수학(mathematics)에서, 두 함수의 점별 곱(pointwise product:점마다 곱)은 도메인 안의 각 값에서 두 함수의 이미지(image)를 곱함으로써 얻어진 또 다른 함수(function)입니다. 만약 f와 g가 도메인(domain) X와 코도메인 Y를 갖는 함수 둘 다이고, Y의 원소가 곱해질 수 있으면 (예를 들어, Y는 숫자의 어떤 집합일 수 있습니다), f와 g의 점별 곱은 X에서 x를 Y에서 f(x)g(x)에 매핑하는 X에서 Y로의 또 다른 함수입니다.
Formal definition
X와 Y를 Y가 곱셈의 개념을 가짐 — 즉, 다음의 이항 연산(binary operation)이 있음을 만족하는 집합으로 놓습니다:
\(\quad\displaystyle \cdot : Y \times Y \longrightarrow Y\) given by \(\displaystyle y \cdot z = yz.\)
그런-다음 두 함수 f, g: X → Y가 주어지면, 점별 곱 (f ⋅ g) : X → Y은 X에서 모든 x에 대해 다음에 의해 정의됩니다:
\(\quad\displaystyle (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)
마치 우리가 이항 연산 ⋅ 에 대해 기호를 생략하는 것처럼 (즉, 우리가 y ⋅ z 대신에 yz라고 쓰는 것처럼), 우리는 종종 f ⋅ g에 대해 fg라고 씁니다.
Examples
두 함수의 점별 곱의 가장 공통적인 경우는 코도메인이 [[ring (mathematics)|링(ring)]] (또는 [[field (mathematics)|필드(field)]])일 때이며, 이것에서 곱셈은 잘-정의된 것입니다.
- 만약 Y가 실수(real number) R의 집합이면, f, g : X → R의 점별 곱은 단지 이미지의 표준 곱입니다. 예를 들어, 만약 우리가 f(x) = 2x and g(x) = x + 1를 가지면, R에서 모든 각 x에 대해 다음입니다:
- \(\displaystyle (fg)(x) = f(x)g(x) = 2x(x + 1) = 2x^2 + 2x\,\).
- 합성곱 정리(convolution theorem)는 합성곱(convolution)의 푸리에 변환(Fourier transform)이 푸리에 변환의 점별 곱임을 말합니다:
- \(\displaystyle \mathcal{F}\{f*g\} = \mathcal{F}\{f\} \cdot \mathcal{F}\{g\}.\)
Algebraic application of pointwise products
X를 집합으로 놓고 R을 링(ring)으로 놓습니다. 덧셈(addition)과 곱셈(multiplication)이 R에서 정의되어 있기 때문에, 우리는 점별로 행해질 함수의 덧셈, 곱셈, 및 스칼라 곱셈을 정의함으로써 X에서 R로의 함수 중에서 대수(algebra)로 알려진 대수적 구조를 구성할 수 있습니다.
만약 \(R^X\)이 X에서 R로의 함수의 집합을 표시하면, 우리는 만약 f, g가 \(R^X\)의 원소이면, f + g, fg, and rf임을 말합니다 — 그것의 마지막은 R에서 모든 r에 대해, 즉, \(R^X\)의 모든 원소에 대해 다음에 의해 정의됩니다:
\(\quad\displaystyle (rf)(x) = rf(x)\,\).
Generalization
만약 f와 g 둘 다가 이산 변수의 집합의 모든 가능한 할당을 도메인으로 가지면, 그것들의 점별 곱은 그것의 도메인이 두 집합의 합집합(union)의 모든 가능한 할당에 의해 구성되는 함수입니다. 각 할당의 값은 그것의 도메인에 있는 할당의 부분집합 각각에 제공된 두 함수의 값의 곱으로 계산됩니다.
예를 들어, 부울 변수 p와 q의 함수 \(f_1(\,)\)와 부울 변수 q와 r의 \(f_2(\,)\), R에서 치역(range)을 갖는 둘이 주어지면, \(f_1(\,)\)와 \(f_2(\,)\)의 점별 곱은 다음 테이블에서 보입니다:
