(고등학교) 지수함수와 로그함수의 미분

지수함수와 로그함수에서 자주 사용하는 기본 함수에 대한 도함수를 미리 구해 놓고 공식처럼 테이블에서 읽어서 사용하고자 합니다.

지수함수의 도함수

밑수가 1이 아닌 양수를 갖는, 지수함수 $y=a^x$에 대해, 그의 도함수는 도함수의 정의에 따라

$$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^x(a^h-1)}{h}\\ & =a^x\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}\\ & =a^x\ln a\end{array}$

특히 $a=e$, 즉 $y=e^x$이면, 도함수 $y^{\prime }=e^x$입니다. 함수와 도함수가 같은 함수로써, 증명은 위의 증명 식에서 $a$를 $e$로 바꿈으로써 끝납니다. 이때, 무리수 e와 자연로그에서 구한 결과를 이용합니다.

지수에 해당하는 부분이 다른 함수로 주어질 경우에 대해, 합성함수의 도함수를 적용해서

• 함수 $y=e^{\{f(x)\}}$의 도함수는 $y^{\prime }=e^{\{f(x)\}}{f}^{\prime }(x)$입니다.
• 함수 $y=a^{\{f(x)\}}$의 도함수는 $y^{\prime }=a^{\{f(x)\}}{f}^{\prime }(x)\ln a$입니다.

로그함수의 도함수

밑수가 1이 아닌 양수를 갖는, 로그함수 $y={\log }_{a}x$에 대해, 그의 도함수는 도함수의 정의에 따라

$$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\log }_a(x+h)-{\log }_{a}x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\log }_a(1+\frac{h}{x})}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{x\ln a}\frac{\ln (1+\frac{h}{x})}{\frac{h}{x}}\\ & =\frac{1}{x\ln a}\end{array}$

여기서, $a=e$, 즉 $y=\ln x$이면, 도함수 $y^{\prime }=\frac{1}{x}$입니다. 증명은 위의 증명 식에서 $a$를 $e$로 바꿈으로써 끝납니다. 이때, 무리수 e와 자연로그에서 구한 결과를 이용합니다.

로그에 해당하는 부분이 다른 함수로 주어질 경우에 대해, 합성함수의 도함수를 적용해서

• 함수 $y=\ln f(x)$의 도함수는 ${\displaystyle y^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}$입니다.
• 함수 $y={\log }_{a}f(x)$의 도함수는 ${\displaystyle y^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)\ln a}}$입니다.