미적분학(calculus)에서, 함수(function) f의 역도함수(antiderivative), 원시 함수(primitive function), 원시 적분(primitive integral) 또는 부정 적분(indefinite integral)은 그의 도함수(derivative)가 원래 함수 f와 같은 미분-가능한 함수 F입니다. 이것은 F ′ = f로 기호적으로 나타낼 수 있습니다. 역도함수(antiderization)를 해결하는 과정은 역미분화(antidifferentiation) (또는 부정 적분화(indefinite integration))로 불리우고, 그의 반대의 연산은 미분화로 불리며, 이것은 도함수를 찾는 과정입니다.
역도함수는 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)를 통해 한정 적분(definite integral)과 관련됩니다: 구간에 걸쳐 함수의 한정 적분은 그 구간의 끝점에서 평가된 역도함수의 값 사이의 차이와 같습니다.
역도함수의 개념의 이산의 동등은 역차이(antidifference)입니다.
Example
함수 \(F(x) = \tfrac{x^3}{3}\)는 \(f(x) = x^2\)의 역도함수인데 왜냐하면 \(\tfrac{x^3}{3}\)의 도함수는 \(x^2\)이기 때문입니다. 상수(constant)의 도함수는 영(zero)이므로, \(x^2\)은 \(\tfrac{x^3}{3}, \tfrac{x^3}{3}+1, \tfrac{x^3}{3}-2\), 등과 같은, 역도함수의 무한한(infinite) 개수를 가질 것입니다. 따라서, \(x^2\)의 모든 역도함수는 \(F(x) = \tfrac{x^3}{3}+c\)에서 c의 값을 바꿈으로써 얻어질 수 있으며, 여기서 c는 적분화의 상수(constant of integration)로 알려진 임의의 상수입니다. 본질적으로, 주어진 함수의 역도함수의 그래프(graphs)는 서로의 수직 평행이동(vertical translation)입니다; 각 그래프의 수직 위치는 값(value) c에 따라 다릅니다.
보다 일반적으로, 거듭제곱 함수 \(f(x) = x^n\)는 만약 n ≠ −1이면 역도함수 \(F(x) = \tfrac{x^{n+1}}{n+1} + c\)를 가지고, 만약 n = −1이면 \(F(x) = \ln x + c\)를 가집니다.
물리학에서, 가속도의 적분화는 속도 더하기 상수를 산출합니다. 상수는, 상수 항의 도함수가 영이기 때문에, 속도의 도함수를 취하는 것에 의해 잃어버리는 초기 속도 항입니다. 이 같은 패턴은 (위치, 속도, 가속도, 기타 등등) 운동의 도함수와 뒤따른 적분화에 적용됩니다.
Uses and properties
역도함수는, 미적분의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)를 사용하여, 한정 적분을 계산하기 위해 사용될 수 있습니다: 만약 F가 구간 \([a,b]\)에 걸쳐 적분-가능(integrable) 함수 f의 역도함수이면, 다음입니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).\)
이것 때문에, 주어진 함수 f의 무한하게 많은 역도함수의 각각은 때때로 f의 "일반적인 적분" 또는 "부정 적분"으로 불리고 경계 없는 적분 기호를 사용하여 다음처럼 쓰입니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \int f(x)\, dx.\)
만약 F가 f의 역도함수이고, 함수 f는 어떤 구간 위에 정의되면, f의 모든 각 다른 역도함수 G는 상수에 의해 F와 다릅니다: 모든 x에 대해 \(G(x) = F(x)+c\)를 만족하는 숫자 c가 존재합니다. c는 적분화의 상수(constant of integration)로 불립니다. 만약 F의 도메인이 둘 또는 더 많은 (열린) 구간의 분리 합집합(disjoint union)이면, 적분화의 다른 상수는 구간의 각각에 대해 선택될 수 있을 것입니다. 예를 들어
\(\quad\)\(\displaystyle F(x)=\begin{cases}-\frac{1}{x}+c_1\quad x<0\\-\frac{1}{x}+c_2\quad x>0\end{cases}\)
은 그의 자연수 도메인 \((-\infty,0)\cup(0,\infty)\) 위의 \(f(x)=1/x^2\)의 가장 일반적인 역도함수입니다.
모든 연속 함수(continuous function) f는 역도함수를 가지고, 하나의 역도함수 F는 위쪽 경계 변수를 갖는 f의 한정 적분에 의해 제공됩니다:
\(\quad\)\(\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t)\,dt.\)
아래 경계를 변화시키는 것은 다른 역도함수를 생성합니다 (그러나 모든 가능한 역도함수를 다 생성하는 것은 아닙니다). 이것은 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)의 또 다른 공식화입니다.
