(고등학교) 일반각과 호도법

이전에 각도는 육십분법을 사용해서 측정하고 표현했습니다. 육십분법은 대체로 각도를 측정하고 표현하는 첫 번째로 배우는 방법이고, 특히, 시계와 연결해서 이해하는 경우가 많아 상당히 유용하다고 생각될 수 있습니다.

그러나, 육십분법은 음의 각도에 대한 정의를 소개하지 않고, 각도에 해당하는 넓이와 길이를 표현하는 것이 매우 상대적으로 지저분한 수식으로 표현될 수 있습니다.

예를 들어, 원주의 길이는, 반지름의 길이가 $r$일 때, $l=2\pi r$로 배웠습니다. 이것은 각도를 육십분법에 의해 표현된 공식이 아니고, 아래에서 배우는 라디안을 사용한 공식입니다.

만약 육십분법으로 표현하면, $l={360}^{\circ }r$로 표현될 것인데, 이 식은 왼쪽 변과 오른쪽 변의 차원이 맞지 않습니다. 즉, 왼쪽 변은 길이의 차원이지만, 오른쪽 변은 길이와 각도의 곱의 차원입니다. 게다가, 이 식 자체는 각도의 변수가 1개뿐이라서, 둘 사이의 표현에 큰 차이점이 없어 보이지만, 각도가 여러 개로 사용되는 식은 매우 지저분한 형태의 식으로 표현될 수밖에 없습니다 (라디안을 참조하십시오).

이제 이런 불합리한 사항을 극복하기 위해, 각도에 대해 음수를 포함한 보다 일반화된 표현법과 보다 간결한 형태로 표현하는 방법에 대해 배울 것입니다.

일반각

실수를 시각적으로 표현하는 수직선(숫자 직선)은 원점을 기준으로 오른쪽으로 진행하면 양의 값을 가지며, 왼쪽으로 나아가면 음의 값을 가집니다. 

유사하게, 각도는 $x$축의 양의 방향 (예를 들어, 시계에서 3시에 대응하는 방향)을 기준으로 반시계 방향으로 돌면 양의 값을 가지며, 시계 방향으로 돌면 음의 값을 가집니다. 현재의 각도가 주어지면 (예를 들어 15분), 동경 (분침)의 위치는 유일하게 하나로 정해집니다. 반면에 동경의 위치가 정해졌을 경우에 (예를 들어, 15분) 각도를 하나로만 측정할 수는 없습니다 (예를 들어, 1시 15분, 2시 15분 등).

예를 들어 $+{30}^{\circ }$는 반시계 방향, 즉, 양의 방향으로 $+{30}^{\circ }$를 이동한 것으로 대표될 수 있지만, 시계 방향, 즉, 음의 방향으로 $-{330}^{\circ }$로도 표현이 가능하고, 반시계방향으로 1바퀴를 회전한 후에, 반시계 방향으로 $+{30}^{\circ }$를 이동한 것, 즉, ${360}^{\circ }\times 1+{30}^{\circ }$ 등으로 표현할 수 있습니다. 이와 같이 어떤 동경에 대해, 가능한 표현은 무수히 많고, 이를 표현하는 것이 일반각이라고 합니다.

일반적으로 $x$축의 양의 방향으로 측정한 하나의 각 ${\alpha }^{\circ }$, 즉 동경을 일반각으로 표현하면 다음과 같습니다.
$\theta ={360}^{\circ }\times n+{\alpha }^{\circ }$ (단, $n$은 정수 $0^{\circ }\le {\alpha }^{\circ }<{360}^{\circ }$)
여기서 주의할 사항은 동경을 $x$축의 양의 방향으로 측정하기 때문에 $\alpha$의 부호는 ($+$)입니다.

라디안(호도법)

라디안은 각도를 하나의 실숫값으로 표현하는 방법으로, 더 이상 육십분법의 차원(각도)을 갖지 않는 무차원의 숫자입니다.

숫자가 만들어질 때 1부터 만들어진 것처럼 호도법도 1라디안부터 정의됩니다. 1라디안은 반지름 $r$인 원의 중심에 $x$축의 원점을 대응시켰을 때, $x$축과 원이 만나는 지점에서 원주를 따라서 반시계 방향으로 반지름만큼 이동했을 때 $x$축과 현재 위치 사의의 중심각(${\alpha }^{\circ }$)을 1라디안이라고 합니다. 따라서 호의 길이와 중심각의 크기는 정비례하므로,

$$${\alpha }^{\circ }:{360}^{\circ }=r:2\pi r=1:2\pi$

$$${360}^{\circ }:2\pi ={180}^{\circ }:\pi$

입니다. 이런 식으로 1라디안을 단위로 하여 각도의 크기를 측정하고 표현하는 방법을 라디안(호도법)이라고 합니다.

