수학(mathematics)에서, 정사각 실수 또는 복소수 행렬 \(A\)의 극 분해(polar decomposition)는 형식 \(\displaystyle A = U P\)의 인수분해(factorization)이며, 여기서 \(\displaystyle U\)는 유니태리 행렬(unitary matrix)이고 \(\displaystyle P\)는 양수 반-한정 에르미트 행렬(Hermitian matrix)이며 (\(\displaystyle U\)는 직교 행렬이고 \(\displaystyle P\)는 실수 경우에서 양수 반-한정 대칭 행렬임), 정사각 및 크기가 모두 같습니다.
직관적으로, 만약 실수 \(\displaystyle n\times n\) 행렬 \(\displaystyle A\)가 \(\displaystyle n\)-차원 공간 \(\displaystyle \mathbb{R}^n\)의 선형 변환(linear transformation)으로 해석되면, 극 분해는 그것을 \(\displaystyle \mathbb{R}^n\)의 회전 또는 반사 \(\displaystyle U\)와 \(\displaystyle n\) 직교 축의 집합을 따라 공간의 스케일링(scaling)으로 분리합니다.
정사각 행렬 \(\displaystyle A\)의 극 분해는 항상 존재합니다. 만약 \(\displaystyle A\)가 역-가능(invertible)이면, 그 분해는 고유하고 인수 \(\displaystyle P\)는 양수-한정이 됩니다. 해당 경우에서, \(\displaystyle A\)는 \(\displaystyle A = U e^X \) 형식으로 고유하게 쓸 수 있으며, 여기서 \(\displaystyle U\)는 유니태리이고 \(\displaystyle X\)는 행렬 \(\displaystyle P\)의 고유한 자체-인접 로그(logarithm)입니다. 이 분해는 (행렬) 리 그룹(Lie groups)의 기본 그룹(fundamental group)을 계산하는 데 유용합니다.
극 분해는 \(\displaystyle A = P' U\)로 정의할 수도 있으며, 여기서 \(\displaystyle P' = U P U^{-1}\)은 \(\displaystyle P\)와 같은 고윳값과 다른 고유벡터를 갖는 대칭 양수-한정 행렬입니다.
행렬의 극 분해는 \(\displaystyle z = u r\)로 복소수 \(\displaystyle z\)의 극 형식(polar form)의 행렬 아날로그로 볼 수 있으며, 여기서 \(\displaystyle r\)은 절댓값 (비-음의 실수)이고, \(\displaystyle u\)는 단위 노름 (원 그룹의 원소)를 갖는 복소수입니다.
정의 \(\displaystyle A = UP\)는 \(\displaystyle U\in\mathbb{C}^{m \times n}\)가 반-유니태리(semi-unitary) 행렬이고 \(\displaystyle P\in\mathbb{C}^{n \times n}\)이 양수-반한정 에르미트 행렬이 되도록 요구함으로써 직사각 행렬 \(\displaystyle A\in\mathbb{C}^{m \times n}\)로 확장될 수 있습니다. 분해는 항상 존재하고 \(\displaystyle P\)는 항상 고유합니다. 행렬 \(\displaystyle U\)가 고유한 것과 \(\displaystyle A\)가 완전한 랭크를 가지는 것은 필요충분 조건입니다.
Intuitive interpretation
실수 정사각 \(\displaystyle m\times m\) 행렬 \(\displaystyle A\)는 열 벡터 \(\displaystyle x\)를 \(\displaystyle A x\)로 취하는 \(\displaystyle \mathbb{R}^m\)의 선형 변환(linear transformation)으로 해석될 수 있습니다. 그런-다음 극 분해 \(\displaystyle A = RP\)에서, 인수 \(\displaystyle R\)은 \(\displaystyle m\times m\) 실수 직교정규 행렬입니다. 극 분해는 그때에 \(\displaystyle A\)에 의해 정의된 선형 변환을 스케일 인수 \(\displaystyle \sigma_i\)에 의해 \(\displaystyle P\)의 각 고유벡터 \(\displaystyle e_i\)를 따라 공간 \(\displaystyle \mathbb{R}^m\)의 스케일링 (\(\displaystyle P\)의 동작)으로 표현한 다음 \(\displaystyle \mathbb{R}^m\)의 회전 (\(\displaystyle R\)의 동작)을 나타내는 것으로 볼 수 있습니다.