그의 역도함수는, 비록 그들이 존재할지라도, (다항식(polynomial), 지수 함수(exponential function), 로그(logarithm), 삼각 함수(trigonometric functions), 역 삼각 함수(inverse trigonometric functions) 및 그들의 조합과 같은) 초등 함수(elementary function)의 관점에서 절대 표현될 수 없는 많은 함수가 있습니다. 이것들의 예제는 다음입니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \int e^{-x^2}\,dx,\quad \int \sin x^2\,dx, \quad\int \frac{\sin x}{x}\,dx,\quad \int\frac{1}{\ln x}\,dx,\quad \int x^{x}\,dx.\)
왼쪽에서 오른쪽으로, 처음 네 개는 오차 함수(error function), 프레넬 함수(Fresnel function), 삼각 적분(trigonometric integral), 및 로그 적분 함수(logarithmic integral function)입니다.
보다 자세한 논의에 대해 미분 갈루아 이론(Differential Galois theory)을 역시 참조하십시오.
Techniques of integration
초등 함수의 역도함수를 찾는 것은 그들의 도함수를 찾는 것보다 종종 상당히 더 곤란합니다. 일부 초등 함수에 대해, 다른 초등 함수의 관점에서 역도함수를 찾는 것은 불가능합니다. 더 자세한 정보는 초등 함수(elementary functions) 및 비-초등 적분(nonelementary integral)에 대한 기사를 참조하십시오.
이용할 수 있는 다양한 방법이 있습니다:
- 적분화의 선형성(linearity of integration)은 복잡한 적분을 더 단순한 것들로 나누는 것을 허용합니다
- 치환에 의한 적분화(integration by substitution), 삼각 항등식(trigonometric identities) 또는 자연 로그(natural logarithm)와 함께 종종 결합됩니다.
- 역 체인 규칙 방법(inverse chain rule method), 치환에 의한 적분화의 특별한 경우
- 함수의 곱을 적분하기 위한 부분에 의한 적분화(integration by parts)
- 역 함수 적분화(inverse function integration), \(f\)와 \(f^{-1}\)의 역도함수의 관점에서 역-가능한 및 연속 함수 \(f\)와 역 \(f^{-1}\)의 역도함수를 표현하는 공식
- 적분화에서 부분 분수(partial fractions in integration)의 방법은 모든 유리 함수(rational function) (두 다항식의 분수)를 적분하는 것을 허용합니다
- 리시 알고리듬(Risch algorithm)
- 여러 번 적분할 때, 특정 추가적인 기법이 사용될 수 있습니다. 예를 들어 이중 적분(double integral) 및 극 좌표(polar coordinates), 야코비(Jacobian) 및 스토크스의 정리(Stokes' theorem)를 참조하십시오.
- 만약 함수가 기본 역도함수를 가지지 않으면 (예를 들어, \(\exp (-x^2)\)), 그의 한정 적분은 수치적 적분화(numerical integration)를 사용하여 근사화될 수 있습니다.
- 다른 적분화 기법이, 치환에 의한 적분화와 같은, 사용될 수 있는 것을 만족하는 피적분을 대수적으로 조작하는 것이 종종 편리합니다.
- 함수 f의 (n번) 반복된 역도함수를 계산하기 위해, 코시(Cauchy)의 공식이 유용합니다 (비교. 반복된 적분화에 대해 코시 공식(Cauchy formula for repeated integration)):
\(\qquad\)\(\displaystyle \int_{x_0}^x \int_{x_0}^{x_1} \dots \int_{x_0}^{x_{n-1}} f(x_n) \,dx_n \dots \, dx_2\, dx_1= \int_{x_0}^x f(t) \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\,dt.\)
컴퓨터 대수 시스템(Computer algebra system)은 위의 기호적 기법에서 포함된 방법의 일부 또는 전부를 자동화하기 위해 사용될 수 있으며, 이것은 포함된 대수적 조작이 매우 복잡하거나 길 때 특히 유용합니다. 이미 유도되어 왔던 적분은 적분의 테이블(table of integrals)에서 찾을 수 있습니다.
Of non-continuous functions
비-연속 함수는 역도함수를 가질 수 있습니다. 반면에 이 분야에서 여전히 열린 질문이 있습니다, 그것은 다음인 것으로 알려져 있습니다:
i) 불연속성의 큰 집합을 갖는 일부 높은 병리학적 함수(pathological functions)는 그럼에도 불구하고 역도함수를 가질 수 있을 것입니다.
ii) 입부 경우에서, 그러한 병리학적 함수의 역도함수는 리만 적분화(Riemann integration)에 의해 발견될 수 있지만, 다른 경우에서 이들 함수는 리만 적분-가능이 아닙니다.
