수학(mathematics)에서, 어떤 두 개가 만약 그들이 같지(equal) 않으면 구별(distinct)이라고 불립니다. 물리학(physics)에서, 어떤 두 개가 만약 그들이 서로 매핑(mapping)될 수 없다면 구별됩니다.
Example
복소수(complex number)에 걸쳐 이차 방정식(quadratic equation)은 두 개의 근(root)을 가집니다.
방정식
\(\quad\)\(x^2 - 3x + 2 = 0\)
은 다음으로 인수화(factors)됩니다:
\(\quad\)\((x - 1)(x - 2) = 0\)
따라서 근 x = 1 및 x = 2을 가집니다. 1과 2는 같지 않기 때문에, 이들 근은 구별됩니다.
반면에, 방정식
\(\quad\)\(x^2 - 2x + 1 = 0\)
은 다음으로 인수화됩니다:
\(\quad\)\((x - 1)(x - 1) = 0\)
따라서, 근 x = 1와 x = 1을 가집니다. 1과 1은 (물론) 같기 때문에, 근은 구별되지 않습니다; 그들은 일치합니다(coincide).
다시 말해, 첫 번째 방정식은 구별되는 근을 가지고, 반면에 두 번째 방정식은 구별되지 않는 근을 가집니다. (일반적인 이론에서, 판별식(discriminant)이 이를 설명하기 위해 도입됩니다.)
Proving distinctness
두 대상 x와 y가 구별되는 것을 증명(prove) 하기 위해, 그것 중 하나는 갖고 있지만 다른 것은 갖지 아닌 어떤 속성(property)을 찾는 것이 종종 도움이 됩니다. 간단한 예제에 대해, 만약 어떤 이유로 우리가 위의 예제에서 근 1과 2가 구별된다는 것에 의심이 든다면, 우리는 1은 홀수(odd number)이지만 2는 짝수(even)라는 것에 의해 이것을 증명할 수 있습니다. 이것은 1과 2가 구별된다는 것을 증명했을 것입니다.
같은 선을 따라, 누군가는 어떤 함수(function) f를 찾고 f(x)와 f(y)가 구별된다는 것을 증명함으로써 x와 y가 구별된다는 것을 증명할 수 있습니다. 이것은 간단한 생각처럼 보일 수 있고, 그리고 그것도 맞지만, 수학에서 많은 깊은 의미가 여러분이 특정 방법에 의해 구별성을 증명할 수 있을 때 관련됩니다. 예를 들어,
- 한–바나흐 정리(Hahn–Banach theorem)는 바나흐 공간(Banach space)의 구별되는 원소는 오직 선형 함수(linear functional)를 사용하여 구별되는 것을 증명될 수 있음을 (다른 무엇보다도) 말합니다.
- 카테고리 이론(category theory)에서, 만약 f가 카테고리(categories) C와 D 사이의 함수자(functor)이면, f는 동형(isomorphic) 대상을 동형 대상으로 항상 매핑합니다. 따라서, C의 두 대상이 구별되는 것을 보여주는 한 가지 방법은 동형사상(isomorphism)까지(up to)) f 아래의 그들이 이미지가 구별됨 (즉, 동형이 아님)을 보여주는 것입니다.