대안적으로, 분해 \(\displaystyle A=P R\)은 특정 직교 방향을 따라 스케일링 (\(\displaystyle P\))을 전에 회전 (\(\displaystyle R\))으로 \(\displaystyle A\)에 의해 정의된 변환을 표현합니다. 스케일 인수는 같지만, 방향이 다릅니다.
Properties
\(\displaystyle A\)의 복소수 켤레(complex conjugate)에 대한 극 분해는 \(\displaystyle \overline{A} = \overline{U}\overline{P}.\)에 의해 제공됩니다.
\(\quad\displaystyle \det A = \det U \det P = e^{i\theta} r\)
위는 \(\displaystyle A\)의 행렬식에 해당하는 극 분해를 제공함을 주목해야 하는데, 왜냐하면 \(\displaystyle \det U = e^{i\theta}\)와 \(\displaystyle \det P = r = \left|\det A\right|\)이기 때문입니다. 특히, \(\displaystyle A\)가 행렬식 1을 가지면 \(\displaystyle U\)와 \(\displaystyle P\) 모두 행렬식 1을 가집니다. 양수-반한정 행렬 \(\displaystyle P\)는 심지어 \(\displaystyle A\)가 특이(singular)이더라도 항상 고유하고, 다음과 같이 표시됩니다:
\(\quad\displaystyle P = \left(A^* A\right)^\frac{1}{2},\)
여기서 \(\displaystyle A^*\)는 \(\displaystyle A\)의 켤레 전치(conjugate transpose)입니다. \(\displaystyle P\)의 고유성은 이 표현이 잘 정의되도록 보장합니다. 고유성은 \(\displaystyle A^* A\)가 양수-반한정 에르미트 행렬이고, 따라서, 고유한 양수-반한정 에르미트 제곱근(square root)을 가진다는 사실에 의해 보장됩니다. 만약 \(\displaystyle A\)가 역-가능이면, \(\displaystyle P\)는 양수-한정이고, 따라서 역시 역가능이고 행렬 \(\displaystyle U\)는 다음에 의해 고유하게 결정됩니다:
\(\quad\displaystyle U = AP^{-1}.\)
Relation to the SVD
\(\displaystyle A\)의 특이값 분해(singular value decomposition, SVD), \(\displaystyle A = W\Sigma V^*\)의 관점에서, 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \begin{align}
P &= V\Sigma V^* \\
U &= WV^*
\end{align}\)
여기서 \(\displaystyle U\), \(\displaystyle V\), 및 \(\displaystyle W\)는 유니태리 행렬입니다 (만약 그 필드가 실수 \(\displaystyle \mathbb{R}\)이면 직교 행렬이라고 불립니다). 이것은 \(\displaystyle P\)가 양수-한정이고 \(\displaystyle U\)가 유니태리임을 확인합니다. 따라서, SVD의 존재는 극 분해의 존재와 동등합니다.
역시 \(\displaystyle A\)를 다음 형식에서 분해할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle A = P'U\)
여기서 \(\displaystyle U\)는 이전에 것과 같고 \(\displaystyle P'\)은 다음에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle P' = UPU^{-1} = \left(AA^*\right)^\frac{1}{2} = W \Sigma W^*.\)
이것은 왼쪽 극 분해로 알려져 있고, 반면에 이전 분해는 오른쪽 극 분해로 알려져 있습니다. 왼쪽 극 분해는 뒤집은 극 분해라고도 알려져 있습니다.
역가능 실수 행렬 \(\displaystyle A\)의 극 분해(polar decomposition)는 다음 형식입니다:
\(\quad\displaystyle A = |A|R\)
여기서 \(\displaystyle |A| = \left(AA^\textsf{T}\right)^\frac{1}{2}\)는 양수-한정(positive-definite) 행렬(matrix)이고 \(\displaystyle R = |A|^{-1}A\)는 직교 행렬입니다.
