(고등학교) 무리수 e와 자연로그

등비수열의 극한에서, 초항이 1일 때, 그의 공비가 1보다 큰 숫자는 발산하고, 공비가 1인 숫자는 1로 수렴하고, 1보다 작은 양수는 0으로 수렴한다는 것을 배웠습니다. 또한, 함수의 극한에서, 특별한 경우가 아닌 경우에 대해,

$$${\displaystyle \underset{x\to 1+0}{lim}x=\underset{x\to 1-0}{lim}x=1\cdots (1)}$

이때, 두 사실로부터 의문이 생깁니다.

공비가 1보다 조금이라도 유한하게 큰 숫자를 무수히 많이 곱하면, 그 값은 무한대로 발산하는데, 1에 접근하는 숫자가 유한하게 큰 숫자가 아니라, 1보다 무한소만큼 큰 숫자에 대해, 이것을 무수히 많이 곱하면, 과연 그의 극한은, 등비수열처럼 무한대로 발산할지, 아니면 위의 식 (1)에서 산술적으로 1에 접근하므로, 1을 무수히 많이 곱하는 경우가 되어 1로 접근할지, 또는 새로운 결과가 나올지 의문이 듭니다.

이 의문에 대한 답이 무리수 $e$입니다.

무리수 e

전자 계산기 또는 컴퓨터가 발명되기 전에는 직접 손으로 계산을 해서 그 결과를 얻었습니다. 1보다 무한소만큼 큰 숫자를 무수히 많이 곱하는 경우에 대해, ${\displaystyle {(1+x)}^{\frac{1}{x}}}$의 수식을 사용해서, 점진적으로 숫자는 작아지고 지수는 크게 함으로써, 그의 경향을 파악할 수 있습니다. 즉,

$$$x=1$일 때, $(1+1{)}^1=2$

$$$x=0.1$일 때, $(1+0.1{)}^{10}=2.59374\cdots$

$$$x=0.01$일 때, $(1+0.01{)}^{100}=2.70481\cdots$

$$$x=0.001$일 때, $(1+0.001{)}^{1000}=2.71692\cdots$

$$$⋮$

이 과정을 계속하면, 어떤 숫자에 접근하는데, 그 숫자는 전에 알려지지 않은 무리수입니다. 오일러 이전에 이 숫자는 알려져 있었지만, 오일러가 자연로그의 밑을 이 숫자로 사용하면서 처음 $e$를 사용했고, 그 이후로 이것이 표준으로 받아들여졌습니다.

무리수 $e$는 다음과 같이 정의합니다.

$$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n=e}$

여기서 $e=2.7182\cdots$의 무리수입니다. 

무리수 $e$의 정의는 부호가 맞아야 합니다. 즉, 1의 무한소만큼 큰 숫자를 무한히 많이 곱하는 경우로써, 1의 무한소만큼 작은 숫자를 무한히 많이 곱하는 것은 $e$로 수렴하지 않습니다. 이 결과는

$$${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}(1-x{)}^{\frac{1}{x}}& =\underset{x\to 0}{lim}(1-x{)}^{(-\frac{1}{x})\cdot (-1)}\\ & =\underset{t\to 0}{lim}{\{(1+t{)}^{\frac{1}{t}}\}}^{(-1)}\\ & =e^{-1}\end{array}}$

따라서, 무리수 $e$는 $(1+0{)}^{\mathrm{\infty }}$, $(1-0{)}^{-\mathrm{\infty }}$와 같은 꼴이고, $(1+\mathrm{△}{)}^{◻}$와 같이 표시했을 때, $\mathrm{△}\times ◻=1$와 같이 서로 역수 관계여야 합니다.

한편, 주어진 식이 무리수 $e$의 꼴이고, 상수가 곱해져 있는 경우에서,

$$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{(1+2x)}^{\frac{1}{3x}}=\underset{x\to 0}{lim}{(1+2x)}^{\frac{1}{2x}\cdot \frac{2}{3}}=e^{\frac{2}{3}}}$

따라서, 주어진 식이 무리수 $e$의 꼴이고, 상수가 곱해져 있는 경우에서, 다음과 같이 간단히 계산할 수 있습니다.

$$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(1+\mathrm{♠}{)}^{\mathrm{♣}}=e^{\mathrm{♠}\times \mathrm{♣}}}$

