삼각법(trigonometry)에서, 탄젠트 절반-각도 공식(tangent half-angle formulas)은 각도의 절반의 탄젠트를 전체 각도의 삼각 함수와 관련시킵니다. 이들 중 다음이 있습니다:
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
\tan\left(\frac{\eta \pm \theta} 2 \right) & = \frac{\sin\eta \pm \sin\theta}{\cos\eta + \cos\theta} = -\frac{\cos\eta - \cos\theta}{\sin\eta \mp \sin\theta}, \\[10pt]
\tan\left(\pm\frac \theta 2 \right) & = \frac{\pm\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{\pm\tan\theta}{\sec\theta + 1} = \frac{\pm 1}{\csc\theta + \cot\theta}, & & (\eta = 0) \\[10pt]
\tan\left(\pm\frac \theta 2 \right) & = \frac{1-\cos\theta}{\pm\sin\theta} = \frac{\sec\theta-1}{\pm\tan\theta} = \pm(\csc\theta-\cot\theta), & & (\eta=0) \\[10pt]
\tan\left(\frac{1}{2}(\theta \pm \frac{\pi}{2}) \right) &= \frac{1 \pm \sin\theta}{\cos\theta} = \sec\theta \pm \tan\theta = \frac{\csc\theta \pm 1}{\cot\theta}, & & (\eta=\frac{\pi}{2}) \\[10pt]
\tan\left(\frac{1}{2}(\theta \pm \frac{\pi}{2}) \right) &= \frac{\cos\theta}{1 \mp \sin\theta} = \frac{1}{\sec\theta \mp \tan\theta} = \frac{\cot\theta}{\csc\theta \mp 1}, & & (\eta=\frac{\pi}{2}) \\[10pt]
\frac{1 - \tan(\theta/2)}{1 + \tan(\theta/2)} & =\pm\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} \\[10pt]
\tan \frac \theta 2 & = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}
\end{align}
\)
이들로부터, 우리는 절반-각도의 탄젠트의 함수로 사인, 코사인, 및 탄젠트를 표현하는 항등식을 유도할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
\sin \alpha & = \frac{2\tan \dfrac \alpha 2}{1 + \tan ^2 \dfrac \alpha 2} \\[7pt]
\cos \alpha & = \frac{1 - \tan ^2 \dfrac \alpha 2}{1 + \tan ^2 \dfrac \alpha 2} \\[7pt]
\tan \alpha & = \frac{2\tan \dfrac \alpha 2}{1 - \tan ^2 \dfrac \alpha 2}
\end{align}
\)
Proofs
Algebraic proofs
두배-각도 공식(double-angle formulae)과 피타고라스 항등식 \(\quad\displaystyle \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)을 사용하여 다음을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle \sin \alpha = 2\sin \frac \alpha 2 \cos \frac \alpha 2 =\frac{2\sin \frac \alpha 2 \cos \frac \alpha 2}{\cos^2\frac \alpha 2 + \sin^2\frac \alpha 2} =\frac{2 \frac {\sin \frac \alpha 2}{\cos\frac \alpha 2} \frac{\cos \frac \alpha 2}{\cos \frac \alpha 2}}{\frac{\cos^2\frac \alpha 2}{\cos^2\frac \alpha 2} + \frac{\sin^2\frac \alpha 2}{\cos^2\frac \alpha 2}} = \frac{2\tan\frac \alpha 2}{1+\tan^2\frac \alpha 2}, \quad \text{and}\)