Relation to Normal matrices
극 분해 \(\displaystyle A=UP\)를 갖는 행렬이 정규(normal)인 것과 \(\displaystyle U\)와 \(\displaystyle P\)가 교환하는(commute): \(\displaystyle UP = PU\), 또는 동등하게, 그것들이 동시에 대각화가능(simultaneously diagonalizable)인 것은 필요충분 조건입니다.
Construction and proofs of existence
극 분해의 구성 뒤에 있는 핵심 아이디어는 특이값 분해(singular-value decomposition)를 계산하기 위해 사용되는 것과 유사합니다.
Derivation for normal matrices
만약 \(\displaystyle A\)가 정규(normal)이면 대각 행렬과 유니태리적으로 동등합니다: 일부 유니태리 행렬 \(\displaystyle V\)와 일부 대각 행렬 \(\displaystyle \Lambda\)에 대해 \(\displaystyle A = V\Lambda V^*\)입니다. 이렇게 하면 극 분해의 유도가 특히 간단해지며, 그때에 다음과 같이 작성할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle A = V\Phi_\Lambda |\Lambda|V^* = \underbrace{\left(V\Phi_\Lambda V^*\right)}_{\equiv U} \underbrace{\left(V |\Lambda| V^*\right)}_{\equiv P},\)
여기서 \(\displaystyle \Phi_\Lambda\)는 \(\displaystyle \Lambda\)의 원소의 위상(phases), 즉, \(\displaystyle \Lambda_{ii}\neq 0\)일 때 \(\displaystyle (\Phi_\Lambda)_{ii}\equiv \Lambda_{ii}/ |\Lambda_{ii}|\)이고, \(\displaystyle \Lambda_{ii}=0\)일 때 \(\displaystyle (\Phi_\Lambda)_{ii}=0\)를 포함하는 대각 행렬입니다.
극 분해는 따라서 \(\displaystyle A=UP\)이며, \(\displaystyle U\)와 \(\displaystyle U\)는 \(\displaystyle A\)의 고유기저에서 대각이고 각각 \(\displaystyle A\)의 위상과 절댓값과 같은 고윳값을 가집니다.
Derivation for invertible matrices
특이값 분해(singular-value decomposition)에서, 행렬 \(\displaystyle A\)가 역-가능인 것과 \(\displaystyle A^* A\) (동등하게 \(\displaystyle AA^*\))가 역가능인 것은 필요충분 조건임을 알 수 있습니다. 게다가, 이것이 참인 것과 \(\displaystyle A^* A\)의 고윳값이 모두 0이 아닌 것은 필요충분 조건입니다.
이 경우에서, 극 분해는 직접 다음을 씀으로써 얻습니다:
\(\quad\displaystyle A = A\left(A^* A\right)^{-\frac{1}{2}}\left(A^* A\right)^\frac{1}{2},\)
그리고 \(\displaystyle A\left(A^* A\right)^{-\frac{1}{2}}\)가 유니태리임을 관찰합니다. 이를 확인하기 위해, \(\displaystyle A^* A\)의 스펙트럼 분해를 이용하여 \(\displaystyle A\left(A^* A\right)^{-\frac{1}{2}} = AVD^{-\frac{1}{2}}V^*\)를 쓸 수 있습니다.
이 표현에서, \(\displaystyle V^*\)는 유니태리인데 왜냐하면 \(\displaystyle V\)가 유니태리이기 때문입니다. 역시 \(\displaystyle AVD^{-\frac{1}{2}}\)가 유니태리임을 보이기 위해, SVD를 다음이 되도록 \(\displaystyle A = WD^\frac{1}{2}V^*\)를 쓰기 위해 사용할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle AV D^{-\frac{1}{2}} = WD^\frac{1}{2}V^* VD^{-\frac{1}{2}} = W,\)
여기서 다시 \(\displaystyle W\)는 구성에 의해 유니태리입니다.