자연로그

무리수 $e$를 밑으로 하는 로그 ${\log }_{e}x$를 $x$의 자연로그라고 하며, 기호로 $\ln x$로 나타내기도 합니다.
자연로그는 로그의 일종이므로, 로그의 성질을 따릅니다.

e를 이용한 지수함수, 로그함수의 극한

무리수 $e$의 정의에 대해, 양쪽 변을 밑수 $e$를 취한 후에, 그의 극한

$$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\ln (1+x{)}^{\frac{1}{x}}=\ln e}$

에 대해, 식을 조작하면,

$$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)}{x}=1\cdots (2)}$

식 (2)에서 로그의 밑이 $e$가 아니라, 다른 상수일 경우에 대해, 밑 변환의 성질을 적용한 후, 식 (2)의 결과를 이용하면,

$$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{{\log }_a(1+x)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{\ln (1+x)}{x}=\frac{1}{\ln a}\cdots (3)}$

식 (2), (3)의 왼쪽 변의 극한은 부정형 $\frac{0}{0}$꼴이므로, 로피탈의 규칙을 적용해서 값을 구할 수도 있습니다.

식 (2)는 $e$의 정의식 양쪽 변에 로그를 취함으로써, 역수 관계에 있던 지수가 곱해지면서, 1에 더해지는 문자가 분모에 위치합니다. 이때, 역수 관계 식에서 실수배가 이루어지면,

$$${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+2x)}{3x}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+2x)}{2x}\cdot \frac{2x}{3x}\\ & =\underset{t\to 0}{lim}\frac{\ln (1+t)}{t}\cdot \frac{2}{3}\\ & =\frac{2}{3}\end{array}}$

따라서, $e$의 정의에서와 마찬가지로, 기본 꼴을 만족하는 식에서, 다음과 같이 간단히 계산할 수 있습니다:

$$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+\mathrm{♠})}{\mathrm{♣}}=\frac{\mathrm{♠}}{\mathrm{♣}}}$

$$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{{\log }_a(1+\mathrm{♠})}{\mathrm{♣}}=\frac{\mathrm{♠}}{\mathrm{♣}}\cdot \frac{1}{\ln a}}$

한편, $y=\ln x$의 역함수는 $y=e^x$이고, 이것과 관련하여, 위의 극한에 해당하는 식은 다음과 같습니다.

$$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1\cdots (4)}$

식 (4)에서, $e^x-1=t$로 두면, $x=\ln (1+t)$이므로, 식 (4)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$${\displaystyle \underset{t\to 0}{lim}\frac{t}{\ln (1+t)}=1}$

이것에서, 왼쪽 변은 식 (2)의 왼쪽 변의 역수이므로, 그의 결과, 즉 오른쪽 변도 식 (2)의 오른쪽 변의 역수, 1이어야 합니다. 또는, 같은 의미의 다른 표현으로, 식 (2)의 결과를 대입해서,

$$${\displaystyle \underset{t\to 0}{lim}\frac{1}{\ln (1+t{)}^{\frac{1}{t}}}=1}$

마찬가지로 밑이 $e$가 아닌 일반적인 경우에 대해,

$$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{a^x-1}{x}=\ln a\cdots (5)}$

식 (5)에서, $a^x-1=t$로 치환하면, $x={\log }_a(1+t)$이므로, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{t\to 0}{lim}\frac{t}{{\log }_a(1+t)}& =\underset{t\to 0}{lim}\frac{(\ln a)t}{\ln (1+t)}\\ & =\ln a\end{array}}$

식 (4), (5)의 왼쪽 변의 극한은 부정형 $\frac{0}{0}$꼴이므로, 로피탈의 규칙을 적용해서 값을 구할 수도 있습니다.

한편, 식 (4), (5)에서, 변수의 실수배에 대한 극한

$$${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{2x}-1}{3x}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot \frac{2x}{3x}\\ & =\underset{t\to 0}{lim}\frac{e^t-1}{t}\cdot \frac{2}{3}\\ & =\frac{2}{3}\end{array}}$

따라서, $e$의 정의, 또는 식 (2),(3)에서와 마찬가지로, 기본 꼴을 만족하는 식에서, 다음과 같이 간단히 계산할 수 있습니다:

$$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{\mathrm{♠}}-1}{\mathrm{♣}}=\frac{\mathrm{♠}}{\mathrm{♣}}}$

$$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{a^{\mathrm{♠}}-1}{\mathrm{♣}}=\frac{\mathrm{♠}}{\mathrm{♣}}\cdot \ln a}$