수학(mathematics)에서, 한정어 점별(pointwise:점마다)은 특정 속성이 어떤 함수 \(\displaystyle f\)의 각 값 \(\displaystyle f(x)\)를 고려함으로써 정의되는 것을 나타내기 위해 사용됩니다. 점별 개념의 중요한 클래스는 점별 연산, 즉, 정의의 도메인(domain)에서 각 점에 대해 연산을 개별적으로 함수 값에 적용함으로써 함수 위에 정의된 연산입니다. 중요한 관계(relations)는 역시 점별로 정의될 수 있습니다.
Pointwise operations
Formal definition
집합 Y 위에 이항 연산 o: Y × Y → Y은 다음처럼 X에서 Y로의 모든 함수의 집합 X→Y 위에 연산 O: (X→Y) × (X→Y) → (X→Y)을 점별로 들어 올릴 수 있습니다: 두 함수 \(f_1: X\to Y\) 및 \(f_2:X \to Y\)가 주어지면, 다음에 의해 함수 \(O(f_1, f_2): X \to Y\)를 정의합니다:
- 모든 \(x \in X\)에 대해 \((O(f_1,f_2))(x) = o(f_1(x), f_2(x))\).
공통적으로, o와 O는 같은 기호에 의해 표시됩니다. 유사한 정의가 단항 연산 o, 및 다른 애리티(arity)의 연산에 대해 사용됩니다.
Examples
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
(f+g)(x) & = f(x)+g(x) & \text{(pointwise addition)} \\
(f\cdot g)(x) & = f(x) \cdot g(x) & \text{(pointwise multiplication)} \\
(\lambda \cdot f)(x) & = \lambda \cdot f(x) & \text{(pointwise multiplication by a scalar)}
\end{align}
\)
여기서 \(\displaystyle f,g:X\to R\).
역시 점별 곱(pointwise product), 및 스칼라(scalar)를 참조하십시오.
점별이 아닌 함수 위에 연산의 예제는 합성곱(convolution)입니다.
Properties
점별 연산은 코도메인(codomain) 위의 해당하는 연산에서 결합성(associativity), 교환성(commutativity) 및 분배성(distributivity)과 같은 그러한 속성을 상속합니다. 만약 \(\displaystyle A\)가 일부 대수적 구조조이면, \(\displaystyle A\)의 도메인(carrier set)에 대한 모든 함수 \(\displaystyle X\)의 집합은 유사한 방법으로 같은 유형의 대수적 구조로 변환될 수 있습니다.
Componentwise operations
성분별 연산은 보통 벡터 위에 정의되며, 여기서 벡터는 일부 자연수(natural number) \(\displaystyle n\)과 일부 필드(field) \(\displaystyle K\)에 대해 집합 \(\displaystyle K^n\)의 원소입니다. 만약 우리가 임의의 벡터 \(\displaystyle v\)의 \(\displaystyle i\)-번째 성분을 \(\displaystyle v_i\)로 표시하면, 성분별 덧셈은 \(\displaystyle (u+v)_i = u_i+v_i\)입니다.
성분별 연산은 행렬 위에 정의될 수 있습니다. 행렬 덧셈은, 여기서 \(\displaystyle (A + B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij}\)이며, 성분별 연산이고 반면에 행렬 곱셈(matrix multiplication)은 그렇지 않습니다.
튜플(tuple)은 함수로 고려될 수 있고, 벡터는 튜플입니다. 그러므로, 임의의 벡터 \(\displaystyle v\)는 \(\displaystyle f(i)=v_i\)를 만족하는 함수 \(\displaystyle f:n\to K\)에 해당하고, 벡터에 대한 임의의 성분별 연산은 그들 벡터에 해당하는 함수에 대한 점별 연산입니다.
Pointwise relations
순서 이론(order theory)에서, 함수에 대한 점별 부분 순서(partial order)를 정의하는 것이 공통적입니다. A, B 포셋(posets)과 함께, 함수 A → B의 집합이 f ≤ g에 의해 순서화될 수 있는 것과 (∀x ∈ A) f(x) ≤ g(x)인 것은 필요충분 조건입니다. 점별 순서는 역시 놓여있는 포셋의 일부 속성을 상속합니다. 예를 들어, 만약 A와 B가 연속 격자(continuous lattice)이면, 점별 순서를 갖는 함수 A → B의 집합도 마찬가지입니다. 함수에 대한 점별 순서를 사용하여, 우리는 다른 중요한 개념을 간결하게 정의할 수 있으며, 예를 들어:
- 포셋 P 위에 클로저 연산자(closure operator) c는 \(\text{id}_A \le c\)인 추가적인 속성을 갖는 P 위에 단조(monotone)와 거듭상등(idempotent) 자기-맵 (즉, 투영 연산자(projection operator))이며, 여기서 id는 항등 함수(identity function)입니다.
- 유사하게, 투영 연산자 k가 커널 연산자(kernel operator)라고 불리는 것과 \(k \le \text{id}_A\)인 것은 필요충분 조건입니다.
무한-항(infinitary) 점별 연산의 예제는 함수의 점별 수렴(pointwise convergence)입니다—다음 함수의 수열(sequence)입니다:
\(\quad\displaystyle (f_n)_{n=1}^\infty\)
여기서 만약 \(\displaystyle X\)에서 각 \(\displaystyle x\)에 대해 다음이면:
\(\quad\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = f(x)\)
다음은
\(\quad\displaystyle f_n:X \longrightarrow Y\)
함수 \(\displaystyle f\)에 점별로 수렴(converges)입니다.
References
For order theory examples:
- T. S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.
- G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, D. S. Scott: Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003.