\(\quad\displaystyle \cos \alpha = \cos^2 \frac \alpha 2 - \sin^2 \frac \alpha 2 = \frac{\cos^2 \frac \alpha 2 - \sin^2 \frac \alpha 2}{\cos^2 \frac \alpha 2 + \sin^2 \frac \alpha 2 } = \frac{\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} - \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}}{\frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} + \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}} = \frac{1 - \tan^2 \frac \alpha 2}{1 + \tan^2 \frac \alpha 2}. \)
사인과 코사인에 대해 공식의 몫을 취하면 다음을 산출합니다:
\(\quad\displaystyle \tan \alpha = \frac{2\tan \frac \alpha 2}{1 - \tan ^2 \frac \alpha 2}.\)
코사인에 대해 피타고라스 항등식을 두배-각도 공식을 결합하면:
\(\quad\displaystyle \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 \)
재-정렬하고, 제곱근을 취하면 다음을 산출합니다:
\(\quad\displaystyle |\sin \alpha| = \sqrt {\frac{1-\cos2\alpha}{2}} \) 및 \(\quad\displaystyle |\cos \alpha|= \sqrt {\frac{1+\cos2\alpha}{2}} \)
위의 결과를 나눗셈을 하면 다음을 제공합니다:
\(\quad\displaystyle |\tan \alpha| = \frac {\sqrt {1 - \cos 2\alpha}}{\sqrt {1 + \cos 2\alpha}} = \frac { {\sqrt {1 - \cos 2\alpha}}{\sqrt {1 + \cos 2\alpha}} }{1 + \cos 2\alpha} =\frac{{\sqrt {1 - \cos^2 2\alpha}}}{1 + \cos 2\alpha} = \frac{|\sin 2\alpha|}{1 + \cos 2\alpha}. \)
대안적으로:
\(\quad\displaystyle |\tan \alpha| = \frac {\sqrt {1 - \cos 2\alpha}}{\sqrt {1 + \cos 2\alpha}} = \frac {1 - \cos 2\alpha}{ {\sqrt {1 + \cos 2\alpha}}{\sqrt {1 - \cos 2\alpha}} } = \frac{1 - \cos 2\alpha}{{\sqrt {1 - \cos^2 2\alpha}}} = \frac{1 - \cos 2\alpha}{|\sin 2\alpha|}. \)
절댓값 기호는 오직 첫 번째 사분면에서 작업할 때 삭제될 수 있습니다.
역시, 사인과 코사인 둘 다에 대해 각도 덧셈과 뺄셈 공식을 사용하면 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle \cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\)
\(\quad\displaystyle \cos (a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\)
\(\quad\displaystyle \sin (a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\)
\(\quad\displaystyle \sin (a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\)
위의 네 가지 공식의 쌍별 덧셈은 다음을 산출합니다:
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
\sin (a+b) + \sin (a-b) & = \sin a \cos b + \cos a \sin b + \sin a \cos b - \cos a \sin b \\
& = 2 \sin a \cos b \\[3pt]
\cos (a+b) + \cos (a-b) & = \cos a \cos b - \sin a \sin b + \cos a \cos b + \sin a \sin b \\
& = 2 \cos a \cos b
\end{align}
\)
\(\displaystyle a=\frac{p+q}{2}\)와 \(\displaystyle b=\frac{p-q}{2}\)로 정하고 빼면 다음을 산출합니다:
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
\sin\left(\frac{p+q}{2}+\frac{p-q}{2}\right) + \sin\left(\frac{p+q}{2}-\frac{p-q}{2}\right) & = \sin(p) + \sin(q) \\
& = 2 \sin\left(\frac{p+q}{2}\right) \cos\left(\frac{p-q}{2}\right) \\[6pt]
\cos\left(\frac{p+q}{2}+\frac{p-q}{2}\right) + \cos\left(\frac{p+q}{2}-\frac{p-q}{2}\right) & = \cos(p) + \cos(q) \\