함수의 도메인은 열린 구간인 것으로 가정합니다:
i) 역도함수를 가지기 위한 함수 f에 대해, 필요이지만, 충분은 아닌 조건은 f가 사잇값 속성(intermediate value property)을 갖는다는 것입니다. 즉, 만약 [a, b]가 f의 도메인의 부분-구간이고 y가 f(a)와 f(b) 사이의 임의의 실수이면, f(c) = y를 만족하는 a와 b 사이의 c가 존재합니다. 이것은 다르부의 정리(Darboux's theorem)의 결과입니다.
ii) f의 불연속성의 집합은 반드시 마른 집합(meagre set)이어야 합니다. 이 집합은 반드시 역시 F-시그마(F-sigma) 집합이어야 합니다 (왜냐하면 임의의 함수의 불연속의 집합은 반드시 이 유형의 것이기 때문입니다). 게다가, 임의의 마른 F-시그마 집합에 대해, 우리는 역도함수를 가지는 어떤 함수 f를 구성할 수 있으며, 이것은 불연속성의 그의 집합으로 주어진 집합을 가집니다.
iii) 만약 f가 역도함수를 가지고, 도메인의 닫힌 유한 부분-구간 위에 경계진(bounded) 것이고 르베그 측정(Lebesgue measure) 0의 불연속성의 집합을 가지면, 역도함수는 르베그의 의미에서 적분화에 의해 발견될 수 있을 것입니다. 사실, 헨스탁–쿠르즈베일 적분(Henstock–Kurzweil integral)과 같은 더 강력한 적분을 사용하여, 역도함수가 존재하는 것에 대해 모든 각 함수는 적분-가능이고, 그의 일반적인 적분은 그의 역도함수와 일치합니다.
iv) 만약 f는 닫힌 구간 [ a , b ] 위의 역도함수 F를 가지면, 분할 \(a=x_0 <x_1 <x_2 <\dots <x_n=b\)의 임의의 선택에 대해, 만약 우리가 평균값 정리(mean value theorem)에 의해 지정된 것처럼 표본 점 \(x_i^*\in[x_{i-1},x_i]\)을 선택하면, 대응하는 리만 합은 값 \(F(b)-F(a)\)에 끼워 넣습니다(telescopes).
\(\quad\)\(\begin{align}
\sum_{i=1}^n f(x_i^*)(x_i-x_{i-1}) & = \sum_{i=1}^n [F(x_i)-F(x_{i-1})] \\
& = F(x_n)-F(x_0) = F(b)-F(a)
\end{align}\)
어쨌든 만약 f가 무-경계이면, 또는 만약 f가 경계져 있지만 f의 불연속성의 집합이 양의 르베그 측정을 가지면, 표본 점 \(x_i^*\)의 다른 선택은, 분할이 얼마나 정교한지 상관없이, 리만 합에 대해 상당히 다른 값을 제공할 수 있을 것입니다. 아래의 예제 4를 참조하십시오.
Some examples
i) \(f(0)=0\)와 함께 함수
\(\quad\)\(\displaystyle f(x)=2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\left(\frac{1}{x}\right)\)
는 \(x=0\)에서 연속은 아니지만 \(F\left(0\right)=0\)과 함께 다음 역도함수를 가집니다:
\(\quad\)\(\displaystyle F(x)=x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)\)
왜냐하면 f는 닫힌 유한 구간 위에 경계져 있고 단지 0에서 불연속이기 때문이며, 역도함수 F는 적분화: \(\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t)\,dt\)에 의해 얻어질 수 있을 것입니다.
ii) \(f(0)=0\)와 함께 함수
\(\quad\)\(\displaystyle f(x)=2x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)-\frac{2}{x}\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)\)
는 \(x=0\)에서 연속은 아니지만 \(F(0)=0\)과 함께 다음 역도함수를 가집니다:
\(\quad\)\(\displaystyle F(x)=x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\)
위의 예제 i)과 다르게, f(x)는 0을 포함하는 임의의 구간에서 무-경계이므로, 리만-적분은 정의되지 않습니다.
iii) 만약 f(x)가 예제 1의 함수이고 F는 그의 역도함수이고, \(\{x_n\}_{n\ge1}\)는 열린 구간 \((-1,1),\)의 조밀한(dense) 셀-수-있는(countable) 부분-집합(subset)이면, 함수
\(\quad\)\(\displaystyle g(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{f(x-x_n)}{2^n}\)
은 다음 역도함수를 가집니다:
\(\quad\)\(\displaystyle G(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{F(x-x_n)}{2^n}.\)
g의 불연속성의 집합은 정확하게 집합 \(\{x_n\}_{n\ge1}\)입니다. g는 닫힌 유한 구간 위에 경계지고 불연속성의 집합은 측정 0을 가지므로, 역도함수 G는 적분화에 의해 발견될 수 있을 것입니다.
iv) \(\{x_n\}_{n\ge1}\)를 열린 구간 \((-1,1)\)의 조밀한(dense) 셀-수-있는(countable) 부분-집합으로 놓습니다. 모든 곳에서 연속적으로 엄격하게 증가하는 다음 함수를 생각해 보십시오.
