차원 해석학(dimensional analysis)에서, 차원 없는 양(dimensionless quantity)은 물리적 차원(physical dimension)이 할당되지 않은 양(quantity)이며, 역시 빈, 순수한(bare, pure), 또는 스칼라 양(scalar quantity) 또는 차원 일의 양(quantity of dimension one)으로 역시 알려져 있으며, 단위 일 (또는 1)의 SI에서 해당하는 측정의 단위를 가지며, 이것은 명시적으로 표시되지 않습니다. 차원 없는 양은, 수학(mathematics), 물리학(physics), 화학(chemistry), 공학(engineering), 및 경제학(economics)과 같은, 많은 분야에서 널리 사용됩니다. 차원없는 양은 (초(second)에서 측정된) 시간(time)과 같은 결합된 차원을 가지는 양과 구별됩니다.
History
차원 일을 가지는 양, 차원없는 양은 과학에서 규칙적으로 발생하고, 차원 해석학(dimensional analysis)의 분야에서 공식적으로 처리됩니다. 19세기에서, 프랑스의 수학자 조제프 푸리에(Joseph Fourier)와 스코틀랜드의 물리학자 제임스 클러크 맥스웰(James Clerk Maxwell)은 현대적인 차원(dimension)과 단위(unit)의 개념에서 중요한 발전을 주도했습니다. 이후 영국의 물리학자 오스본 레이놀즈(Osborne Reynolds)와 레일리 경(Lord Rayleigh)의 연구는 물리학에서 차원 없는 숫자의 이해에 기여했습니다. 레일리의 차원 해석의 방법을 기반으로, 에드거 버킹엄(Edgar Buckingham)은 이들 양의 본성을 공식화하기 위해 π 정리(π theorem) (프랑스 수학자 조제프 베르트랑(Joseph Bertrand)의 이전 연구와 독립적임)를 입증했습니다.
많은 차원없는 숫자, 대부분 비율은 1900년대 초, 특히 유체 역학(fluid mechanics)과 열 전달(heat transfer)의 분야에서 만들어졌습니다. (유도된) 단위 dB (데시벨(decibel))에서 비율을 측정하는 것은 요즘 널리 사용되고 있습니다.
2000년대 초에, 국제 가중과 측정 위원회(International Committee for Weights and Measures)는 1의 단위를 "우노(uno)"로 이름짓는 것에 대해 논의했지만, 1에 대해 새로운 SI 이름을 도입하는 아이디어는 버려졌습니다.
Ratios, proportions, and angles
차원없는 양은 종종 차원 없는 것이 아닌 양(quantities)의 비율(ratio)로 얻어지지만, 그것들의 양은 수학적 연산에서 약분됩니다. 예제는 기울기(slope) 또는 단위 변환 인수(unit conversion factors)를 계산하는 것을 포함합니다. 그러한 비율의 보다 복잡한 예제는 길이에서 변화를 초기 길이로 나눈 물리적 변형의 측정, 엔지니어링 변형(engineering strain)입니다. 양 둘 다는 차원 길이를 가지므로, 그것들의 비율은 차원 없는 것입니다. 또 다른 예제는 ppm (\(=10^{-6}\)), ppb (\(=10^{-9}\)), 및 ppt (\(=10^{-12}\)), 또는 아마도 둘의 동일한 단위 (kg/kg 또는 mol/mol)의 비율로 혼동되는 것과 같은 부분-당 표기법(parts-per notation)을 사용하여 쓰이는 질량 분수(mass fraction) 또는 몰 분수(mole fraction)입니다. 예를 들어, 알코올성 음료(alcoholic beverage)에서 에탄올(ethanol)의 농도를 특성화하는 부피당 알코올(alcohol by volume)은 mL / 100 mL로 쓰일 수 있습니다.
다른 공통 비율은 분율 % (= 0.01), ‰ (= 0.001) 및 라디안, 도(degree) (\(^{\rm o} = \frac{\pi}{180}\))와 grad (\(=\frac{\pi}{200}\))와 같은 각도 단위입니다. 통계학(statistics)에서, 변동의 계수(coefficient of variation)는 평균(mean)에 대한 표준 편차(standard deviation)의 비율이고 데이터(data)에서 산포도(dispersion)를 측정하기 위해 사용됩니다.
