이전 과정에서, 삼각비는 직각삼각형 내부에서 \(\sin, \cos, \tan\)를 정의합니다. 이런 환경에서, 각도는 \(0^{\circ} < \theta \le 90^{\circ}\)으로 표현되므로, 삼각비는 90° 보다 큰 각도에 대해 값을 소개하지 않습니다. 게다가, 일부 교재에서는 삼각비에 대한 정의를 혼동하기 쉬운 방법으로 소개하고 있어, 보다 일반적인 정의의 필요성을 느낍니다 (삼각비를 참조하십시오.)
게다가, 일반각과 호도법을 배운 후로는 각도가 양의 값뿐만 아니라 음의 값도 가지기 때문에, 주어진 임의의 각도에 대해, 삼각비의 개념에 위배되지 않으면서 확장된 새로운 함수에 대한 정의의 필요성을 역시 느낍니다.
삼각함수의 정의
좌표평면에서 \(x\)축의 양의 방향을 시초선, 일반각 \(\theta\)의 동경과 반지름의 길이가 \(r\)인 원 \(O\)의 교점을 \(P(x, y)\)라고 놓습니다.
이때, \(\displaystyle \frac{y}{r}, \frac{x}{r}, \frac{y}{x}\)의 값은 \(\theta\)의 값에 따라 각각 유일하게 결정되므로, \(\theta\)에 대한 함수입니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \theta \to \frac{y}{r},\; \theta \to \frac{x}{r},\; \theta \to \frac{y}{x}\)
이들을 각각 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수라 하고, 다음과 같이 각각 나타냅니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \sin\theta = \frac{y}{r},\; \cos\theta = \frac{x}{r},\; \tan\theta = \frac{y}{x}\)
또한, \(\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta\)의 역수로 정의되는 함수를 각각 코시컨트함수, 시컨트함수, 코탄젠트함수라 하고, 이것을 기호로 각각 다음과 같이 나타냅니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \csc\theta = \frac{r}{y},\; \sec\theta = \frac{y}{x},\; \cot\theta = \frac{x}{y}\)
위의 sin, cos, tan에 역수를 의미하는 co를 붙이고, s의 문자를 sec로 바꾸어서 정의를 만듭니다. 코시컨트는 cosec를 사용하기도 하고, 코사인은 cocosec로 표기되어서 coco를 제거하고 표기를 한다고 생각하시면 기억하시기 편할 것입니다.
물론, 위의 정의식에서 반지름은 항상 양수이고, 식에 직접 표시하지는 않았지만, 분모가 0이 될 수는 없습니다. 또한, 반지름의 길이가 변하더라도, 그들 사이의 비는 바뀌지 않습니다. 따라서, 계산이 가장 편하도록 반지름의 길이를 임의의 양수로 결정할 수 있습니다.
삼각비와의 관계
삼각비는 직각삼각형에서 정의되므로, 동경이 90도 보다 작은 상황에서는, 삼각함수의 정의와 동일한 결과를 낳으려면, 교점에서 \(x\)-축으로 수선의 발을 내려서 직각삼각형을 그려야 합니다.
반면에, 90도가 넘거나, 음의 각도는 삼각비와 전혀 관계가 없을까요?
먼저, 임의의 동경의 위치는 한 바퀴에 해당하는 360°보다 작은 각도를 형성합니다.
이때, 제 1사분면에 해당하는 0°와 90° 사이의 삼각 함수(또는 삼각비)의 값을 알면, 제 2사분면에 해당하는 90°와 180° 사이의 동경은 제 1사분면의 동경의 \(y\)-축 대칭으로 그의 좌표를 알 수 있습니다. 나아가서, 제 3사분면은 원점 대칭, 제 4사분면은 \(x\)-축 대칭으로 그의 좌표를 알 수 있습니다.
이것은 제 1사분면의 삼각 함수의 값을 구할 수 있으면, 모든 동경의 위치에 대한 삼각 함수의 값을 평가할 수 있음을 의미합니다.
게다가, 각 사분면의 동경 위치에서 \(x\)-축으로 수선의 발을 내려서 만들어지는 직각 삼각형에서 삼각비는 그의 부호를 제외하고 삼각 함수의 값과 동일합니다.
따라서, 삼각 함수에서 처럼, 좌표를 구하지 않고, 사분면의 위치와 삼각비로 활용해서 삼각 함수의 값을 평가할 수 있습니다.
