수학(mathematics)에서, 점-별 수렴(pointwise convergence)은 함수의 수열(sequence)이 특정 함수로 수렴할 수 있는 다양한 의미 중 하나입니다. 그것은 종종 비교되는 균등 수렴(uniform convergence)보다 약한 것입니다.
Definition
\(\displaystyle X\)가 집합이고 \(\displaystyle Y\)가 예를 들어 실수 또는 복소수 또는 메트릭 공간과 같은 토폴로지적 공간(topological space)이라고 가정합니다. 같은 도메인 \(\displaystyle X\)와 코도메인 \(\displaystyle Y\)를 가지는 네트(net) 또는 함수의 수열 \(\displaystyle \left(f_n\right)\) 모두는 종종 다음과 같이 쓰이는 주어진 함수 \(\displaystyle f : X \to Y\)으
로 점별로 수렴(converge pointwise)한다고 말합니다:
\(\quad\displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n = f\ \mbox{pointwise}\)
if (and only if)
\(\quad\displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n(x) = f(x) \text{ for every } x \text{ in the domain of } f.\)
함수 \(\displaystyle f\)는 \(\displaystyle \left(f_n\right)\)의 점별 극한(pointwise limit) 함수라고 말합니다.
때때로, 저자는 \(\displaystyle \forall n,x,\;|f_n(x)|<C\)을 만족하는 상수 \(\displaystyle C\)가 있을 때 경계진 점별 수렴(bounded pointwise convergence)이라는 용어를 사용합니다.
Properties
이 개념은 종종 균등 수렴(uniform convergence)과 대조됩니다. 다음임을 말하는 것은
\(\quad\displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n = f\ \mbox{uniformly}\)
다음임을 의미합니다:
\(\quad\displaystyle \lim_{n\to\infty}\,\sup\{\,\left|f_n(x)-f(x)\right| : x \in A \,\}=0,\)
여기서 \(\displaystyle A\)는 \(\displaystyle f\)와 \(\displaystyle f_n\)의 공통 도메인이고, \(\displaystyle \sup\)는 상한(supremum)을 나타냅니다. 그것은 점별 수렴의 주장보다 더 강력한 명제입니다: 모든 각 균등 수렴 수열은 같은 극한하는 함수로 점별 수렴하지만, 일부 점별 수렴 수열은 균등하게 수렴하지 않습니다. 예를 들어, \(\displaystyle f_n : [0,1) \to [0,1)\)이 \(\displaystyle f_n(x) = x^n\)에 의해 정의되는 함수의 수열이면, \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0\)는 구간 \(\displaystyle [0, 1)\) 위에 점별이지만, 균등은 아닙니다.
연속 함수의 수열의 점별 극한은 수렴이 균등하지 않은 경우에만 불연속 함수일 수 있습니다. 예를 들어, 다음은
\(\displaystyle f(x) = \lim_{n\to\infty} \cos(\pi x)^{2n}\)
\(\displaystyle x\)가 정수일 때 값 \(\displaystyle 1\)을 취하고 \(\displaystyle x\)가 정수가 아닐 때 \(\displaystyle 0\)을 취하고, 따라서 모든 각 정수에서 불연속입니다. 함수 \(\displaystyle f_n\)의 값은 실수일 필요는 없지만, 점별 수렴의 개념이 의미를 가지기 위해 임의의 토폴로지적 공간(topological space)에 있을 수 있습니다. 다른 한편으로, 균등 수렴은 일반적으로 토폴로지적 공간에서 값을 취하는 함수에 적합하지 않지만 메트릭 공간(metric spaces), 및, 보다 일반적으로 균등 공간(uniform spaces)에서 값을 취하는 함수에는 적합합니다.
Topology
\(\displaystyle Y^X\)는 일부 주어진 집합 \(\displaystyle X\)에서 일부 토폴로지적 공간(topological space) \(\displaystyle Y\)로의 모든 함수 집합을 나타낸다고 놓습니다. 토폴로지적 공간의 카테고리의 특성화에 대한 기사에서 설명한 것처럼, 만약 특정 조건이 충족되면, 네트(nets)가 수렴하는 것과 수렴하지 않는 것과 관련하여 집합에 고유한 토폴로지를 정의하는 것이 가능합니다. 점별 수렴의 정의는 이들 조건을 충족하고 따라서 \(\displaystyle X \to Y\) 형식의 모든 함수 집합 \(\displaystyle Y^X\) 위에 점별 수렴의 토폴로지(topology of pointwise convergence)라고 불리는 토폴로지(topology)를 유도합니다. \(\displaystyle Y^X\)에서 네트가 이 토폴로지에서 수렴하는 것과 그것이 점별 수렴하는 것은 필요충분 조건입니다.