분자와 분모에서 같은 차원을 가지는 비율 Q = A/B로 정의된 양은 실제로는 오직 단위 없는 양이고 여전히 \(\dim Q = \dim A \times \dim B^{-1}\)으로 정의된 물리적 차원을 갖는다고 주장되어 왔습니다. 예를 들어 수분 함량(moisture content)은 부피의 비율 (부피측정의 수분, \(m^3 \cdot m^{-3}\), 차원 \(L^3\cdot L^{-3}\)) 또는 질량의 비율 (중량측정의 수분, 단위 \(kg \cdot kg^{-1}\), 차원 \(M\cdot M^{-1}\))로 정의될 수 있습니다; 둘 다는 단위 없는 양이지만 다른 차원의 양입니다.
Buckingham π theorem
버킹엄 \(\pi\) 정리는 물리학의 법칙의 유효성이 특정 단위 시스템에 의존하지 않음을 나타냅니다. 이 정리의 명제는 임의의 물리적 법칙이 그 법칙에 의해 연결된 변수의 오직 차원없는 조합 (비율 또는 곱)을 포함하는 항등식(identity)으로 표현될 수 있다는 것입니다 (예를 들어, 압력과 부피는 보일의 법칙(Boyle's Law)에 의해 연결됩니다 – 그것들은 반비례입니다). 만약 차원없는 조합의 값이 단위의 시스템에 따라 변경되면, 그 방정식은 항등식이 아니고, 버킹엄의 정리는 유지되지 않습니다.
그 정리의 또 다른 결과는 특정 변수(variables)의 숫자 (말하자면 n) 사이의 함수형(functional) 의존성이 p = n − k 독립, 차원없는 양(quantities)을 제공하기 위해 그것들의 변수에서 발생하는 독립(independent) 차원(dimension)의 숫자 (말하자면 k)로 감소될 수 있다는 것입니다. 실험자의 목적을 위해, 차원 없는 양(quantity)에 의한 같은 설명을 공유하는 다른 시스템은 동등합니다.
Example
\(\pi\) 정리의 응용을 시연하기 위해, 주어진 모양을 갖는 교반기(stirrer)의 전력(power) 소모를 생각해 보십시오. 차원 \([M\cdot L^2/T^3]\)에서, 전력은 밀도(density), \(\rho[M/L^3]\), 및 휘젓게 될 유체의 점성(viscosity), \(\mu[M/(L\cdot T)]\)와, 마찬가지로 그것의 지름(diameter)에 의해 주어진 교반기의 크기, \(D[L]\), 및 교반기의 각속력(angular speed), \(n[1/T]\)의 함수입니다. 그러므로, 우리는 예제를 나타내는 총 n = 5 변수를 가집니다. 그것들 n = 5 변수는 k = 3 기본 차원, 길이: L (SI 단위: m), 시간: T (s), 및 질량: M (kg)에서 구성됩니다.
\(\pi\)-정리에 따라, n= 5 변수는 p = n − k = 5 − 3 = 2 독립 차원 없는 숫자를 형성하기 위해 k = 3 차원에 의해 줄어들 수 있습니다. 보통, 이들 양은 공통적으로 유체 흐름 체계를 설명하는 레이놀즈 숫자(Reynolds number)라고 이름-지어진 \(\mathrm{Re} = {\frac{\rho n D^2}{\mu}}\), 및 교반기의 차원없는 설명인 전력 숫자(power number), \(N_\mathrm{p} = \frac{P}{\rho n^3 D^5}\)로 선택됩니다.
둘의 차원없는 양은 고유하지 않고 n = 5 변수 중 어느 것이 차원 없는 양 둘 다에 나타나는 k = 3 독립 기저 변수로 선택되는지에 따라 달라짐에 주목하십시오. 레이놀즈 숫자와 전력 숫자는 만약 \(\rho\), n, 및 D가 기저 변수로 선택되면 위의 분석에서 떨어집니다. 만약 대신, \(\mu\), n, 및 D가 선택되면, 레이놀즈 숫자는 두 번째 차원 없는 양이 \(N_\mathrm{Rep} = \frac{P}{\mu D^3 n^2}\)이 되는 동안 회복됩니다. 우리는 \(N_\mathrm{Rep}\)가 레이놀즈 숫자와 전력 숫자의 곱임을 주목합니다.