예를 들어, 120°에 대한 삼각 함수의 값은 반지름 2의 원이라면 동경이 위치한 원주 위의 좌표는 \(\left(-1, \sqrt3\right)\)이므로, 각각,
\(\quad\)\(\displaystyle \sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2},\; \cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}\)
삼각비를 활용하는 것에서, 반지름은 항상 양수이기 때문에, 삼각 함수에서 부호는 결국 좌표의 부호를 따릅니다. 그래서, 제 2사분면에서, \(y\)-좌표는 양수이고, \(x\)-좌표는 음수이기 때문에, 사인은 양수이고, 코사인은 음수입니다.
이때, 그의 크기는 \(x\)축에 수선의 발을 내린 직각 삼각형으로 형성되는 각도는 기하학적으로 60°(=180°–120°)이고, 변의 길이의 구성은 빗변이 2이고, 대변은 \(\sqrt{3}\), 인접변은 1입니다.
따라서, 삼각비의 정의에 따라, 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} = + \frac{\mathrm{대변}}{\mathrm{빗변}}\)
\(\quad\)\(\displaystyle \cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2} = –\frac{\mathrm{인접변}}{\mathrm{빗변}}\)
비록 각도의 크기가 360°를 넘거나, 또는 음의 값일지라도, 동경의 위치는 항상 한 바퀴 안에 위치하므로, 위와 동일한 방법으로 삼각 함수의 값을 평가할 수 있습니다.
삼각 함수의 값의 평가
삼각함수에서, 값은 좌표를 알고 있으면, 그의 좌표로 직접 평가할 수 있습니다.
만약 그렇지 않은 경우라면, 좌표를, 예를 들어, 직선과 원의 교점으로 구해서, 평가할 수 있습니다. 그러나, 이 과정은 연립방정식의 해를 구하는 과정이므로, 계산에서 상대적으로 복잡해 보일 수 있습니다.
반면에, 위의 #삼각비와의 관계에서 소개한 것처럼, 사분면의 위치에 따라 그의 부호를 정하고, \(x\)-축으로 수선의 발을 내린 직각 삼각형에서 삼각비를 구해서, 삼각함수의 값을 평가하는 것이 더 편합니다.
한편, 사분면에 따른 좌표의 부호는 이미 알려져 있기 때문에, 삼각 함수의 부호는 다음과 같이 결정될 수 있습니다.
| 삼각함수 | 1사분면 | 2사분면 | 3사분면 | 4사분면 |
| \(\sin\theta\) | \(+\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(\cos\theta\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(\tan\theta\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| 양의 부호 | 모두(All) | 사인(Sine) | 탄젠트(Tangent) | 코사인(Cosine) |
나머지 3개의 삼각 함수는 위의 삼각함수의 역수이므로, 역수는 원래의 값과 동일한 부호를 가집니다.
그리고, 그의 크기의 평가를 위해,
먼저, 동경과 원주가 만나는 좌표에서 \(x\)-축으로 수선의 발을 내린 직각삼각형을 만듭니다.
그런 다음, \(x\)-축과 동경 사이의 예각에 대한 삼각비가 삼각함수의 크기입니다.
보통, 처음에는 빗변, 대변, 인접변을 머릿속에 그리는 것이 쉽지 않기 때문에, 크기를 정할 때에는 직각 삼각형을 그려서 삼각함수의 값을 평가하는 것이 안전합니다.
이때, 주어진 각도에 대한 동경이 \(x\)-축과 이루는 예각은 길이비가 알려진 특수한 각도, 예를 들어, 30°, 45°, 60°중에 하나일 것입니다.
그 외 축 위의 점은 반지름 1인 원에 대한 좌표로 쉽게 삼각함수의 값을 평가할 수 있습니다.
예를 들어, –240°는 (시계 방향으로) –180°를 이동한 후에 (시계 방향으로) –60° 이동하므로, \(x\)-축과 이루는 예각은 60°입니다. 그리고, 제 2사분면의 각이기 때문에, 사인, 코사인, 탄젠트의 부호는, 각각, \(+, -, -\)입니다. 따라서, 그 값은
\(\quad\)\(\displaystyle \sin(-240^\circ)=+\frac{\sqrt{3}}{2},\;\cos(-240^\circ)=-\frac{1}{2},\;\tan(-240^\circ)=-\sqrt{3}\)