여전히 \(\displaystyle A\left(A^* A\right)^{-\frac{1}{2}}\)의 유니태리성을 직접적으로 보이는 또 다른 방법은 랭크-1 행렬의 관점에서 \(A\)의 SVD를 \(\displaystyle A = \sum_k s_k v_k w_k^*\)로 쓰는 것이며, 여기서 \(\displaystyle s_k\)은 \(\displaystyle A\)의 특이값입니다. 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle A\left(A^* A\right)^{-\frac{1}{2}}
= \left(\sum_j \lambda_j v_j w_j^*\right)\left(\sum_k |\lambda_k|^{-1} w_k w_k^*\right)
= \sum_k \frac{\lambda_k}{|\lambda_k|} v_k w_k^*,\)
이는 \(\displaystyle A\left(A^* A\right)^{-\frac{1}{2}}\)의 유니태리성을 직접 의미하는데 왜냐하면 행렬이 유니태리인 것과 그것의 특이값이 유니태리 절댓값을 가지는 것은 필요충분 조건입니다.
어떻게, 위의 구성에서, 역가능 행렬의 극 분해에서 유니태리 행렬이 고유하게 정의됨이 따라오는지 주목하십시오.
General derivation
제곱된 행렬 \(\displaystyle A\)의 SVD는 \(\displaystyle A = W D^\frac{1}{2} V^*\)라고 읽고, \(\displaystyle W, V\)가 유니태리 행렬이고, \(\displaystyle D\)는 대각, 양수 반-한정 행렬입니다. \(\displaystyle W\)들 또는 \(\displaystyle V\)들의 추가 쌍을 단순히 삽입함으로써, \(\displaystyle A\)의 극 분해의 두 가지 형식을 얻을 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle
A = WD^\frac{1}{2}V^* =
\underbrace{\left(W D^\frac{1}{2} W^*\right)}_P \underbrace{\left(W V^*\right)}_U =
\underbrace{\left(W V^*\right)}_U \underbrace{\left(VD^\frac{1}{2} V^*\right)}_{P'}.
\)
보다 일반적으로, \(\displaystyle
A
\)가 어떤 직사각 \(\displaystyle
n\times m
\) 행렬이면, 그것의 SVD는 \(\displaystyle
A=WD^{1/2}V^*
\)로 쓸 수 있으며, 여기서 이제 \(\displaystyle
W
\)와 \(\displaystyle
V
\)는 각각 차원 \(\displaystyle
n\times r
\)과 \(\displaystyle
m\times r
\)을 갖는 등거리변환이며, 여기서 \(\displaystyle
r\equiv\operatorname{rank}(A)
\)이고, \(\displaystyle
D
\)는 다시 차원 \(\displaystyle
r\times r
\)을 갖는 대각선 양수 반-한정 제곱된 행렬입니다. 이제 위의 방정식에서 사용된 것과 같은 추론을 \(\displaystyle
A=PU=UP'
\)를 쓰기 위해 적용할 수 있지만, 이제 \(\displaystyle
U\equiv WV^*
\)는 일반적으로 유니태리가 아닙니다. 그럼에도 불구하고, \(\displaystyle
U
\)는 \(\displaystyle
A
\)와 같은 지원과 치역을 가지고, 그것은 \(\displaystyle
U^* U=VV^*
\)와 \(\displaystyle
UU^*=WW^*
\)를 만족시킵니다. 이것은 \(\displaystyle
U
\)를 그것의 동작이 \(\displaystyle
A
\)의 지원 위로 제한될 때 등거리변환으로 만듭니다. 즉, \(\displaystyle
U
\)가 부분 등거리변환(partial isometry)이라는 것을 의미합니다.
이러한 보다 일반적인 경우의 명확한 예제로서, 다음 행렬의 SVD를 생각해 보십시오:
\(\quad\displaystyle
A\equiv \begin{pmatrix}1&1\\2&-2\\0&0\end{pmatrix} =
\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}}_{\equiv W}
\underbrace{\begin{pmatrix}\sqrt2&0\\0&\sqrt8\end{pmatrix}}_{\sqrt D}
\underbrace{\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2} & \frac1{\sqrt2} \\ \frac1{\sqrt2} & -\frac1{\sqrt2}\end{pmatrix}}_{V^\dagger}
.
