본문 바로가기
영문 위키피디아 번역

(번역) Polygon

by 다움위키 2024. 3. 19.
Original article: w:Polygon

 

기하학(geometry)에서, 다각형(polygon, /ˈpɒlɪɡɒn/)은 닫힌 다각형 체인(polygonal chain) (또는 다각형 회로(polygonal circuit))을 형성하기 위해 연결된 유한 숫자의 직진 선분(line segment)에 의해 설명되는 평면(plane) 도형(figure)입니다. 경계진 평면 영역(region), 경계짓는 회로, 또는 함께 둘은 다각형이라고 불릴 수 있습니다.

다각형 회로의 선분은 가장자리(edges) 또는 변(sides)이라고 불립니다. 둘의 가장자리가 만나는 점은 다각형의 꼭짓점(vertex) 또는 모서리(corners)입니다. 고체 다각형의 내부는 때때로 몸체(body)라고 불립니다. n-각형(n-gon)은 n 변을 갖는 다각형입니다; 예를 들어, 삼각형(triangle)은 3-각형입니다.

단순 다각형(simple polygon)은 자체와 교차하지 않는 다각형입니다. 수학자들은 종종 오직 단순 다각형의 경계짓는 다각형 체인에 관심을 갖고 그들은 이에 따라 다각형을 정의합니다. 다각형 경계는 자체에 걸쳐 교차하는 것을 허용하며, 별 다각형(star polygon) 및 다른 자체-교차하는 다각형(self-intersecting polygons)을 생성합니다.

다각형은 임의의 차원의 숫자에서 보다 일반적인 폴리토프(polytope)의 2-차원 예제입니다. 다른 목적에 대해 정의된 다각형의 많은 보다 일반화가 있습니다.

Etymology

단어 polygon은 그리스어(Greek) 형용사 πολύς (polús) '많은', '다수의' 및 γωνία (gōnía) '모서리' 또는 '각도'에서 파생됩니다. γόνυ (gónu) '무릅'이 gon의 기원일 수 있다고 제안되어 왔습니다.

Classification

Number of sides

다각형은 주로 변의 숫자에 따라 분류됩니다. 아래 테이블을 참조하십시오.

Convexity and intersection

다각형은 볼록성 또는 비볼록-성의 유형에 의해 특징지어질 수 있습니다:

  • 볼록(Convex): 다각형을 통해 그려진 (가장자리 또는 모서리에 접하지 않는) 임의의 직선은 그것의 경계를 정확히 두 번 만납니다. 결과적으로, 모든 그것의 내부 각도는 180°보다 작습니다. 동등하게, 경계 위에 끝점을 갖는 임의의 선분은 그것의 끝점 사이의 오직 내부 점을 통과합니다.
  • 비-볼록: 직선이 그것의 경계를 두 번보다 많이 만나는 찾아질 수 있습니다. 동등하게, 다각형 외부를 통과하는 두 경계 점 사이의 선분이 존재합니다.
  • 단순(Simple): 다각형의 경계는 자체와 교차하지 않습니다. 모든 볼록 다각형은 단순입니다.
  • 오목(Concave): 비-볼록과 단순. 180°보다 큰 적어도 하나의 내부 각도가 있습니다.
  • 별-모양(Star-shaped): 전체 내부는 임의의 가장자리 교차없이 적어도 한 점에서 보일 수 있습니다. 다각형은 단순이어야 하고, 볼록 또는 오목일 수 있습니다. 모든 볼록 다각형은 별-모양입니다.
  • 자기-교차하는(Self-intersecting): 다각형의 경계가 자체와 교차합니다. 용어 복잡(complex)이 때때로 단순과 대조적으로 사용되지만, 이 사용법은 둘의 복소(complex) 차원으로 구성하는 복소 힐베르트(Hilbert) 평면에 존재하는 복소 다각형(complex polygon)의 아이디어외 혼동될 위험이 있습니다.
  • 별 다각형(Star polygon): 규칙적으로 자체 교차하는 다각형. 다각형은 별일 수도 없고 별-모양일 수도 없습니다.