& = 2 \cos\left(\frac{p+q}{2}\right) \cos\left(\frac{p-q}{2}\right)
\end{align}
\)
사인의 합을 코사인의 합으로 나누면 우리는 다음에 도달합니다:
\(\quad\displaystyle \frac{\sin(p) + \sin(q)}{\cos(p) + \cos(q)} = \frac{2 \sin\left(\frac{p+q}{2}\right) \cos\left(\frac{p-q}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{p+q}{2}\right) \cos\left(\frac{p-q}{2}\right)} = \tan\left(\frac{p+q}{2}\right) \)
Geometric proofs
위에서 유도된 공식을 오른쪽의 마름모 그림에 적용하면, 다음임을 쉽게 알 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \tan \frac{a+b}{2} = \frac{\sin \frac{a+b}{2}}{\cos \frac{a+b}{2}} = \frac{\sin a + \sin b}{\cos a + \cos b}.\)
단위 원에서, 위의 응용은 \(\displaystyle t = \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)\)임을 보입니다. 닮은 삼각형(similar triangles)에 의해,
\(\quad\displaystyle \frac{t}{\sin \varphi} = \frac{1}{1+ \cos \varphi}\). It follows that \(\quad\displaystyle t = \frac{\sin \varphi}{1+ \cos \varphi} = \frac{\sin \varphi(1- \cos \varphi)}{(1+ \cos \varphi)(1- \cos \varphi)} = \frac{1- \cos \varphi}{\sin \varphi}.\)
The tangent half-angle substitution in integral calculus
삼각법(trigonometry)의 다양한 응용에서, 새로운 변수 \(\displaystyle t\)의 유리 함수(rational function)의 관점에서 (사인(sine)과 코사인(cosine)과 같은) 삼각 함수(trigonometric function)를 다시-쓰는 것이 유용합니다. 이들 항등식은 \(\quad\displaystyle t\)의 정의때문에 탄젠트 절반-각도 공식(tangent half-angle formulae)으로 집합적으로 알려져 있습니다. 이들 항등식은 그들의 역도함수(antiderivative)를 찾기 위해 사인과 코사인의 유리 함수를 t의 함수로 변환하는 미적분학(calculus)에서 유용할 수 있습니다.
기술적으로, 탄젠트 절반-각도 공식의 존재는 원(circle)이 지너스(genus) 0의 대수적 곡선(algebraic curve)이라는 사실에서 비롯됩니다. 우리는 그런-다음 원형 함수(circular functions)가 유리 함수로 축소될 수 있다고 예상합니다.
기하학적으로, 구성은 다음과 같이 진행됩니다: 단위 원(unit circle) 위의 임의의 점 (cos φ, sin φ)에 대해, 그것과 점 (−1, 0)을 통과하는 직선을 그립니다. 이 점은 어떤 점 y = t에서 y-축과 교차합니다. 우리는 간단한 기하학을 사용하여 t = tan(φ/2)임을 보일 수 있습니다. 그려진 직선에 대한 방정식은 y = (1 + x)t입니다. 직선과 원의 교차에 대한 방정식은 그런-다음 t를 포함하는 이차 방정식(quadratic equation)입니다. 이 방정식에 대한 두 가지 해는 (−1, 0)과 (cos φ, sin φ)입니다. 이것은 후자를 t의 유리 함수로 쓰는 것을 허용합니다 (해는 아래에 제공됩니다).
매개 변수 t는 (−1, 0)에 투영의 중심을 갖는 y-축 위로의 점 (cos φ, sin φ)의 입체 투영(stereographic projection)을 나타냅니다. 따라서, 탄젠트 절반-각도 공식은 단위 원 위에 입체 좌표 t와 표준 각도 좌표 φ 사이의 변환을 제공합니다.
그런-다음 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
& \cos\varphi = \frac{1 - t^2}{1 + t^2},
& & \sin\varphi = \frac{2t}{1 + t^2}, \\[8pt]
& \tan\varphi = \frac{2t}{1 - t^2}
& & \cot\varphi = \frac{1 - t^2}{2t}, \\[8pt]
& \sec\varphi = \frac{1 + t^2}{1 - t^2},
& & \csc\varphi = \frac{1 + t^2}{2t},
\end{align}
\)
및
\(\quad\displaystyle e^{i \varphi} = \frac{1 + i t}{1 - i t}, \qquad
e^{-i \varphi} = \frac{1 - i t}{1 + i t}.