Dimensionless physical constants
진공에서 빛의 속도(speed of light), 보편적인 중력 상수(universal gravitational constant), 플랑크의 상수(Planck's constant), 쿨롱의 상수(Coulomb's constant), 및 볼츠만의 상수(Boltzmann's constant)와 같은 특정 보편적 차원의 물리적 상수는 만약 시간(time), 길이(length), 질량(mass), 전하(charge), 및 온도(temperature)에 대해 적절한 단위가 선택되면 1로 정규화될 수 있습니다. 결과적인 단위의 시스템(system of units)은 자연 단위(natural units)로 알려져 있으며, 특히 이들 다섯 상수, 플랑크 단위(Planck units)와 관련이 있습니다. 어쨌든, 모든 물리적 상수(physical constant)가 이러한 방식으로 정규화될 수 있는 것은 아닙니다. 예를 들어, 다음 상수의 값은 단위의 시스템과 무관하며, 정의될 수 없고, 오직 실험적으로 결정될 수 있습니다:
- α ≈ 1/137, 미세 구조 상수(fine-structure constant), 이것은 전자 사이의 전자기 상호작용(electromagnetic interaction)의 크기를 특성화합니다;
- β (or μ) ≈ 1836, 양성자-대-전자 질량 비율(proton-to-electron mass ratio). 이 비율은 양성자(proton)의 나머지 질량(rest mass)을 전자의 질량으로 나눈 값입니다. 유사한 비율은 임의의 기본 입자(elementary particle)에 대해 정의될 수 있습니다;
- \(\alpha_s\) ≈ 1, 강한 핵력(strong nuclear force) 결합 강도를 특성화하는 상수;
- 플랑크 질량(Planck mass)에 대한 주어진 기본 입자의 질량의 비율, \(\sqrt{\hbar c/G}\) .
Other quantities produced by nondimensionalization
물리학은 종종 차원 없는 양(quantities)을 여러 상호작용하는 물리적 현상을 갖는 시스템의 특성화를 단순화하기 위해 사용합니다. 이것들은 버킹엄 π 정리(Buckingham π theorem)를 적용함으로써 찾아질 수 있거나 그렇지 않으면 무차원화(nondimensionalization)의 과정에 의해 단위 없는 부분 미분 방정식(partial differential equations)을 만드는 것에서 나타날 수 있습니다. 공학, 경제학, 및 다른 분야는 종종 관련 시스템의 설계(design)와 해석에서 이들 아이디어를 확장합니다.
Physics and engineering
- 프레넬 숫자(Fresnel number) – 거리에 걸쳐 파동수
- 마하 숫자(Mach number) – 유체에서 소리의 속력에 관한 대상 또는 흐름의 속력의 비율.
- 베타(Beta) – 자기권 물리학과 마찬가지로 융합 플라즈마 물리학에 사용되는 자기 압력에 대한 플라즈마 압력의 비율.
- 담퀄라 숫자(Damköhler numbers) (Da) – 화학 공학에서 화학 반응 시간-척도 (반응율)를 시스템에서 발생하는 수송 현상 율과 관련시키는 데 사용됩니다.
- 틸레 모듈러스(Thiele modulus) – 질량 전달 제한 없이 다공성 촉매 펠릿에서 확산과 반응 율 사이의 관계를 설명합니다.
- 수치적 구멍(Numerical aperture) – 시스템이 빛을 받아들이거나 방출할 수 있는 각도 범위를 특성화합니다.
- 셔우드 숫자(Sherwood number) – (역시 질량 전달 누셀트 숫자(Nusselt number)라고 불림) 질량-전송 연산에 사용되는 차원 없는 숫자입니다. 그것은 확산 질량 수송의 율에 대한 대류 질량 전달의 비율을 나타냅니다.
- 슈미트 숫자(Schmidt number) – 운동량 확산 (운동학적 점도)과 질량 확산의 비율로 정의되고, 동시에 일어나는 운동량과 질량 확산 대류 과정이 있는 유체 흐름을 특성화하기 위해 사용됩니다.
- 레이놀즈 숫자(Reynolds number) – 공통적으로 유체 역학에서 유체와 흐름의 속성 둘 다를 통합하는 흐름을 특성화하기 위해 사용됩니다. 이것은 점성력에 대한 관성력의 비율로 해석되고, 흐름 체계를 나타낼 뿐만 아니라 관에서 흐름에 적용에서 마찰 가열과 관련될 수 있습니다.
Chemistry
- 상대 밀도(Relative density) – 물(water)에 관한 밀도
- 상대 원자 질량(Relative atomic mass), 표준 원자 중량(Standard atomic weight)
- 평형 상수(Equilibrium constant) (이것은 때때로 차원 없는 것입니다)
Other fields
- 운송 비용은 한 장소에서 또 다른 장소로 이동할 때의 효율성(efficiency)입니다.
- 탄력성(Elasticity)은 또 다른 경제 변수에 대한 응답에서 경제 변수의 비례적 변화의 측정입니다.
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