고전 유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 점은 공간(space)에서 정확한 위치를 모델링하는 원시 개념(primitive notion)이고, 길이 너비, 또는 두께를 가지지 않습니다. 현대 수학(mathematics)에서, 점은 보다 일반적으로 공간(space)이라고 불리는 어떤 집합(set)의 원소(element)를 참조합니다.
원시 개념이 있다는 것은 점이 이전에 정의된 대상의 관점에서 정의될 수 없음을 의미합니다. 즉, 점은, 그것이 반드시 만족시켜야 하는, 공리(axiom)라고 불리는, 오직 일부 속성에 의해서 정의됩니다; 예를 들어, "두 다른 점을 통과하는 정확하게 하나의 직선(line)이 있습니다".
Points in Euclidean geometry
유클리드 기하학(Euclidean geometry)의 틀 내에서 고려된 점은 가장 기본 대상 중 하나입니다. 유클리드(Euclid)는 원래 점을 "부분을 가지지 않는 것"으로 정의했었습니다. 이-차원 유클리드 공간(Euclidean space)에서, 점은 숫자의 순서화된 쌍 (x, y)에 의해 표현되며, 여기서 첫 번째 숫자는 관례적으로(conventionally) 수평(horizontal)을 나타내고 종종 x에 의해 표시되고, 두 번째 숫자는 관례적으로 수직(vertical)을 나타내고 종종 y에 의해 표시됩니다. 이 아이디어는 삼-차원 유클리드 공간으로 쉽게 일반화되며, 여기서 점은 깊이를 나타내고 종종 z에 의해 표시된 추가적인 세 번째 숫자를 갖는 순서화된 세-쌍 (x, y, z)에 의해 나타냅니다. 그 이상의 일반화는 n 항의 순서화된 튜플(tuple), \((a_1,a_2,\cdots, a_n)\)에 의해 표시되며, 여기서 n은 점이 위치하게 되는 공간의 차원(dimension)입니다.
유클리드 기하학 내의 많은 구성은 특정 공리를 따르는 점들의 무한(infinite) 모음으로 구성됩니다. 이것은 보통 점들의 집합(set)에 의해 표현됩니다; 예를 들어, 직선(line)은 형식 \(\scriptstyle {L = \lbrace (a_1,a_2,...a_n)|a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \rbrace}\)의 점들의 무한 집합이며, 여기서 \(c_1\)에서 \(c_n\)까지와 d는 상수이고 n은 공간의 차원입니다. 비슷한 구성은 평면(plane), 선분(line segment) 및 다른 관련된 개념을 정의하는 것에 존재합니다. 오직 한 점으로 구성하는 선분은 퇴화(degenerate) 선분이라고 불립니다.
점과 점과 관련된 구성을 정의하는 것 외에도, 유클리드는 역시 임의의 두 점이 직선에 의해 연결될 수 있다는, 점에 대한 핵심 아이디어를 가정했습니다. 이것은 유클리드 기하학의 현대적인 확장 아래에서 쉽게 확인되고, 그것의 도입에서 지속적인 결과를 가져왔으며, 그 당시에 알려진 거의 모든 기하학적 개념의 구성을 허용했습니다. 어쨌든, 유클리드의 점에 대한 가정은 완전하지도 않고 정의적이지도 않았고, 그는 때때로 직선 위의 점 순서화 또는 특정 점의 존재와 같은 그의 공리에서 직접 따르지 않는 점에 대한 사실을 가정했습니다. 이것에도 불구하고, 그 시스템의 현대적인 확장은 이들 가정을 제거하는 역할을 합니다.
Dimension of a point
수학에서 차원(dimension)의 여러 비-동등한 정의가 있습니다. 공통적인 정의의 모두에서, 점은 0-차원입니다.
Vector space dimension
벡터 공간의 차원은 선형적으로 독립(linearly independent) 부분집합의 최대 크기입니다. 단일 점 (영 벡터 0이어야 함)으로 구성하는 벡터 공간에서, 선형적으로 독립 부분집합은 없습니다. 영 벡터는 자체로 선형적으로 독립적이지 아닌데, 왜냐하면 그것을 영으로 만드는 비-자명한 선형 조합이 있기 때문입니다: \(1 \cdot \mathbf{0}=\mathbf{0}\).