\)
그런-다음 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle
WV^\dagger = \frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&-1 \\ 0&0\end{pmatrix}
\)
이는 등거리변환이지만, 유니태리는 아닙니다. 다른 한편으로, 만약 다음의 분해를 고려해 보면,
\(\quad\displaystyle
A\equiv \begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},
\)
다음을 찾습니다:
\(\quad\displaystyle
WV^\dagger =\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},
\)
이는 부분 등거리변환입니다 (그러나 등거리변환은 아닙니다).
Bounded operators on Hilbert space
복소수 힐베르트 공간(Hilbert spaces) 사이의 임의의 경계진 선형 연산자(bounded linear operator) A의 극 분해(polar decomposition)는 부분 등거리변환(partial isometry)과 비-음의 연산자의 곱으로 정식의 인수분해입니다.
행렬에 대한 극 분해는 다음과 같이 일반화됩니다: 만약 A가 경계진 선형 연산자이면 A를 곱 A = UP으로 고유한 인수분해가 있으며, 여기서 U는 부분 등거리변환이고, P는 비-음의 자체-인접 연산자이고 U의 초기 공간은 P의 치역의 클로저입니다.
연산자 U는 다음과 같은 문제 때문에 유니태리가 아닌 부분 등거리변환으로 약화되어야 합니다. 만약 A가 \(I^2(\mathbf{N})\) 위에 한-쪽 미는(one-sided shift) 것이면, \(|A|=\{A^{*}A\}^{1/2}=I\)입니다. 따라서, 만약 A = U |A|이면, U는 유니태리가 아닌 A여야 합니다.
극 분해의 존재는 더글라스의 보조-정리(Douglas' lemma)의 결과입니다:
Lemma — 만약 A, B가 힐베르트 공간 H 위에 경계진 연산자이고, A*A ≤ B*B이면, A = CB를 만족하는 축소 C가 존재합니다. 게다가, C는 Ker(B*) ⊂ Ker(C)이면 고유합니다.
연산자 C는 H에서 모든 h에 대해 C(Bh) := Ah에 의해 정의될 수 있으며, Ran(B)의 클로저로의 연속성에 의해 확장되고, 모든 H에 대한 직교 여(orthogonal complement) 위에 영에 의해 확장됩니다. 그런-다음 보조정리는 A*A ≤ B*B가 Ker(B) ⊂ Ker(A)를 의미하기 때문에 따릅니다.
특히. 만약 A*A = B*B이면, C는 부분적으로 등거리변환이며, 이는 Ker(B*) ⊂ Ker(C)이면 고유합니다. 일반적으로, 임의의 경계진 연산자 A에 대해,
\(\quad\displaystyle A^*A = \left(A^*A\right)^\frac{1}{2} \left(A^*A\right)^\frac{1}{2},\)
여기서 \((A^{*}A)^{1/2}\)는 보통의 함수형 미적분(functional calculus)에 의해 주어진 A*A의 고유한 양의 제곱근입니다. 따라서 그 보조정리에 의해, Ker(A*) ⊂ Ker(U)이면 고유한 일부 부분 등거리변환 U에 대해, 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle A = U\left(A^*A\right)^\frac{1}{2}\)
P를 \((A^{*}A)^{1/2}\)로 취하고 극 분해 A = UP을 얻습니다. 유사한 논증을 사용하여 A = P'U'를 보일 수 있으며, 여기서 P'는 양수이고 U'는 부분 등거리변환임에 유의하십시오.
H가 유한-차원일 때, U는 유니태리 연산자로 확장될 수 있습니다; 이것은 일반적으로 참이 아닙니다 (위의 예제 참조). 대안적으로, 극 분해는 특이값 분해(singular value decomposition)의 연산자 버전을 사용하여 표시될 수 있습니다.
