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(번역) Extended real number line

by 다움위키 2023. 11. 21.

수학(mathematics)에서, 아핀적으로 확장된 실수 시스템(affinely extended real number system)은 실수(real number) 시스템 에 두 원소: + ∞– ∞ (각각 양의 무한대(positive infinity)와 음의 무한대(negative infinity)로 읽음)를 추가함으로써 얻어지며, 여기서 무한대는 실제 숫자로 취급됩니다. 그것은 무한대 위에 대수를 묘사하는 것 및 미적분(calculus)수치 해석학(mathematical analysis), 특히 측정(measure)적분화(integration) 이론에서, 다양한 극한하는 동작(limiting behavior)을 묘사하는 것에 유용합니다. 아핀적으로 확장된 실수 시스템은 \(\overline{\mathbb{R}}\) 또는 [–∞, +∞], 또는, ℝ ∪ {–∞, +∞}로 표시됩니다.

그 의미가 문맥으로부터 분명할 때, 기호 +∞는 간단히 로 종종 쓰입니다.

Motivation

Limits

그것은 인수 \(x\) 또는 함숫값 \(f(x)\)가 일부 의미에서 "무한히 크게" 되는 것과 같은, 함수 \(f(x)\)의 동작을 묘사하기 위해 종종 유용합니다. 예를 들어, 다음 함수를 생각해 보십시오:

\(\quad\)\(f(x) = x^{-2}.\)

이 함수의 그래프는 y = 0에서 수평 점근선(asymptote)을 가집니다. 기하학적으로, \(x\)-축을 따라 오른쪽으로 계속해서 더 멀리 이동할 때, \(\displaystyle \frac{1}{x^2}\)의 값은 0에 접근합니다. 이 극한하는 동작은, \(x\)에 접근하기 위한 실수가 없다는 것을 제외하고, 실수(real number)에서 함수의 극한(limit of a function)과 비슷합니다.

원소 \(+\infty\)와 \(-\infty\)를 \(\mathbb{R}\)에 연결함으로써, 그것은 \(\mathbb{R}\)에 대해 그것과 비슷한 토폴로지적(topological) 속성을 갖는 "무한대에서 극한"의 공식화를 활성화합니다.

그것을 완전히 공식적으로 만들기 위해, \(\mathbb{R}\)의 코시 수열 정의(Cauchy sequences definition)는, 모든 각 \(M \in \mathbb{R}\)은 모든 \(n>N\)에 대해 \(a_n > M\)인 것에 대해 대응하는 \(N \in \mathbb{N}\)과 결합된 것을 만족하는 실수의 모든 수열 \(\{a_n\}\)의 집합으로 \(+\infty\)를 정의하는 것을 허용합니다. \(-\infty\)의 정의는 비슷하게 구성될 수 있습니다.

Measure and integration

측정 이론(measure theory)에서, 그의 값이 무한할 수 있는 무한 측정 및 적분을 가지는 집합을 허용하는 것이 종종 유용합니다.

그러한 측정은 자연스럽게 미적분에서 비롯됩니다. 예를 들어, 구간의 보통 길이와 일치하는 측정(measure) R

에 할당하는 것에서, 이 측정은 임의의 유한 실수보다 반드시 커야 합니다. 또한, 다음처럼 부적절한 적분(improper integral)을 고려할 때,

\(\quad\)\(\displaystyle \int_1^{\infty}\frac{dx}{x}\)

값 "무한대"가 발생합니다. 마지막으로, 다음처럼 함수의 수열의 극한을 고려하는 것이 종종 유용합니다:

\(\quad\)\(f_n(x) = \begin{cases} 2n(1-nx), & \mbox{if } 0 \le x \le \frac{1}{n} \\ 0, & \mbox{if } \frac{1}{n} < x \le 1\end{cases}\) 

함수가 무한한 값을 취하는 것 허용 없이, 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem)지배 수렴 정리(dominated convergence theorem)와 같은 그런 필수 결과는 이해가 되지 않을 것입니다.