점별 수렴의 토폴로지는 공간 \(\displaystyle Y^X\)에서 곱 토폴로지(product topology)의 수렴과 같으며, 여기서 \(\displaystyle X\)는 도메인이고 \(\displaystyle Y\)는 코도메인입니다. 명시적으로, 만약 \(\displaystyle \mathcal{F} \subseteq Y^X\)가 일부 집합 \(\displaystyle X\)에서 일부 토폴로지적 공간 \(\displaystyle Y\)로의 함수 집합이면, \(\displaystyle \mathcal{F}\) 위에 점별 수렴의 토폴로지는 \(\displaystyle \mathcal{F}\)가 \(\displaystyle f \mapsto (f(x))_{x \in X}\)에 의해 정의된 정식의 포함 맵 \(\displaystyle \mathcal{F} \to \prod_{x \in X} Y\)을 통해 이 데카르트 곱의 부분집합으로 식별될 때 곱 공간(product space) \(\displaystyle \prod_{x \in X} Y\)에서 상속하는 부분공간 토폴로지(subspace topology)와 같습니다.
만약 코도메인 \(\displaystyle Y\)가 컴팩트(compact)이면, 티호노프의 정리(Tychonoff's theorem)에 의해, 공간 \(\displaystyle Y^X\)도 컴팩트입니다.
Almost everywhere convergence
측정 이론(measure theory)에서, 우리는 측정-가능 공간(measurable space) 위에 정의된 측정-가능 함수(measurable functions)의 수열의 거의 모든 곳에서 수렴(almost everywhere convergence)에 대해 이야기합니다. 이는 거의 모든 곳(almost everywhere), 즉, 그것의 여집합이 측정 영을 가지는 도메인의 부분집합 위에 점별 수렴을 의미합니다. 예고로프의 정리(Egorov's theorem)에 따르면 유한 측정의 집합 위에 거의 모든 곳에서 점별 수렴은 약간 더 작은 집합 위에 균등 수렴을 의미합니다.
측정 공간(measure space) 위에 함수의 공간 위에 거의 모든 곳에서 점별 수렴은 (비록 그것이 수렴 구조일지라도) 측정 공간의 측정-가능 함수의 공간 위에 토폴로지(topology)의 구조를 정의하지 않습니다. 토폴로지적 공간에서, 수열의 모든 각 부분수열이 같은 후속 극한(subsequential limit)을 갖는 자체 부분수열을 가질 때, 수열 자체는 해당 극한으로 수렴해야 합니다.
그러나 바닥 함수(floor function)를 사용하여 정의되는 소위 "급속한 사각형(galloping rectangles)" 함수의 수열을 생각해 보십시오: \(\displaystyle N = \operatorname{floor}\left(\log_2 n\right)\)와 \(\displaystyle k = n\) 모드 \(\displaystyle 2^X\)라고 놓고, 다음이라고 놓습니다:
\(\quad\displaystyle f_n(x) = \begin{cases}
1, & \frac{k}{2^N} \leq x \leq \frac{k+1}{2^N} \\
0, & \text{otherwise}.
\end{cases}\)
그런-다음 수열 \(\displaystyle \left(f_n\right)_n\)의 임의의 부분수열은 거의 모든 곳에서 영으로 자체 수렴하는 부분-부분수열, 예를 들어 \(\displaystyle x = 0\)에서 사라지지 않는 함수의 부분수열을 가집니다. 그러나 어떤 지점에서도 원래 수열은 점별로 영으로 수렴하지 않습니다. 따라서, 측정에서 수렴(convergence in measure)과 \(\displaystyle L^p\) 수렴과 달리, 거의 모든 곳에서 점별 수렴은 함수의 공간 위에 임의의 토폴로지의 수렴이 아닙니다.
References
- Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
- Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
- Li, Zenghu (2011). Measure-Valued Branching Markov Processes. Springer. ISBN 978-3-642-15003-6.