Equality and symmetry

정규성의 속성은 다른 방법으로 정의될 수 있습니다: 다각형은 정규인 것과 그것이 등각형과 등변형 둘 다인 것, 또는 동등하게 순환과 정변 둘 다인 것은 필요충분 조건입니다. 비-볼록 정규 다각형은 정규 별 다각형(star polygon)이라고 불립니다.

Miscellaneous

  • 직선(Rectilinear): 다각형의 변이 수직에서 만납니다. 즉, 모든 그것의 내부 각도는 90도 또는 270도입니다.
  • 주어진 직선 L에 관한 단조(Monotone) : L에 직교(orthogonal)하는 모든 각 직선은 다각형과 두 번보다 많이 교차하지 않습니다.

Properties and formulas

유클리드 기하학(Euclidean geometry)이 전체에 가정됩니다.

Angles

임의의 다각형은 변의 수만큼 모서리를 가집니다. 각 모서리는 여러 각도를 가집니다. 가장 중요한 두 가지는 다음입니다:

  • 내부 각도(Interior angle) – 단순 n-각형의 내부 각도의 합은 (n − 2)π 라디안(radian) 또는 (n − 2) × 180 도(degrees)입니다. 이것은 단순 n-r각형 (n 변을 가짐)은 (n − 2) 삼각형으로 만들어진 것으로 고려될 수 있으며, 그것의 각각이 π 라디안 또는 180도의 각도 합을 가지기 때문입니다. 볼록 정규 n-각형의 임의의 내부 각도의 측정은 \(\displaystyle \left(1-\tfrac{2}{n}\right)\pi\) 라디안 또는 \(\displaystyle 180-\tfrac{360}{n}\)도입니다. 정규 별 다각형(star polygon)의 내부 각도는 푸앵소에 의해 처음 연구되었으며, 그것의 같은 논문에서 그는 넷의 정규 별 다면체(regular star polyhedra)를 설명했으며, 정규 \(\displaystyle \tfrac{p}{q}\)-각형 (중앙 밀도 q를 갖는 p-각형)에 대해, 각 내부 각도는 \(\displaystyle \tfrac{\pi(p-2q)}{p}\) 라디안 또는 \(\displaystyle \tfrac{180(p-2q)}{p}\)도입니다.
  • 외부 각도(Interior angle) – 외부 각도는 내부 각도의 보충 각도(supplementary angle)입니다. 볼록 n-각형을 따라 추적할 때, 모서리에서 "돌린" 각도는 외부 각도입니다. 다각형 주위를 모든 방향으로 추적하면 하나의 완전한 회전(turn)을 만들므로, 외부 각도의 합은 360°여야 합니다. 이 논증은 만약 반대 방향으로 회전하는 외부 각도가 회전된 전체에서 빼지면 오목 단순 다각형으로 일반화될 수 있습니다. 일반적으로 n-각형 주위를 추적하면, 외부 각도의 합 (꼭짓점에서 회전하는 총량)은 360°의 임의의 정수 배수 d가 될 수 있으며, 예를 들어, 오각형(pentagram)의 경우 720°이고 각 "팔" 또는 역-평행사변형(Antiparallelogram)에 대해 0°이며, 여기서 d는 다각형의 밀도(density) 또는 회전하는 숫자(turning number)입니다. 역시 orbit (dynamics)를 참조하십시오.

Area

이 섹션에서, 고려 사항 아래에서 다각형의 꼭짓점은 순서대로 \(\displaystyle (x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots, (x_{n - 1}, y_{n - 1})\)로 취합니다. 일부 공식의 편의를 위해, 표기법 \((x_n, y_n) =(x_0, y_0)\)이 역시 사용될 것입니다.

만약 다각형이 비-자기-교차하는 것 (즉, 단순(simple))이면, 부호화된 넓이(area)는 다음입니다:

\(\quad\displaystyle A = \frac{1}{2}  \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) \quad \text {where } x_{n}=x_{0} \text{ and } y_n=y_{0}, \)

또는, 행렬식(determinant)을 사용하여,

\(\quad\displaystyle 16 A^{2} = \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1} \begin{vmatrix}  Q_{i,j} & Q_{i,j+1}  \\
Q_{i+1,j} & Q_{i+1,j+1} \end{vmatrix} , \)

여기서 \(\displaystyle  Q_{i,j} \)는 \(\displaystyle (x_i, y_i)\)와 \(\displaystyle (x_j, y_j)\) 사이의 제곱된 거리입니다.

