다음에 의해 주어집니다:
\(\quad\displaystyle \mathbf{T}(0) = \frac{\mathbf{r}'(0)}{\|\mathbf{r}'(0)\|} = \left.\frac{(2t, 2e^{2t}, -\sin{t})}{\sqrt{4t^2 + 4e^{4t} + \sin^2{t}}}\right|_{t=0} = (0,1,0)\,.\)
Contravariance
만약 가 n-차원 좌표 시스템(n-dimensional coordinate system) \(x^i\) (여기서 인덱스로 보통의 아래첨자 대신 위첨자를 사용함)에서 \(\mathbf{r}(t) = (x^1(t), x^2(t), \ldots, x^n(t))\)에 의해 또는 다음에 의해 매개변수적으로 주어지면,
\(\quad \mathbf{r} = x^i = x^i(t), \quad a\leq t\leq b\,,\)
접 벡터 필드 \(\mathbf{T} = T^i\)는 다음에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle T^i = \frac{dx^i}{dt}\,.\)
다음과 같은 좌표의 변경 아래에서
\(\quad u^i = u^i(x^1, x^2, \ldots, x^n), \quad 1\leq i\leq n\)
\(u^i\)-좌표 시스템에서 접 벡터 \(\bar{\mathbf{T}} = \bar{T}^i\)는 다음에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle \bar{T}^i = \frac{du^i}{dt} = \frac{\partial u^i}{\partial x^s} \frac{dx^s}{dt} = T^s \frac{\partial u^i}{\partial x^s}\)
여기서 아인슈타인 합 표기법(Einstein summation convention)을 사용했습니다. 그러므로, 매끄러운 곡선의 접 벡터는 좌표의 변경 아래에서 차수 일의 반변(contravariant) 텐서로 변환될 것입니다.
Definition
\(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)를 미분-가능 함수라고 놓고 \(\mathbf{v}\)를 \(\mathbb{R}^n\)에서 벡터라고 놓습니다. 우리는 다음과 같이 점 \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\)에서 \(\mathbf{v}\) 방향의 방향 도함수를 정의합니다:
\(\quad\displaystyle \nabla_\mathbf{v} f(\mathbf{x}) = \left.\frac{d}{dt} f(\mathbf{x} + t\mathbf{v})\right|_{t=0} = \sum_{i=1}^{n} v_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{x})\,.\)
그런-다음 점 \(\mathbf{x}\)에서 접 벡터는 다음으로 정의됩니다:
\(\quad \mathbf{v}(f(\mathbf{x})) \equiv (\nabla_\mathbf{v}(f)) (\mathbf{x})\,.\)
Properties
\(f,g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\)를 미분-가능 함수라고 놓고, \(\mathbf{v},\mathbf{w}\)를 \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\)에서 \(\mathbb{R}^n\)에 있는 접 벡터라고 놓고, \(a,b\in\mathbb{R}\)라고 놓습니다. 그런-다음
- \((a\mathbf{v}+b\mathbf{w})(f)=a\mathbf{v}(f)+b\mathbf{w}(f)\)
- \(\mathbf{v}(af+bg)=a\mathbf{v}(f)+b\mathbf{v}(g)\)
- \(\mathbf{v}(fg)=f(\mathbf{x})\mathbf{v}(g)+g(\mathbf{x})\mathbf{v}(f)\,.\)
Tangent vector on manifolds
\(M\)을 미분-가능 매니폴드라고 놓고 \(A(M)\)을 \(M\) 위에 실수-값 미분-가능 함수의 대수라고 놓습니다. 그런-다음 매니폴드에 있는 점 \(x\)에서 \(M\)에 대한 접 벡터는 유도(derivation) \(D_v:A(M)\rightarrow\mathbb{R}\)에 의해 제공되며, 이는 선형이어야 합니다 — 즉, 임의의 \(f,g\in A(M)\)와 \(a,b\in\mathbb{R}\)에 대해 다음을 가집니다:
\(\quad D_v(af+bg)=aD_v(f)+bD_v(g)\,.\)
유도는 정의에 따라 다음과 같은 라이프니츠 속성을 가짐을 주목하십시오:
\(\quad D_v(f\cdot g)(x)=D_v(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_v(g)(x)\,.\)
See also
Bibliography
- Gray, Alfred (1993), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, Boca Raton: CRC Press.
- Stewart, James (2001), Calculus: Concepts and Contexts, Australia: Thomson/Brooks/Cole.
- Kay, David (1988), Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus, New York: McGraw-Hill.
