등비수열의 극한에서, 초항이 1일 때, 그의 공비가 1보다 큰 숫자는 발산하고, 공비가 1인 숫자는 1로 수렴하고, 1보다 작은 양수는 0으로 수렴한다는 것을 배웠습니다. 또한, 함수의 극한에서, 특별한 경우가 아닌 경우에 대해,
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 1+0} x = \lim_{x \to 1-0} x = 1\cdots(1)\)
이때, 두 사실로부터 의문이 생깁니다.
공비가 1보다 조금이라도 유한하게 큰 숫자를 무수히 많이 곱하면, 그 값은 무한대로 발산하는데, 1에 접근하는 숫자가 유한하게 큰 숫자가 아니라, 1보다 무한소만큼 큰 숫자에 대해, 이것을 무수히 많이 곱하면, 과연 그의 극한은, 등비수열처럼 무한대로 발산할지, 아니면 위의 식 (1)에서 산술적으로 1에 접근하므로, 1을 무수히 많이 곱하는 경우가 되어 1로 접근할지, 또는 새로운 결과가 나올지 의문이 듭니다.
이 의문에 대한 답이 무리수 \(e\)입니다.
무리수 e
전자 계산기 또는 컴퓨터가 발명되기 전에는 직접 손으로 계산을 해서 그 결과를 얻었습니다. 1보다 무한소만큼 큰 숫자를 무수히 많이 곱하는 경우에 대해, \(\displaystyle \left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}\)의 수식을 사용해서, 점진적으로 숫자는 작아지고 지수는 크게 함으로써, 그의 경향을 파악할 수 있습니다. 즉,
\(\quad\)\(x=1\)일 때, \((1+1)^1=2\)
\(\quad\)\(x=0.1\)일 때, \((1+0.1)^{10}=2.59374\cdots\)
\(\quad\)\(x=0.01\)일 때, \((1+0.01)^{100}=2.70481\cdots\)
\(\quad\)\(x=0.001\)일 때, \((1+0.001)^{1000}=2.71692\cdots\)
\(\quad\)\(\quad\vdots\)
이 과정을 계속하면, 어떤 숫자에 접근하는데, 그 숫자는 전에 알려지지 않은 무리수입니다. 오일러 이전에 이 숫자는 알려져 있었지만, 오일러가 자연로그의 밑을 이 숫자로 사용하면서 처음 \(e\)를 사용했고, 그 이후로 이것이 표준으로 받아들여졌습니다.
무리수 \(e\)는 다음과 같이 정의합니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e\)
여기서 \(e=2.7182\cdots\)의 무리수입니다.
무리수 \(e\)의 정의는 부호가 맞아야 합니다. 즉, 1의 무한소만큼 큰 숫자를 무한히 많이 곱하는 경우로써, 1의 무한소만큼 작은 숫자를 무한히 많이 곱하는 것은 \(e\)로 수렴하지 않습니다. 이 결과는
\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
\lim_{x \to 0} (1-x)^{\frac{1}{x}} & =\lim_{x \to 0} (1-x)^{\left(-\frac{1}{x} \right)\cdot (-1)} \\
& = \lim_{t \to 0} \left\{(1+t)^\frac{1}{t} \right\}^{(-1)} \\
& = e^{-1}
\end{align}\)
따라서, 무리수 \(e\)는 \((1+0)^{\infty}\), \((1-0)^{-\infty}\)와 같은 꼴이고, \((1+\triangle)^{\square}\)와 같이 표시했을 때, \(\triangle\times\square=1\)와 같이 서로 역수 관계여야 합니다.
한편, 주어진 식이 무리수 \(e\)의 꼴이고, 상수가 곱해져 있는 경우에서,
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\left(1+2x\right)^{\frac{1}{3x}}=\lim_{x \to 0}\left(1+2x\right)^{\frac{1}{2x} \cdot \frac{2}{3}} = e^{\frac{2}{3}}\)
따라서, 주어진 식이 무리수 \(e\)의 꼴이고, 상수가 곱해져 있는 경우에서, 다음과 같이 간단히 계산할 수 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}(1+\spadesuit)^{\clubsuit}=e^{\spadesuit \times \clubsuit}\)
자연로그
무리수 \(e\)를 밑으로 하는 로그 \(\log_{e}x\)를 \(x\)의 자연로그라고 하며, 기호로 \(\ln{x}\)로 나타내기도 합니다.