Topological dimension
토폴로지적 공간 X의 토폴로지적 차원은, X의 모든 각 유한 열린 덮개(open cover) \(\mathcal{A}\)가 n+1 원소 이상에 포함된 점이 없는 \(\mathcal{A}\)를 세분화(refines)하는 X의 유한 열린 덮개 \(\mathcal{B}\)를 허용함을 만족하는, n의 최솟값으로 정의됩니다. 만약 그러한 최소 n이 존재하지 않으면, 그 공간은 무한 덮는 차원이라고 말합니다.
점은 덮는 차원에 관해 영-차원(zero-dimensional)인데 왜냐하면 그 공간의 모든 각 열린 덮개는 단일 열린 집합으로 구성하는 세분화를 가지기 때문입니다.
Hausdorff dimension
X를 메트릭 공간(metric space)으로 놓습니다. 만약 S ⊂ X 및 d ∈ [0, ∞)이면, S의 d-차원 하우스도르프 컨텐츠는 \(\sum_{i\in I} r_i^d<\delta \)를 만족시키는 각 i ∈ I에 대해 ri > 0를 갖는 S를 덮는 공(balls) \(\{B(x_i,r_i):i\in I\}\)의 일부 (인덱스된) 모음이 있음을 만족하는 숫자 δ ≥ 0의 집합의 하한(infimum)입니다.
X의 하우스도르프 차원은 다음에 의해 정의됩니다:
\(\quad\operatorname{dim}_{\operatorname{H}}(X):=\inf\{d\ge 0: C_H^d(X)=0\}.\)
점은 하우스도르프 차원 0을 가지는데 왜냐하면 그것은 임의적으로 작은 반지름의 단일 공에 의해 덮혀질 수 있기 때문입니다.
Geometry without points
비록 점의 개념이 일반적으로 주류 기하학과 토폴로지에서 기본으로 고려되지만, 그것없이 지내는 일부 시스템, 예를 들어 비-교환 기하학(noncommutative geometry) 및 점없는 토폴로지(pointless topology)가 있습니다. "점없는" 또는 "점없는" 공간은 집합(set)으로 정의되지 않지만, 집합 위에 잘-알려진 함수 공간: 각각 연속 함수(continuous function) 또는 집합의 대수(algebra of sets)처럼 보이는 (각각 대수적(algebraic) 또는 논리적(logical)) 일부 구조를 통해 정의됩니다. 보다 정확하게, 그러한 구조는 "이 시점에서 값을 취하는" 연산이 정의되지 않을 수 있는 방법으로 잘-알려진 함수(functions)의 공간을 일반화합니다. 추가 전통은 화이트헤드(A.N. Whitehead)의 일부 책에서 시작되며, 이것에서 범위의 개념은 포함 또는 연결 중 하나와 함께 원시적으로 가정됩니다.
Point masses and the Dirac delta function
종종 물리학과 수학에서, 점을 비-영 질량 또는 전하를 갖는 것으로 생각하는 것이 유용합니다 (이것은 특히 전자가 비-영 전하를 갖는 점으로 이상화되는 고전 전자기학(classical electromagnetism)에서 공통적입니다). 디랙 델타 함수, 또는 δ 함수는 (비공식적으로) 전체 실수 줄에 대해 일의 적분(integral)을 갖는 영을 제외한 모든 곳에서 영인 실수 직선 위에 일반화된 함수(generalized function)입니다. 델타 함수는 때때로 대못 아래에 전체 넓이 일을 갖고 물리적으로 이상화된 점 질량(point mass) 또는 점 전하(point charge)로 원점에서 무한하게 높고 무한하게 얇은 대못으로 생각됩니다. 그것은 이론 물리학자 폴 디랙(Paul Dirac)에 의해 도입되었습니다. 신호 처리(signal processing)의 문맥에서, 그것은 종종 단위 임펄스 기호 (또는 함수)로 참조됩니다. 그것의 이산 아날로그는 보통 유한 도메인 위에서 정의되고 값 0과 1을 취하는 크로네커 델타(Kronecker delta) 함수입니다.
See also
References
- Clarke, Bowman, 1985, "Individuals and Points," Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61–75.
- De Laguna, T., 1922, "Point, line and surface as sets of solids," The Journal of Philosophy 19: 449–61.
- Gerla, G., 1995, "Pointless Geometries" in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland: 1015–31.
- Whitehead, A. N., 1919. An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge. Cambridge Univ. Press. 2nd ed., 1925.
- Whitehead, A. N., 1920. The Concept of Nature. Cambridge Univ. Press. 2004 paperback, Prometheus Books. Being the 1919 Tarner Lectures delivered at Trinity College.
- Whitehead, A. N., 1979 (1929). Process and Reality. Free Press.
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