직각삼각형에서, 그들 변 사이의 비값을 정의하는 것이 삼각비입니다. 또한, 직각삼각형에서는 제일 큰 각도가 90도이기 때문에, 0도에서 90도까지의 삼각비를 다룹니다.
중학교 교과서에서, 주로 피타고라스 정리를 배운 후에 삼각비를 배웁니다. 피타고라스 정리에서 직각의 대변을 빗변(hypotenuse)으로 소개를 하고, 나머지 두변에 대해서는 소개를 하지 않는데, 왜냐하면, 필요하지 않는 변의 이름을 알려줄 필요가 없고, 빗변을 제외한 나머지 변으로 표현하는 것이, 학생들이 이해하는 것이 더 쉬울 수 있기 때문입니다.
반면에, 삼각비의 정의는 변에 대한 용어를 정의하지 않고, 바로 변의 길이를 사용해서 식을 제공하는 경우가 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \sin \mathrm B=\frac{b}{c},\;\cos \mathrm B=\frac{a}{c}\)
\(\quad\)\(\displaystyle \sin \mathrm A=\frac{a}{c},\;\cos \mathrm A=\frac{b}{c}\)
그림에서 변의 문자를 표시하지 않았지만, 삼각형에서, 각은 대문자를 사용하고, 그의 소문자를 대변의 문자로 사용하는 것이 일반적입니다.
이런 상황에서, 선택한 각에 따라 삼각비에서 쓰이는 변의 문자가 달라지기 때문에, 배우는 입장에서 상당한 혼란을 가져옵니다. 또한, 이런 학생들의 혼란을 줄이기 위해, 이전에 배웠던 과정에서 사용하던 변의 이름을 가져와서 학생들에게 알려주는 경우가 있습니다.
이때, 사용되는 용어가 그림처럼, 빗변을 제외하고, 나머지 두변에 대해, 밑변과 높이를 사용하는 경우가 많습니다. 왜냐하면, 교과서에서 통일된 용어를 알려주지 않기 때문에, 학생들에게 친숙한 용어를 선택한다고 보입니다. 변의 이름에 대해, 삼각비의 정의를 하는 중학교 교과서가 있으면 알려주세요!!
그러나, 밑변과 높이는 삼각형의 넓이를 구할 때, 주로 사용하는 용어입니다. 어쨌든, 삼각형에서 지면과 평행한 변을 밑변으로 두고, 지면과 수직인 변을 높이로 나타내었기 때문에, 크게 문제가 되지 않는 것처럼 보입니다.
이제 삼각비의 정의에 따라, 그 용어를 쓰면,
\(\quad\)\(\displaystyle \sin \mathrm B= \frac{\mathrm{높이}}{\mathrm{빗변}}, \cos \mathrm B= \frac{\mathrm{밑변}}{\mathrm{빗변}}\)
이렇게 알려주는(또는 정의하는) 것이 크게 무리가 없는 것처럼 보이지만, 더 큰 혼란을 초래합니다. 예를 들어,
\(\quad\)\(\displaystyle \sin \mathrm A= \frac{\mathrm{밑변}}{\mathrm{빗변}}, \cos \mathrm A= \frac{\mathrm{높이}}{\mathrm{빗변}}\)
는 이렇게 표현해야 값은 맞지만, 각도가 \(B\)에서 \(A\)로 바뀌면서, 마치 정의가 달라지는 묘한 상황에 놓이게 됩니다.
물론, 상황에 따라, 어디가 밑변이 되는지 설명하는 것이, 위에서 소개한 보통 사용되는 밑변의 의미와 달라지기 때문에, 더 큰 혼란을 일으킬 수 있습니다. 왜냐하면, (다른 나라에서도) 삼각형에서 소개하는 그림들은 밑변(base)이 항상 밑에 그려지기 때문입니다. 다른 나라에서 위치에 따라, BASE가 달라지는지 알려 주세요!!
따라서, 가능한 표현을 사용하고 싶을 때에는 정확한 용어를 사용하는 것이 바람직합니다. 예를 들어, 각 \(B\)에 대한 변의 이름은 아래와 같습니다:
이제 각도가 바뀌어서 각 \(A\)에 대한 변의 이름은 아래와 같이 다르게 쓸 수 있습니다.
보통, 삼각형에서 어떤 각이 주어지면, 그의 마주 보는 변은 대변(opposite)이라고 불립니다. 이 용어는 이미 저학년에서 알려진 용어이기 때문에 충분히 받아들여질 것으로 보입니다.
대변이라는 용어는 각도가 정해져야 결정이 됩니다. 따라서, 각도가 바뀌면, 당연하게도 대변의 위치가 바뀝니다. 이전에서 사용한 밑변이라는 용어는 밑에 있는 변이기 때문에, 그림을 그렸을 때, 이미 그 용어는 결정되어 있다고 생각하는 것이 더 바람직해 보입니다. 만약 저학년에서 다르게 가르치고 있다면 알려주세요!!
그리고, 이제 남아 있는 하나의 변은 인접변(adjacent)이라고 불립니다. 이제 삼각비의 정의는 그의 각도에 상관없이 항상 일정하게 받아들여질 수 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \sin \mathrm B= \frac{\mathrm{대변}}{\mathrm{빗변}}, \cos \mathrm B= \frac{\mathrm{인접변}}{\mathrm{빗변}}\)
\(\quad\)\(\displaystyle \sin \mathrm A= \frac{\mathrm{대변}}{\mathrm{빗변}}, \cos \mathrm A= \frac{\mathrm{인접변}}{\mathrm{빗변}}\)
삼각비는 나중에 일반각이 소개되면서, 삼각함수와 깊은 연관성을 가집니다. 즉, 삼각비로 값은 결정되지만, 90 이상의 경우에 대해 그의 부호가 양수가 아닌 경우를 추가적으로 정의해서 삼각함수라고 합니다. 게다가, 삼각비(삼각법)과 삼각함수라는 용어는 혼용되어 사용될 수 있습니다.
응용예제
응용예제1
삼각형 \(\mathrm{ABE}\)에서 \(\overline{\mathrm{AE}}=2\), \(\overline{\mathrm{BE}}=6\)이다. 선분 \(\mathrm{BE}\)를 3등분한 점을 각각 \(\mathrm{C,D}\)라 할 때, \(\sin(y-x)\)의 값은?
응용예제2
그림과 같이 \(\overline{\rm{AB}}=5\), \(\overline{\rm{AC}}=2\sqrt{5}\)인 삼각형 \(\rm{ABC}\)의 꼭짓점 \(\rm A\)에서 선분 \(\rm{BC}\)에 내린 수선의 발을 \(\rm D\)라 하자.
선분 \(\rm{AC}\)를 \(3:1\)로 내분하는 점 \(\rm E\)에 대하여 \(\overline{\rm{EC}}=\sqrt{5}\)이다. \(\angle\rm{ABD}=\alpha\), \(\angle\rm{DCE}=\beta\)라 할 때, \(\cos(\alpha-\beta)\)의 값은? [4점] [2018학년도 수능 가형 14번]