\)
바로 위와 \(\displaystyle t\)의 초기 정의 사이의 φ를 제거함으로써, 우리는 자연 로그(natural logarithm)의 관점에서 아크탄젠트(arctangent)에 대해 다음 유용한 관계에 도달합니다:
\(\quad\displaystyle \arctan t = \frac{1}{2i}\ln\frac{1+it}{1-it}.\)
미적분(calculus)에서, 바이어슈트라스 치환은 sin φ와 cos φ의 유리 함수(rational functions)의 역도함수를 찾기 위해 사용됩니다. 다음을 설정하십시오:
\(\quad\displaystyle t=\tan\tfrac{1}{2}\varphi.\)
이것은 어떤 정수 n에 대해 다음임을 의미하고,
\(\quad\displaystyle \varphi=2\arctan(t)+2\pi n , \)
따라서,
\(\quad\displaystyle d\varphi = {{2\,dt} \over {1 + t^2}}.\)
Hyperbolic identities
우리는 쌍곡 함수(hyperbolic function)로 완전히 유사한 게임을 할 수 있습니다. 쌍곡선(hyperbola)(의 오른쪽 가지)의 한 점은 (cosh θ, sinh θ)에 의해 표시됩니다. 이것을 중심 (−1, 0)에서 y-축 위로 투영하면 다음 결과를 제공합니다:
\(\quad\displaystyle t = \tanh\tfrac{1}{2}\theta = \frac{\sinh\theta}{\cosh\theta+1} = \frac{\cosh\theta-1}{\sinh\theta}\)
다음 항등식과 함께
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
& \cosh\theta = \frac{1 + t^2}{1 - t^2},
& & \sinh\theta = \frac{2t}{1 - t^2}, \\[8pt]
& \tanh\theta = \frac{2t}{1 + t^2},
& & \coth\theta = \frac{1 + t^2}{2t}, \\[8pt]
& \operatorname{sech}\,\theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2},
& & \operatorname{csch}\,\theta = \frac{1 - t^2}{2t},
\end{align}
\)
및
\(\quad\displaystyle e^\theta = \frac{1 + t}{1 - t}, \qquad
e^{-\theta} = \frac{1 - t}{1 + t}.\)
t의 관점에서 θ를 찾는 것은 쌍곡 아크코탄젠트와 자연 로그 사이의 다음 관계로 이어집니다:
\(\quad\displaystyle \operatorname{artanh} t = \frac 1 2 \ln\frac{1+t}{1-t}.\)
("ar-"가 "arc-" 대신에 사용되는데 왜냐하면 "arc"는 호 길이에 대한 것이고 "ar"은 "area"를 줄여쓴 것입니다. 그것은 원의 호를 따라 측정된 두 반직선 사이의 호 길이가 아니라, 두 반직선과 쌍곡선 사이의 넓이입니다.)
The Gudermannian function
쌍곡 항등식과 원형 항등식을 비교하면, 우리는 그것들이 단지 순열된 t의 같은 함수를 포함한다는 것을 알 수 있습니다. 만약 우리가 경우 둘 다에서 매개 변수 t를 식별하면 우리는 원형 함수와 쌍곡 함수 사이의 관계에 도달합니다. 즉, 만약 다음이면
\(\quad\displaystyle t = \tan\tfrac 1 2 \varphi = \tanh\tfrac 1 2 \theta\)
다음입니다:
\(\quad\displaystyle \varphi = 2\tan^{-1}\tanh \tfrac 1 2 \theta \equiv \operatorname{gd} \theta.\)
여기서 gd(θ)는 구데르만 함수(Gudermannian function)입니다. 구데르만 함수는 복소수를 포함하지 않는 원형 함수와 쌍곡 함수 사이의 직접 관계를 제공합니다. 탄젠트 절반-각도 공식의 위의 설명 (단위 원과 표준 쌍곡선을 y-축 위로의 투영)은 이 함수의 기하학적 해석을 제공합니다.
Pythagorean triples
그것들의 변이 피타고라스 세-쌍인 직각 삼각형(right triangle)의 예각의 절반의 탄젠트는 반드시 구간 (0, 1)에서 유리수(rational number)일 것입니다. 그 반대, 절반-각도 탄젠트가 구간 (0, 1)에서 유리수일 때, 전체 각도를 가지고 피타고라스 세-쌍인 변 길이를 가지는 직각 삼각형이 있습니다.
See also