Order and topological properties

 

아핀적으로 확장된 실수 시스템은 모든 \(a\)에 대해 \(-\infty\leq a \leq +\infty\)을 정의함으로써 전체 순서 집합(totally ordered set)으로 바뀔 수 있습니다. 이 순서 토폴로지(order topology)과 함께, \(\overline{\mathbb{R}}\)은 콤택트성(compactness)의 바람직한 속성을 가집니다: \(\overline{\mathbb{R}}\)의 모든 각 부분-집합은 상한(supremum)하한(infimum)을 가집니다 (빈 집합의 하한은 \(+\infty\)이고 그의 상한은 \(-\infty\)입니다). 게다가, 이 토폴로지와 함께 \(\overline{\mathbb{R}}\)은 단위 구간(unit interval) \([0, 1]\)에 대한 위상-동형(homeomorphic)입니다. 따라서 토폴로지는 메트릭-가능(metrizable)이며, 이 구간 위에 보통 메트릭에 (주어진 위상-동형에 대해) 해당합니다. \(\mathbb{R}\) 위에 보통 메트릭의 확장인 메트릭은 없습니다.

이 토폴로지와 함께, 집합 \(U\)가 \(+\infty\)이웃(neighborhood)인 것과 그것이 어떤 실수 \(a\)에 대해 집합 \(\{x : x > a\}\)을 포함하는 것은 필요충분 조건입니다. \(-\infty\)의 이웃의 개념은 비슷하게 정의될 수 있습니다. 확장된-실수 이웃의 이 특성화를 사용하여, \(+\infty\)와 \(-\infty\)로 경향이 있는 \(x\)에 대해 특별히 정의된 극한(limits), 및 \(+\infty\)와 \(-\infty\)와 같은 극한의 특별히 정의된 개념은 극한의 일반적인 토폴로지적 정의로 축소됩니다.

Arithmetic operations

\(\mathbb{R}\)의 산술 연산은 다음처럼 \(\overline{\mathbb{R}}\)에 부분적으로 확장될 수 있습니다:

\(
\begin{align}
a + \infty = +\infty + a & = +\infty, & a & \neq -\infty \\
a - \infty = -\infty + a & = -\infty, & a & \neq +\infty \\
a \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot a & = \pm\infty, & a & \in (0, +\infty] \\
a \cdot (\pm\infty) = \pm\infty \cdot a & = \mp\infty, & a & \in [-\infty, 0) \\
\frac{a}{\pm\infty} & = 0, & a & \in \mathbb{R} \\
\frac{\pm\infty}{a} & = \pm\infty, & a & \in (0, +\infty) \\
\frac{\pm\infty}{a} & = \mp\infty, & a & \in (-\infty, 0)
\end{align}
\)

지수화에 대해, 거듭제곱의 극한을 참조하십시오. 여기서, "\(a + \infty\)"은 "\(a + (+\infty)\)"와 "\(a - (-\infty)\)" 둘 다를 의미하고, "\(a - \infty\)"은 " \(a - (+\infty)\)"와 "\(a + (-\infty)\)" 둘 다를 의미합니다.

(불확정 형식(indeterminate form)으로 불리는) 표현 \(\infty - \infty, 0 \times (\pm\infty)\) 및 \(\pm\infty/\pm\infty\)는 보통 정의되지-않은(undefined) 채 남겨집니다. 이들 규칙은 무한 극한(infinite limits)에 대한 법칙 위에 모델링 됩니다. 어쨌든, 확률 이론 또는 측정 이론에서, \(0 \times \pm\infty\)는 종종 \(0\)으로 정의됩니다.

양 및 음의 확장된 실수 둘 다를 다룰 때, 표현 \(1/0\)은 보통 정의되지-않은 채 남겨지는데, 왜냐하면, 비록 그것이 \(0\)에 수렴하는 모든 각 실수 비-영 수열 \(f\)에 대해, 역 수열 \(1/f(x)\)이 \(\{\infty,-\infty\}\)의 모든 각 이웃에 결국 포함될지라도, 수열 \(1/f\)이 반드시 \(-\infty\) 또는 \(\infty\) 중 하나에 자체 수렴하는 것은 참이 아니기 때문입니다. 또 다른 방법에서 말하면, 만약 연속 함수(continuous function) \(f\)가 특정 값 \(x_0\)에서 영에 도달하면, 그것은 \(1/f\)이, \(x\)가 \(x_0\)로 경향이 있을 때 극한에서 \(-\infty\) 또는 \(\infty\) 중 하나로 경향이 있는 경우일 필요는 없습니다. 이것은 \(x\)가 0으로 경향이 있을 때 항등 함수(identity function) \(f(x)=x\), 및 \(f(x) = x^2\sin (1/x)\)의 극한에 대한 경우입니다 (후자 함수에 대해, −\(-\infty\) 및 \(\infty\) 둘 다는, 심지어 만약 x의 오직 양의 값이 고려되면, \(1/f(x)\)의 극한이 아닙니다).