자연로그는 로그의 일종이므로, 로그의 성질을 따릅니다.
e를 이용한 지수함수, 로그함수의 극한
무리수 \(e\)의 정의에 대해, 양쪽 변을 밑수 \(e\)를 취한 후에, 그의 극한
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \ln (1+x)^{\frac{1}{x}} = \ln e\)
에 대해, 식을 조작하면,
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\cdots(2)\)
식 (2)에서 로그의 밑이 \(e\)가 아니라, 다른 상수일 경우에 대해, 밑 변환의 성질을 적용한 후, 식 (2)의 결과를 이용하면,
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\log_a (1+x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{\ln (1+x)}{x}=\frac{1}{\ln a}\cdots(3)\)
식 (2), (3)의 왼쪽 변의 극한은 부정형 \(\frac00\)꼴이므로, 로피탈의 규칙을 적용해서 값을 구할 수도 있습니다.
식 (2)는 \(e\)의 정의식 양쪽 변에 로그를 취함으로써, 역수 관계에 있던 지수가 곱해지면서, 1에 더해지는 문자가 분모에 위치합니다. 이때, 역수 관계 식에서 실수배가 이루어지면,
\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
\lim_{x \to 0}\frac{\ln (1+2x)}{3x} & = \lim_{x \to 0}\frac{\ln (1+2x)}{2x}\cdot \frac{2x}{3x} \\
& = \lim_{t \to 0}\frac{\ln (1+t)}{t}\cdot \frac{2}{3} \\
& = \frac{2}{3} \\
\end{align}\)
따라서, \(e\)의 정의에서와 마찬가지로, 기본 꼴을 만족하는 식에서, 다음과 같이 간단히 계산할 수 있습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+\spadesuit)}{\clubsuit}=\frac{\spadesuit}{\clubsuit}\)
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\log_a (1+\spadesuit)}{\clubsuit}=\frac{\spadesuit}{\clubsuit}\cdot \frac{1}{\ln a}\)
한편, \(y=\ln x\)의 역함수는 \(y=e^x\)이고, 이것과 관련하여, 위의 극한에 해당하는 식은 다음과 같습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\cdots(4)\)
식 (4)에서, \(e^x-1=t\)로 두면, \(x=\ln(1+t)\)이므로, 식 (4)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{t}{\ln(1+t)}=1\)
이것에서, 왼쪽 변은 식 (2)의 왼쪽 변의 역수이므로, 그의 결과, 즉 오른쪽 변도 식 (2)의 오른쪽 변의 역수, 1이어야 합니다. 또는, 같은 의미의 다른 표현으로, 식 (2)의 결과를 대입해서,
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{1}{\ln(1+t)^{\frac{1}{t}}}=1\)
마찬가지로 밑이 \(e\)가 아닌 일반적인 경우에 대해,
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln{a}\cdots(5)\)
식 (5)에서, \(a^x-1=t\)로 치환하면, \(x=\log_a (1+t)\)이므로, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
\lim_{t \to 0}\frac{t}{\log_{a}{(1+t)}} & = \lim_{t \to 0}\frac{\left(\ln{a}\right)t}{\ln{(1+t)}} \\
& = \ln{a}
\end{align}\)
식 (4), (5)의 왼쪽 변의 극한은 부정형 \(\frac00\)꼴이므로, 로피탈의 규칙을 적용해서 값을 구할 수도 있습니다.
한편, 식 (4), (5)에서, 변수의 실수배에 대한 극한
\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
\lim_{x \to 0}\frac{e^{2x}-1}{3x} & = \lim_{x \to 0}\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot \frac{2x}{3x} \\
& = \lim_{t \to 0}\frac{e^t-1}{t}\cdot \frac{2}{3} \\
& = \frac{2}{3} \\
\end{align}\)
따라서, \(e\)의 정의, 또는 식 (2),(3)에서와 마찬가지로, 기본 꼴을 만족하는 식에서, 다음과 같이 간단히 계산할 수 있습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{e^{\spadesuit}-1}{\clubsuit}=\frac{\spadesuit}{\clubsuit}\)
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{a^{\spadesuit}-1}{\clubsuit}=\frac{\spadesuit}{\clubsuit}\cdot \ln{a}\)