부호화된 넓이는 꼭짓점의 순서화와 평면의 방향(orientation)의 순서화에 따라 다릅니다. 공통적으로, 양의 방향은 양의 x-축을 양의 y-축에 매핑하는 (반시계방향) 회전에 의해 정의됩니다. 만약 꼭짓점이 반시계방향으로 순서화되면 (즉, 양의 방향에 따라), 부호화된 넓이는 양수입니다; 그렇지 않으면, 그것은 음수입니다. 두 경우에서, 넓이 공식은 절댓값(absolute value)에서 정확합니다. 이것은 공통적으로 신발끈 공식(shoelace formula) 또는 측량자의 공식이라고 불립니다.

단순 다각형의 넓이 A는 역시 만약 변의 길이, \(a_1, a_2, ..., a_n\)와 외부 각도(exterior angle), \(\theta_1, \theta_2, ..., \theta_n\)가 알려져 있으면, 다음으로부터 계산될 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle \begin{align}A = \frac12 ( a_1[a_2 \sin(\theta_1) + a_3 \sin(\theta_1 + \theta_2) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] \\
{} + a_2[a_3 \sin(\theta_2) + a_4 \sin(\theta_2 + \theta_3) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] \\
{} + \cdots + a_{n-2}[a_{n-1} \sin(\theta_{n-2})] ). \end{align}\)

이 공식은 1963년에 롭시츠(Lopshits)에 의해 기술되었습니다.

만약 다각형이 모든 그것의 꼭짓점이 격자 점임을 만족하는 같은 간격 격자 위에 그려질 수 있으면, 픽의 정리(Pick's theorem)는 내부와 경계 격자 점의 숫자를 기반으로 하는 다각형의 넓이에 대한 간단한 공식: 전자의 숫자 더하기 후자의 숫자의 절반, 빼기 1을 제공합니다.

둘레 p와 넓이 A를 갖는 모든 각 다각형에서, 같은-둘레 부등식(isoperimetric inequality) \(\displaystyle p^2 > 4\pi A\)이 유지됩니다.

같은 넓이의 임의의 둘의 단순 다각형에 대해, 볼야이–게르빈 정리(Bolyai–Gerwien theorem)는 첫 번째 다각형이 두 번째 다각형을 형성하기 위해 재조립될 수 있는 다각형 조각으로 절단될 수 있다고 주장합니다.

다각형의 변의 길이는 일반적으로 그것의 넓이를 결정하지 않습니다. 어쨌든, 만약 다각형이 단순이고 순환이면, 변은 넓이를 결정합니다. 주어진 변의 길이를 갖는 모든 n-각형 중에서, 가장 큰 넓이를 갖는 것은 순환입니다. 주어진 둘레를 갖는 모든 n-각형 중에서, 가장 큰 넓이를 갖는 것은 정규 (및 따라서 순환)입니다.

Regular polygons

많은 특수 공식이 정규 다각형(regular polygon)의 넓이에 적용됩니다.

정규 다각형의 넓이는 내접된 원(inscribed circle)의 반지름 r과 그것의 둘레 p의 관점에서 다음에 의해 제공됩니다:

\(\quad\displaystyle A = \tfrac{1}{2} \cdot p \cdot r.\)  

이 반지름은 역시 아포팀(apothem)으로 이름-짓고 종종 a로 표시됩니다.

그것의 둘레접된 원(circumscribed circle)의 반지름 R의 관점에서 정규 n-각형의 넓이는 다음처럼 삼각법적으로 표현될 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle A = R^2 \cdot \frac{n}{2} \cdot \sin \frac{2\pi}{n} = R^2 \cdot n \cdot \sin \frac{\pi}{n} \cdot \cos \frac{\pi}{n}\)

변 s와 내부 각도 \(\displaystyle \alpha\)를 갖는 단위-반지름 원에서 내접된 정규 n-각형의 넓이는 역시 다음처럼 삼각법적으로 표현될 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle A = \frac{ns^{2}}{4}\cot \frac{\pi}{n} = \frac{ns^{2}}{4}\cot\frac{\alpha}{n-2} = n \cdot \sin \frac{\alpha}{n-2} \cdot \cos \frac{\alpha}{n-2}.\)

