다항식 산술(Polynomial arithmetic)은 정수와 관련된 숫자 이론(number theory)의 속성과 강력한 유사성을 공유하는 다항식(polynomials)의 일부 속성을 다루는 대수학(algebra)의 한 가지입니다. 그것은 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 및 곱셈(multiplication)과 같은 기본적인 수학 연산, 마찬가지로 유클리드 나눗셈(Euclidean division)과 같은 보다 정교한 연산과 다항식의 근과 관련된 속성을 포함합니다. 후자는 본질적으로 필드(field) K에서 계수를 갖는 일변수(univariate) 다항식의 집합 K[X]가 정수 링 \(\displaystyle \mathbb{Z}\)와 같은 교환 링(commutative ring)이라는 사실과 연결됩니다.
Elementary operations on polynomials
두 다항식의 덧셈과 뺄셈은 대응하는 계수(coefficients)를 더하거나 뺌으로써 수해됩니다. 만약 다음이면:
\(\quad\displaystyle f(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i; g(x) = \sum_{i=0}^m b_ix^i\)
덧셈은 다음으로 정의됩니다:
\(\quad\displaystyle f(x)+g(x)= \sum_{i=0}^m (a_i+b_i)x^i \) 여기서 m > n
곱셈은 덧셈 및 뺄셈과 거의 같은 방법으로 수행되지만, 대신 해당하는 계수를 곱함으로써 수행됩니다. 만약 다음이면:
\(\quad\displaystyle f(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i; g(x) = \sum_{i=0}^m b_ix^i\)
곱셈은 다음으로 정의됩니다:
\(\quad\displaystyle f(x)\times g(x)=\sum_{i=0}^{n+m} c_ix^i\) 여기서 \(\displaystyle c_k=a_0b_k+a_1b_{k-1}+\cdots+a_{k-1}b_1+a_kb_0\).
우리는 \(a_i\)를 \(i>n\)에 대해 영으로 취급하고 곱의 차수가 두 다항식의 차수의 합하는 것(sum)과 같음을 주목하십시오.
Advanced polynomial arithmetics and comparison with number theory
두 다항식에서 수행될 수 있는 기본 연산과 그것들이 살고 있는 집합의 놓여있는 교환 링(commutative ring) 구조 덕분에, 우리는 숫자 이론에서 알려진 것과 유사한 추론을 적용하려고 할 때, 다항식의 많은 매력적인 속성은 찾아질 수 있습니다.
이를 확인하기 위해, 우리는 먼저 두 개념: 다항식의 근(root)의 개념과 다항식의 쌍에 대해 나눔가능성(divisibility)의 개념을 도입해야 합니다.
만약 우리가 필드 K' (전형적으로 \(\displaystyle \mathbb{R}\) 또는 \(\displaystyle \mathbb{C}\))에서 단일 변수 X와 해당 필드에서 계수를 갖는 다항식 \(\displaystyle P\)를 고려하면, \(\displaystyle P\)의 근 \(\displaystyle r\)은 다음을 만족하는 K의 원소입니다:
\(\quad\displaystyle P(r)=0\)
두 번째 개념, 다항식의 나눔가능성은 숫자 이론과 첫 번째 아날로그를 보이는 것을 허용합니다: 다항식 \(\displaystyle B\)는 \(\displaystyle A\)가 다음으로 쓰일 수 있을 때 또 다른 다항식 \(\displaystyle A\)로 나누어진다고 말합니다:
\(\quad\displaystyle A = BC \)
여기서는 C는 역시 다항식입니다. 이 정의는 정수에 대해 나눔가능성과 유사하고, \(\displaystyle B\)가 \(\displaystyle A\)를 나눈다는 사실은 역시 \(\displaystyle B|A\)로 표시됩니다.
위의 두 개념 사이의 관계는 다음 속성을 알 때 발생합니다: \(\displaystyle r\)이 \(\displaystyle P\)의 근인 것과 \(\displaystyle (X-r)|P\)인 것은 필요충분 조건입니다. 하나의 논리적 포함 ("if")가 명백한 반면, 나머지 하나 ("only if")는 보다 정교한 개념인 다항식의 유클리드 나눗셈(Euclidean division of polynomials)에 의존하며, 여기서 다시 정수의 유클리드 나눗셈(Euclidean division)을 강력하게 상기시킵니다.
이것으로부터 임의의 다른 다항식에 의해 나뉠 수 없는 다항식이 1과 (전체 상수 인수까지) 자신일 때, 소수 다항식(prime polynomials)을 정의할 수 있음이 따릅니다 – 여기서 다시 소수 정수와 유사하게 나타나고, 소수와 숫자 이론과 관련된 주요 정의와 정리의 일부는 다항식 대수 그들의 짝을 가짐을 허용합니다. 가장 중요한 결과는 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)이며, 임의의 다항식을 소수 다항식의 곱으로 인수분해를 허용합니다. 언급할 가치가 있는 것은 역시 다항식의 맥락에서 베주의 항등식(Bézout's identity)입니다. 그것은 두 주어진 다항식 P와 Q는 세 번째 다항식 D를 최대 공통 약수(greatest common divisor, 줄여서 GCD)로 가지는 것과 다음을 만족하는 다항식 U와 V가 존재하는 것은 필요충분 조건임을 말합니다: (D는 그때에 유한 상수 인수까지 P와 Q의 GCD로 고유합니다)
\(\quad\displaystyle UP+VQ = D \).
See also
References
- Stallings, William; : "Cryptography And Network Security: Principles and Practice", pages 121-126. Prentice Hall, 1999.
External links
- J.A. Beachy and W.D. Blair; : "Polynomials", from "Abstract algebra", 2nd edition, 1996.