\(\quad\)\(\displaystyle F(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}(x-x_n)^{1/3}.\)
그것은, 급수가 수렴하는 모든 값 x에 대해, 다음임을 보여줄 수 있습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle F'(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{3\cdot2^n}(x-x_n)^{-2/3}\)
또한, F(x)의 그래프는 x의 모든 다른 값에서 수직 접선을 가짐을 보일 수 있습니다. 특히 그래프는 집합 \(\{x_n\}_{n\ge1}\) 안의 모든 점에서 수직 접선을 가집니다.
게다가 도함수가 정의되는 모든 x에 대해 \(F(x)\ge0\)입니다. 그것은 역함수 \(G=F^{-1}\)가 모든 곳에서 미분-가능이고 구간 \([F(-1),F(1)]\) 안의 조밀한 것인 집합 \(\{F(x_n)\}_{n\ge1}\) 안의 모든 x에 대해 다음임을 따릅니다:
\(\quad\)\(g(x)=G'(x)=0\)
따라서 g는 역도함수 G를 가집니다. 다른 한편으로, 그것은 다음인 것에 절대 참이 될 수 없습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \int_{F(-1)}^{F(1)}g(x)\,dx=GF(1)-GF(-1)=2,\)
왜냐하면 \([F(-1),F(1)]\)의 임의의 분할에 대해, 우리는 합에 대해 0의 값을 제공하는, 집합 \(\{F(x_n)\}_{n\ge1}\)으로부터 리만 합에 대해 표본 점을 선택할 수 있기 때문입니다. 그것은 g가 양의 르베그 측정의 불연속성의 집합을 가지는 것을 따릅니다. 오른쪽의 그림 1은 \(\{x_n=\cos(n)\}_{n\ge1}\)이고 급수는 8 항에서 자른 g(x)의 그래프에 대한 근사를 보여줍니다. 그림 2는, 역시 8 항에서 자른, 역도함수 G(x)에 대한 근사의 그래프를 보여줍니다. 다른 한편으로, 만약 리만 적분이 르베그 적분(Lebesgue integral)으로 대체되면, 파투의 보조정리(Fatou's lemma) 또는 지배 수렴 정리(dominated convergence theorem)는, g가 그 문맥에서 미분학의 기본 정리를 만족시킨다는 것을 보여줍니다.
v) 위의 예제 iii)과 iv)에서, 함수 g의 불연속성의 집합은 유한 열린 구간 \((a,b)\) 안에 오직 조밀합니다. 어쨌든 이들 예제는 전체 실수 직선 \((-\infty,\infty)\) 위에 조밀한 불연속성의 집합을 갖도록 쉽게 수정될 수 있습니다. 다음을 놓습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \lambda(x) = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{\pi}\tan^{-1} x.\)
그런-다음 \(g(\lambda(x))\lambda'(x)\)는 \((-\infty,\infty)\) 위에 불연속성의 조밀한 집합을 가지고 역도함수 \(G\cdot\lambda\)를 가집니다.
vi) 예제 v)에서처럼 비슷한 방법을 사용하여, 우리는 예제 4에서 모든 유리수(rational numbers)에서 사라지도록 g를 수정할 수 있습니다. 만약 우리가 규칙적인 분할에 걸쳐 왼쪽 또는 오른쪽 리만 합의 극한으로 정의된 리만 적분(Riemann integral)의 소박한 버전을 사용하면, 우리는 구간 \([a,b]\)에 걸쳐 그러한 함수 g의 적분은, \(G(b)-G(a)\) 대신에, a와 b가 둘 다 유리일 때마다 0임을 얻을 수 있습니다. 따라서 미적분학의 기본 정리는 장엄하게 실패할 것입니다.
vii) 역도함수를 가지는 함수는 여전히 리만 적분-가능에 실패할 수 있을 것입니다. 볼테라의 함수(Volterra's function)의 도함수는 예제입니다.
Further reading
- Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
- Historical Essay On Continuity Of Derivatives by Dave L. Renfro
External links
- Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica
- Mathematical Assistant on Web — symbolic computations online. Allows users to integrate in small steps (with hints for next step (integration by parts, substitution, partial fractions, application of formulas and others), powered by Maxima
- Function Calculator from WIMS
- Integral at HyperPhysics
- Antiderivatives and indefinite integrals at the Khan Academy
- Integral calculator at Symbolab
- The Antiderivative at MIT
- Introduction to Integrals at SparkNotes
- Antiderivatives at Harvy Mudd College