연속 함수형 미적분(continuous functional calculus)의 속성에 의해, |A| 는 A에 의해 생성된 C*-대수에 속합니다. 유사하지만 더 약한 명제가 부분 등거리변환에 대해 유지됩니다: U는 A에 의해 생성된 폰 노이만 대수(von Neumann algebra)에 있습니다. 만약 A가 역가능이면, 극 부분 U는 마찬가지로 C*-대수에 있을 것입니다.
Unbounded operators
만약 A가 컴팩트 힐베르트 공간 사이의 닫힌, 조밀하게 정의된 무경계 연산자(unbounded operator)이면 그것은 여전히 (고유한) 극 분해(polar decomposition)를 가집니다:
\(\quad\displaystyle A = U |A|\)
여기서 |A|는 A와 같은 도메인을 갖는 (아마도 무경계) 비-음 자체-인접 연산자이고, U는 치역 Ran(|A|)의 직교 여에서 사라지는 부분 등거리변환입니다.
증명은 위와 같은 보조정리를 사용하며, 일반적으로 무경계 연산자에 대해 통과합니다. 만약 모든 h ∈ Dom(A*A)에 대해 Dom(A*A) = Dom(B*B) 및 A*Ah = B*Bh이면, A = UB를 만족하는 부분 등거리변환 U가 존재합니다. U는 Ran(B)⊥ ⊂ Ker(U)이면 고유합니다. 닫힌 것이고 조밀하게 정의된 연산자 A는 연산자 A*A가 (조밀한 도메인을 갖는) 자체-인접임을 보장하고 따라서 \((A^{*}A)^{1/2}\)를 정의할 수 있습니다. 그 보조정리를 적용하는 것은 극 분해를 제공합니다.
만약 무경계 연산자 A가 폰 노이만 대수 M에 제휴(affiliated)되고, A = UP는 그것의 극 분해이면, U는 M 안에 있고 [0, ∞)에서 임의의 보렐 집합 B에 대해, P의 스펙트럼 투영, \(1_B(P)\)도 마찬가지입니다.
Quaternion polar decomposition
쿼터니언(quaternions) H의 극 분해는 단위 2-차원 구 \(\displaystyle \lbrace x i + y j + z k \in H : x^2 + y^2 +z^2 = 1 \rbrace\)의 −1의 제곱근에 따라 달라집니다. 이 구 위에 임의의 r과 각도 −π < a ≤ π가 주어졌을 때, 버서(versor) \(\displaystyle e^{ar} = \cos (a) + r\ \sin (a) \)는 H의 단위 3-구 위에 있습니다. a = 0 및 a = π에 대해, r이 선택되는 것과 관계없이 버서는 1 또는 −1입니다. 쿼터니언 q의 노름(norm) t는 원점에서 q까지의 유클리드 거리(Euclidean distance)입니다. 쿼터니언이 단순한 실수가 아닐 때, 고유한 극 분해 \(\displaystyle q = t e^{ar}\)가 있습니다.
Alternative planar decompositions
데카르트 평면(Cartesian plane)에서, 대안적인 평면 링(ring) 분해가 다음과 같이 발생합니다:
- 만약 x ≠ 0이면, z = x(1 + ε(y/x))는 이중 숫자 z = x + yε의 극 분해이며, 여기서 \(\epsilon^2=0\)입니다; 즉, ε는 거듭제곱영입니다. 이 극 분해에서, 단위 원은 직선에 의해 대체되고, 극 각도는 기울기 y/x에 의해 대체되고, 반지름 x은 왼쪽 절반-평면에서 음수입니다.