어쨌든, 오직 비-음의 값이 고려되는 문맥에서, 그것은 \(1/0 = +\infty\)을 정의하는 것이 종종 편리합니다. 예를 들어, 거듭제곱 급수와 작동할 때, 계수 \(a_n\)을 갖는 거듭제곱 급수(power series)수렴의 반지름(radius of convergence)은 수열 \(\displaystyle \{|a_n|^{1/n}\}\)의 극한-상한의 역수로 종종 정의됩니다. 따라서, 만약 우리가 \(1/0\)을 값 \(+\infty\)을 취하는 것을 허용하면, 우리는 극한-상한이 \(0\)인지 아닌지 여부에 상관없이 이 공식을 사용할 수 있습니다.

Algebraic properties

이들 정의와 함께, \(\overline{\mathbb{R}}\)은 심지어 반-그룹이 아니며, \(\mathbb{R}\)의 경우에서 처럼, 단독으로 그룹, 링, 또는, 필드로 놓습니다. 어쨌든, 여러 편리한 속성을 가집니다:

  • \(a + (b + c)\)와 \((a + b) + c\)는 서로 같거나 둘 다 정의되지 않습니다.
  • \(a + b\)와 \(b + a\)는 서로 같거나 둘 다 정의되지 않습니다.
  • \(a \cdot (b \cdot c)\)와 \((a \cdot b) \cdot c\)는 서로 같거나 둘 다 정의되지 않습니다.
  • \(a \cdot b\)와 \(b \cdot a\)는 서로 같거나 둘 다 정의되지 않습니다.
  • \(a \cdot (b + c)\)와 \((a \cdot b) + (a \cdot c)\)는, 만약 둘 다 정의되면, 같습니다.
  • 만약 \(a \leq b\) 및 만약 \(a + c\)와 \(b + c\) 둘 다가 정의되면, \(a + c \leq b + c\)입니다.
  • 만약 \(a \leq b\)와 \(c > 0\) 및 만약 \(a \cdot c\)와 \(b \cdot c\) 둘 다가 정의되면, \(a \cdot c \leq b \cdot c\)입니다.

일반적으로, 모든 발생하는 표현이 정의되는 한, 산술의 모든 법칙은 \(\overline{\mathbb{R}}\)에서 유효합니다.

Miscellaneous

여러 함수(functions)는 극한을 취함으로써 \(\overline{\mathbb{R}}\)에 연속(continuity)적으로 확장될 수 있습니다. 예를 들어, 우리는 다음: \(\displaystyle \exp(-\infty) = 0, \ \ln(0) = -\infty, \ \tanh(\pm\infty) = \pm 1, \ \arctan(\pm\infty) = \pm\frac{\pi}{2}\)처럼 해당 함수의 극점을 정의할 수 있을 것입니다.

일부 특이점(singularities)은 추가적으로 제거될 수 있을 것입니다. 예를 들어, 함수 \(1/x^2\)은 \(x = 0\)에 대해 \(+\infty\), \(x = +\infty\)와 \(x = -\infty\)에 대해 \(0\)에 값을 설정함으로써 (연속성의 일부 정의 아래에서) \(\overline{\mathbb{R}}\)에 연속적으로 확장될 수 있습니다. 다른 한편으로, 함수 \(1/x\)는 연속적으로 확장될 수 없는데, 왜냐하면 함수는 \(x\)가 아래로부터 0에 접근할 때 \(-\infty\)로 접근하고, \(x\)가 위로부터 0에 접근할 때 \(+\infty\)로 접근하기 때문입니다.

비슷하지만 다른 실수-직선 시스템, 투영적으로 확장된 실수 직선(projectively extended real line)은 \(+\infty\)와 \(-\infty\) 사이를 구별하지 않습니다 (즉, 무한대는 비-부호입니다). 결과적으로, 함수는 투영적으로 확장된 실수 직선 위에 극한 \(\infty\)을 가질 수 있지만, 아핀적으로 확장된 실수 시스템에서, 예를 들어, \(x = 0\)에서 함수 \(1/x\)의 경우에서, 오직 함수의 절댓값이 극한을 가집니다. 다른 한편으로

\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}{f(x)}\) and \(\lim_{x \to +\infty}{f(x)}\)

은 투영적으로 확장된 실제 직선 위에, 각각, 오직 오른쪽에서 극한과 왼쪽에서 극한에 해당하며, 두 개가 같은 때 전체 극한은 오직 존재합니다. 따라서 함수 \(e^x\) 및 \(\arctan(x)\)는 투영적으로 확장된 실수 직선 위에 \(x = \infty\)에서 절대 연속적으로 만들 수 없습니다.

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