Self-intersecting

자체-교차하는 다각형(self-intersecting polygon)의 넓이는 다른 답을 제공하는 두 가지 다른 방법으로 정의될 수 있습니다:

  • 단순 다각형에 대해 공식을 사용하여, 우리는 다각형 내의 특정 영역이 영역의 밀도라고 부르는 인수에 곱해진 그것들의 넓이를 가질 수 있음을 허용합니다. 예를 들어, 오각형의 중심에 있는 중앙의 볼록 오각형은 밀도 2를 가집니다. 교차-사변형의 둘의 삼각형 영역 (그림 8)은 반대-부호화된 밀도를 가지고, 그것들 넓이를 더하면 전체 그림에 대해 영의 총 넓이를 제공할 수 있습니다.
  • 둘러싸인 영역을 점 집합으로 고려하면, 우리는 둘러싸인 점 집합의 넓이를 찾을 수 있습니다. 이것은 다각형에 의해 덮혀진 평면의 넓이 또는 자체-교차하는 것과 같은 윤곽을 가지는 하나 이상의 단순 다각형의 넓이에 해당합니다. 교차-사변형의 경우에서, 그것은 둘의 단순 삼각형으로 취급됩니다.

Centroid

이전 섹션에서와 같이 꼭짓점 좌표에 대해 같은 규칙을 사용하여, 고체 단순 다각형의 도형중심의 좌표는 다음입니다:

\(\quad\displaystyle C_x = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (x_i + x_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i), \)

\(\quad\displaystyle C_y = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (y_i + y_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i).\)

이들 공식에서, 넓이 \(A\)의 부호화된 값이 사용되어야 합니다.

삼각형(triangle) (n = 3)에 대해, 꼭짓점과 고체 모양의 도형중심은 같지만, 일반적으로, 이것은 n > 3에 대해 참이 아닙니다. n 꼭짓점을 갖는 다각형의 꼭짓점 집합의 도형중심(centroid)은 다음 좌표를 가집니다:

\(\quad\displaystyle c_x=\frac 1n \sum_{i = 0}^{n - 1}x_i,\)

\(\quad\displaystyle c_y=\frac 1n \sum_{i = 0}^{n - 1}y_i.\)

Generalizations

다각형의 아이디어는 다양한 방법에서 일반화되어 왔습니다. 보다 중요한 몇 가지는 다음을 포함합니다:

Naming

단어 polygon은 후기 라틴어(Late Latin) polygōnum (명사), 그리스어(Greek) πολύγωνον (polygōnon/polugōnon), πολύγωνος (polygōnos/polugōnos, 남성형 형용사)의 중성의 명사 사용에서 유래하며, "많은-각도"를 의미합니다. 개별 다각형은 변의 숫자에 따라 이름-지정 (때때로 분류)되며, 그리스어-파생된 숫자 접두사(numerical prefix)와 접미사 -gon을 조합하여, 예를 들어, 오각형(pentagon), 십이각형(dodecagon) 등이 있습니다. 삼각형(triangle), 사변형(quadrilateral) 및 비각형(nonagon)은 예외입니다.

십각형 (10-변) 및 십이각형 (12-변) 외에도, 수학자들은 일반적으로 수치적 표기법, 예를 들어, 17-각형 및 257-각형을 사용합니다.

예외는 구두 형식 (예를 들어, 20 및 30)으로 쉽게 표현되거나 수학자가 아닌 사람에 의해 사용되는 변 카운트에 대해 존재합니다. 일부 특수 다각형은 역시 그것들의 고유한 이름을 가집니다; 예를 들어 정규(regular) 별(star) 오각형(pentagon)은 역시 펜터그램(pentagram)으로 알려져 있습니다.

20보다 많고 100보다 작은 가장자리를 갖는 다각형의 이름을 구성하기 위해, 다음과 같이 접두사를 조합합니다. "kai" 용어는 13-각형과 그 이상에 적용되고 케플러(Kepler)에 의해 사용되었고 준-정규 다면체(quasiregular polyhedra)의 이름-짓는 것에서 연결된 접두사 숫자의 명확성을 위해 존 콘웨이(John H. Conway)에 의해 옹호되었지만, 모든 출처가 그것을 사용하지는 않습니다.