- 만약 \(x^2 \neq y^2\)이면, 단위 쌍곡선 \(x^2-y^2=1\)과 그것의 켤레 \(x^2-y^2=-1\)는 (1, 0)을 통해 단위 쌍곡선의 가지를 기반으로 극 분해를 형성하기 위해 사용될 수 있습니다. 이 가지는 쌍곡선 각도 a에 의해 매개변수화되고
- \(\displaystyle \cosh(a) + j\ \sinh(a) = \exp(aj) = e^{aj}\)
- 로 쓰고, 여기서 \(j^2=+1\)이고 분할-복소수의 산술이 사용됩니다. (−1, 0)을 통한 가지는 \(-e^{aj}\)에 의해 추적됩니다. j를 곱하는 연산은 점을 y = x 직선을 가로질러 반사하므로, 두 번째 쌍곡선은 \(je^{aj}\) 또는 \(-je^{aj}\)에 의해 추적된 가지를 가집니다. 그러므로 사분면의 하나에 있는 점은 다음 형식 중 하나로 극 분해를 가집니다:
- \(\displaystyle r e^{aj}, - re^{aj}, rje^{aj}, -rje^{aj}, \quad r > 0\)
- 집합 { 1, −1, j, −j }은 그것을 클라인 사-그룹(Klein four-group)과 동형적으로 만듭니다. 분명히, 이 경우에서 극 분해는 해당 그룹의 원소를 포함합니다.
Numerical determination of the matrix polar decomposition
극 분해 A = UP의 근사를 계산하기 위해, 보통 유니태리 인수 U가 근사됩니다. 반복은 1의 제곱근에 대한 헤론의 방법(Heron's method)을 기반으로 하고, \(\displaystyle U_0 = A\)에서 시작하여 다음 수열을 계산합니다:
\(\quad\displaystyle U_{k+1} = \frac{1}{2}\left(U_k + \left(U_k^*\right )^{-1}\right),\qquad k = 0, 1, 2, \ldots\)
반전과 에르미트 켤레의 조합은 특이값 분해에서 유니태리 인수가 같게 유지되고 반복이 특이값에 대한 헤론의 방법으로 축소되도록 선택됩니다.
이 기본 반복은 과정의 속도를 높이기 위해 개선될 수 있습니다:
- 모든 각 단계 또는 정규 구간에서, \(\displaystyle U_k\)의 특이값의 치역은 추정되고 그런-다음 행렬은 \(\displaystyle \gamma_k U_k\)를 "1" 주변의 특이값을 중심에 두기 위해 다시 크기 조절됩니다. 스케일링 인수 \(\displaystyle \gamma_k\)는 행렬과 그것의 역의 행렬 노름을 사용하여 계산됩니다. 그러한 스케일 추정의 예제는 다음과 같습니다: 행-합 및 열-합 행렬 노름을 사용하여,
- \(\displaystyle \gamma_k = \sqrt[4]{\frac{\left\|U_k^{-1}\right\|_1 \left\|U_k^{-1}\right\|_\infty}{\left\|U_k\right\|_1 \left\|U_k\right\|_\infty} }\)
- 또는 프로베니우스 노름을 사용하여,
- \(\displaystyle \gamma_k = \sqrt{\frac{\left\|U_k^{-1}\right\|_F}{\left\|U_k\right\|_F}}\)
- 스케일 인수를 포함하여, 반복은 이제 다음입니다:
- \(\displaystyle U_{k+1} = \frac{1}{2}\left(\gamma_k U_k + \frac{1}{\gamma_k} \left(U_k^*\right)^{-1}\right), \qquad k = 0, 1, 2, \ldots\)
- QR 분해는 준비 단계에서 단일 행렬 A를 더 작은 정규 행렬로 줄이고, 모든 단계 내에서 역의 계산 속도를 높이기 위해 사용될 수 있습니다.
- \(\displaystyle x^2 - 1 = 0\)의 근을 계산하는 데 헤론의 방법은 더 높은 차수 방법에 의해 대체될 수 있으며, 예를 들어 삼차의 핼리의 방법에 기초된 것에 의해, 다음을 초래합니다:
- \(\displaystyle U_{k+1} = U_k\left(I + 3U_k^* U_k\right)^{-1}\left(3I + U_k^* U_k\right),\qquad k = 0, 1, 2, \ldots\)
- 이 반복은 다시 크기 조정과 다시 조합될 수 있습니다. 이 특정 수식은 단일 또는 직사각 행렬 A에도 적용할 수 있다는 이점이 있습니다.
References
- Conway, J.B.: A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer 1990
- Douglas, R.G.: On Majorization, Factorization, and Range Inclusion of Operators on Hilbert Space. Proc. Amer. Math. Soc. 17, 413-415 (1966)
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
- Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7
