수학(mathematics)에서, 항등 원소(identity element) 또는 중립 원소(neutral element)는 해당 집합(set) 위에 이항 연산(binary operation)에 관한 집합의 원소의 특수한 유형이며, 이것은 그것과 결합될 때 집합의 임의의 원소를 변경하지 않고 남겨둡니다. 이 개념은 그룹(group) 및 링(ring)과 같은 대수적 구조(algebraic structure)에서 사용됩니다. 용어 항등 원소는, 혼동의 가능성이 없을 때, (덧셈의 항등 및 곱셈의 항등에서 처럼) 항등으로 종종 단축되지만, 항등은 암시적으로 그것과 연관된 이항 연산에 의존합니다.
Definitions
(S, ∗)를 이항 연산 ∗을 갖추어진 집합 S라고 놓습니다. 그런-다음 S의 원소 e는 만약 S에서 모든 a에 대해 e ∗ a = a이면 왼쪽(left) 항등원(identity), S에서 모든 a에 대해 a ∗ e = a이면 오른쪽(right) 항등원(identity)이라고 불립니다. 만약 e가 왼쪽 항등원과 오른쪽 항등원 둘 다이면, 그것은 양-측 항등원(two-sided identity), 또는 단순히 항등원(identity)이라고 불립니다.
덧셈에 관한 항등원은 덧셈의 항등원(additive identity) (종종 0으로써 표시됨)이라고 불리고 곱셈에 관한 항등원은 곱셈의 항등원(multiplicative identity) (종종 1로써 표시됨)이라고 불립니다. 이것들은 보통의 덧셈 및 곱셈일 필요는 없습니다−놓여있는 연산은 다소 임의적일 수 있습니다. 구별은, 링(ring), 정수 도메인(integral domain), 및 필드(field)와 같은, 두 이항 연산을 지원하는 집합에 대해 가장 자주 사용됩니다. 곱셈의 항등원은 종종 후자의 맥락에서 단위(unity) (단위를 갖는 링)라고 불립니다. 이것은, 곱셈의 역(multiplicative inverse)을 가지는 임의의 원소인, 링 이론에서 단위(unit)와 혼동해서는 안됩니다. 그 자체의 정의에 의해, 단위 자체는 반드시 하나의 단위입니다.
Examples
| 집합 | 연산 | 항등원 |
| 실수 | + (덧셈) | 0 |
| 실수 | · (곱셈) | 1 |
| 양의 정수 | 최소 공통 배수 | 1 |
| 비-음의 정수 | 최대 공통 약수 | 0 (GCD의 대부분의 정의 아래에서) |
| m-×-n 곱셈 | 행렬 덧셈 | 영 행렬 |
| n-×-n 정사각 행렬 | 행렬 곱셈 | \(I_n\) (항등 행렬) |
| m-×-n 행렬 | ○ (아다마르 곱) | \(J_{m,n}\) (일의 행렬) |
| 집합 M에서 자체로의 모든 함수 | ∘ (함수 합성) | 항등 함수 |
| 그룹, G 위에 모든 분포 | ∗ (합성곱) | δ (디랙 델타) |
| 확장된 실수 | 최소/하한 | +∞ |
| 확장된 실수 | 최대/상한 | −∞ |
| 집합 M의 초월-집합 | ∩ (교집합) | M |
| 집합 | ∪ (합집합) | ∅ (빈 집합) |
| 문자열, 목록 | 연쇄 | 빈 문자열, 빈 목록 |
| 부울 대수 | ∧ (논리적 곱) | ⊤ (진실) |
| 부울 대수 | ∨ (논리적 합) | ⊥ (허위) |
| 부울 대수 | ⊕ (배타적-또는) | ⊥ (허위) |
| 매듭 | 매듭 합 | 비-매듭 |
| 컴팩트 표면 | # (연결된 합) | \(S^2\) |
| 그룹 | 직접 곱 | 자명한 그룹 |
| 두 원소, {e, f} | e ∗ e = f ∗ e = e 및 f ∗ f = e ∗ f = f에 의해 정의된 ∗ |
e와 f 둘 다는 왼쪽 항등원이지만, 오른쪽 항등원이 없고 양-측 항등원이 없습니다 |
| 집합 X 위에 동종 관계 | 상대 곱 | 항등 관계 |
Properties
마지막 예제가 (반-그룹(semigroup))가 보여주듯이, (S, ∗)에 대해 여러 왼쪽 항등원을 가질 수 있습니다. 실제로, 모든 각 원소는 왼쪽 항등원이 될 수 있습니다. 비슷한 방식으로, 여러 오른쪽 항등원이 있을 수 있습니다. 그러나 만약 오른쪽 항등원과 왼쪽 항등원 둘 다가 있으면, 그것들은 반드시 같아야 하며, 단일 양-측 항등원을 초래합니다. 이것을 보이기 위해, 만약 l이 왼쪽 항등원이고 r이 오른쪽 항등원이면, l = l ∗ r = r입니다. 특히, 하나보다 많은 양-측 항등원이 존재할 수 없습니다: 만약 둘, 말하자면 e와 f가 있으면, e ∗ f는 e와 f 둘 다와 같아야 합니다.
(S, ∗)에 대해, 곱셈 연산 아래에서 짝수 정수의 경우에서 처럼, 역시 항등 원소를 갖지 않을 수 있습니다. 또 다른 공통적인 예제는 벡터(vectors)의 교차 곱(cross product)이며, 여기서 항등 원소의 부재가 임의의 비-영 교차 곱의 방향(direction)이 항상 곱해진 임의의 원소와 직교(orthogonal)한다는 사실과 관련됩니다. 즉, 원래와 같은 방향에서 비-영 벡터를 얻는 것이 가능하지 않습니다. 항등 원소 없는 그룹의 또 다른 예제는 양의(positive) 자연수(natural number)의 덧셈의 반-그룹(semigroup)을 포함합니다.
Bibliography
- Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
- Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
- Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
- McCoy, Neal H. (1973), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225
Further reading
- M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7, p. 14–15