History

다각형은 고대 이래로 알려져 왔습니다. 정규 다각형(regular polygon)은 비-볼록 정규 다각형 (별 다각형), 펜타그램(pentagram)으로 그리스인들에게 알려졌으며, 기원전 7세기에 아리스토파네스(Aristophanes)에 의한 카에레(Caere)에서 발견되었고 현재 카피톨리누스 박물관(Capitoline Museum)에 있는 크라테르(krater)에 나타납니다.

일반적으로 비-볼록 다각형의 최초의 알려진 시스템적인 연구는 14세기 토머스 브래드워딘(Thomas Bradwardine)에 의해 이루어졌습니다.

1952년, 제프리 콜린 셰퍼드(Geoffrey Colin Shephard)는 각 실수(real) 차원이 복소 다각형(complex polygons)을 만들기 위해 허수(imaginary) 차원에 수반되는 복소 평면으로 다각형의 아이디어를 일반화했습니다.

In nature

다각형은 수정(crystal)의 평평한 패싯으로 가장 공통적으로 암석에서 나타나며, 여기서 변 사이의 각도는 수정이 만들어지는 광물의 유형에 따라 다릅니다.

정규 육각형은 용암(lava)의 냉각이 빽빽하게 채워진 현무암(basalt) 기둥 영역을 형성할 때 발생할 수 있으며, 북아일랜드의 자이언츠 코즈웨이나 캘리포니아의 데빌스 포스트파일에서 볼 수 있습니다.

생물학(biology)에서, 꿀벌(bee)에 의해 만들어진 밀랍 벌집(honeycomb)의 표면은 육각형(hexagon)의 배열이고, 각 셀의 변과 밑변은 역시 다각형입니다.

Computer graphics

컴퓨터 그래픽(computer graphics)에서, 다각형은 모델링과 렌더링에 사용되는 원시(primitive)입니다. 그것들은 꼭짓점(vertices)의 배열 (기하학적 꼭짓점(geometrical vertices)의 좌표뿐만 아니라, 색상, 음영 및 질감과 같은 다각형의 다른 속성), 연결성 정보, 및 재료(materials)를 포함하는 데이터베이스에 정의됩니다.

임의의 표면은 다각형 그물(polygon mesh)이라는 테셀레이션으로 모델링됩니다. 만약 정사각형 메쉬가 변당 n + 1 점 (꼭짓점)을 가지면, 메쉬에서 n 제곱된 정사각형이 있거나, 정사각형에 두 개의 삼각형이 있기 때문에 2n 제곱된 삼각형이 있습니다. 삼각형당 \((n+1)^2/2(n^2)\) 꼭짓점이 있습니다. n이 크면, 이것은 1/2에 가까워집니다. 또는, 정사각형 메쉬 내부의 각 꼭짓점은 넷의 가장자리 (직선)를 연결합니다.

이미징 시스템은 데이터베이스에서 장면을 생성하는 데 필요한 다각형의 구조를 불러옵니다. 이것은 활성 메모리로 전송되고 마지막으로 장면이 보일 수 있도록 디스플레이 시스템 (스크린, TV 모니터, 등)으로 전송됩니다. 이 과정 동안, 이미징 시스템은 처리된 데이터를 디스플레이 시스템으로 전송할 준비가 된 올바른 원근법으로 다각형을 렌더링합니다. 비록 다각형은 이차원일지라도, 시스템 컴퓨터를 통해 그것들은 올바른 삼-차원 방향으로 시각적 장면에 배치됩니다.

컴퓨터 그래픽과 계산 기하학(computational geometry)에서, 종종 주어진 점 \(\displaystyle P=(x_0,y_0)\)는 일련의 선분으로 지정된 단순 다각형 내부에 있는지 여부를 결정할 필요가 있습니다. 이것은 다각형에서 점(point in polygon) 테스트라고 불립니다.

See also

References

Bibliography

  • Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes, Methuen and Co., 1948 (3rd Edition, Dover, 1973).
  • Cromwell, P.; Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
  • Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra? Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, ed. Aronov et al. Springer (2003) pp. 461–488. (pdf)

External links

 

관련글

티스토리툴바