예를 들어, 30도는 180도의 육분의 일이므로,

$$${\displaystyle \frac{1}{6}\times {180}^{\circ }=\frac{1}{6}\times \pi }$

반면에 1라디안을 육십분법으로 표현하면,

$$${\displaystyle \frac{1}{\pi }\times {180}^{\circ }=\frac{1}{\pi }\times \pi }$

이고, 약 57.2958°입니다.

이제, 라디안에 따라 일반각의 정의를 아래와 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$$\theta =2n\pi +\alpha$ (단, $n$은 정수 $0\le \alpha <2\pi$)

부채꼴의 호의 길이와 넓이

우리는 구분구적법을 통해서, 반지름이 $r$인 원의 넓이가 라디안으로 $\pi r^2$이고, 원주의 길이가 $2\pi r$임을 배웠습니다. 만약 전체 원이 아닌 부채꼴의 모양에서 넓이와 호의 길이는 어떻게 나타낼 수 있을까요?

반지름의 길이가 $r$, 중심각의 크기가 $\theta$(라디안)인 부채꼴에서 호의 길이를 $l$이라고 하면 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로

$$중심각 : 호의 길이 = 전체 원 중심각 : 원주의 길이

$$$\theta :l=2\pi :2\pi r$

따라서

$$$l=r\theta$

만약, 각도를 육십분법으로 측정했다면, 공식은 다음과 같이 쓰일 수 있습니다:

$$${\displaystyle l=\frac{\pi }{{180}^{\circ }}\cdot r{\theta }_{deg}}$

또한, 부채꼴의 넓이를 $S$라고 하면, 부채꼴의 넓이도 중심각의 크기에 정비례하므로 다음이 성립합니다:

$$중심각 : 부채꼴의 넓이 = 전체 원 중심각 : 원의 넓이

$$$\theta :S=2\pi :\pi r^2$

따라서

$$${\displaystyle S=\frac{1}{2}{r}^2\theta =\frac{1}{2}rl}$

몇 가지 문제

부채꼴의 최대 넓이

부채꼴을 구성하는 테두리의 길이의 합이 일정하다는 전제조건에 의해 다음이 성립합니다.

$$$2r+l=a$ (단, $a>0$)

부채꼴의 넓이는 다음과 같이 표현되므로,

$$${\displaystyle S=\frac{1}{2}rl=\frac{1}{2}r(a-2r)=-r^2+\frac{1}{2}ar}$

이 식은 $r$에 대한 이차함수이고, 선행 계수가 음수이므로 꼭짓점에서 최댓값을 가집니다.

따라서, $r=\frac{1}{4}a$일 때, 부채꼴의 넓이가 최대입니다.

이 경우에서 $l=\frac{1}{2}a$가 되고, 중심각은 $\theta =2$로 일정합니다.

다른 방법으로는 산술/기하 평균을 이용하는 것입니다.

$$$2r+l\ge 2\sqrt{2rl}=2\sqrt{4S}$

$$$a\ge 4\sqrt{S}$, (등호는 $2r=l$이므로 $\theta =2$)

동경의 대칭문제

동경의 기하학적 위치에 의해 가능한 각도를 구하는 문제가 있습니다. 

예를 들어, $\theta$와 $5\theta$의 동경 사이의 기하학적 위치에 의한 식을 어떻게 세울까요?

 

i) 동경이 일치할 경우

• $5\theta =2m\pi +\alpha$, $\theta =2n\pi +\alpha$
• 변끼리 빼서 정리하면
• ${\displaystyle \theta =\frac{1}{2}(m-n)\pi }$
• 여기서, $m,n$은 회전을 나타내는 정수이므로, $m-n$ 역시 정수입니다. 따라서, $m-n=0,1,2,\cdots$를 대입해서, 조건을 만족하는 것 전부를 해로 찾습니다.

ii) 동경이 원점에 대칭인 경우

• $5\theta =2m\pi +\pi +\alpha$, $\theta =2n\pi +\alpha$
• 변끼리 빼서 정리하면
• ${\displaystyle \theta =\frac{1}{2}(m-n)\pi +\frac{\pi }{4}}$
• 따라서, $m-n=0,1,2,\cdots$를 대입해서, 조건을 만족하는 것 전부를 해로 찾습니다.

iii) 동경이 $x$-축에 대칭인 경우

• $5\theta =2m\pi -\alpha$, $\theta =2n\pi +\alpha$
• 변끼리 더해서 정리하면
• ${\displaystyle \theta =\frac{1}{3}(m+n)\pi }$
• 따라서, $m+n=0,1,2,\cdots$를 대입해서, 조건을 만족하는 것 전부를 해로 찾습니다.

iv) 동경이 $y$-축에 대칭인 경우

• $5\theta =2m\pi +\pi -\alpha$, $\theta =2n\pi +\alpha$
• 변끼리 더해서 정리하면
• ${\displaystyle \theta =\frac{1}{3}(m+n)\pi +\frac{\pi }{6}}$
• 따라서, $m+n=0,1,2,\cdots$를 대입해서, 조건을 만족하는 것 전부를 해로 찾습니다.