(고등학교) 삼각함수의 변환

삼각함수에서, 제 1사분면의 삼각비를 알면, 제 2, 3, 4사분면의 삼각비는, 각각, $y$-축 대칭, 원점 대칭, $x$-축 대칭에 해당하므로, 사분면의 위치에 따른 부호와 제 1사분면의 크기로 해당 사분면의 삼각 함수의 값을 평가할 수 있었습니다.

삼각함수의 그래프에서, 사인 함수와 코사인 함수의 주기는 $2\pi$이고, 탄젠트 함수의 주기는 $\pi$이고, 각 함수는, 순서대로, 홀수함수, 짝수함수, 홀수함수입니다.

이 사실로부터 특정 형태를 갖는 삼각함수는 제 1사분면의 각(또는 비록 1사분면의 각이 아닐지라도 하나의 문자)에 대한 삼각 함수의 모양으로 바꿀 수 있습니다.

이 기사에서, $n$은 정수입니다.

이 기사에서, 변환하는 종류가 많아서, 기억하기 힘든 분들은 #공통적인 변환 방법으로 가셔서 기계적으로 변환해도 상관없습니다. 게다가, 삼각함수의 덧셈정리를 배우면, 덧셈정리를 적용해서 결과 식을 얻을 수도 있습니다.

주기 관련

주기 표현을 갖는 삼각함수는 다음과 같이 간단히 바꿀 수 있습니다. 주기는 평행이동의 개념이므로, 주기만큼 평행이동하면, 원래 함수와 겹칩니다. 

$$$\sin (2n\pi +\theta )=\sin \theta$

$$$\cos (2n\pi +\theta )=\cos \theta$

$$$\tan (n\pi +\theta )=\tan \theta$

당연하게도, 주기의 배수가 되는 모양도 같은 함수와 겹칩니다. 즉,

$$$\sin (4n\pi +\theta )=\sin \theta$

$$$\cos (6n\pi +\theta )=\cos \theta$

$$$\tan (2n\pi +\theta )=\tan \theta$

대칭 관련

삼각 함수에서, 사분면의 위치에 따른, 부호는 다음과 같이 바뀝니다.

삼각함수	1사분면	2사분면	3사분면	4사분면
$\sin \theta$	$+$	$+$	$-$	$-$
$\cos \theta$	$+$	$-$	$-$	$+$
$\tan \theta$	$+$	$-$	$+$	$-$
양의 부호	모두(All)	사인(Sine)	탄젠트(Tangent)	코사인(Cosine)

$-\theta$의 삼각 함수

제 1사분면의 각은 $x$-축 대칭 후에, 제 4사분면으로 이동하고, 그리고 반대 방향으로 대칭 이동할 수 있고, 반면에 제 2사분면의 각은 제 3사분면, 그리고 반대 방향으로 대칭 이동합니다.

이때, 코사인 함수의 부호는 바뀌지 않고, 사인와 탄젠트 함수는 서로 부호가 반대가 됩니다. 따라서,

$$$\sin (-\theta )=-\sin \theta$

$$$\cos (-\theta )=\cos \theta$

$$$\tan (-\theta )=-\tan \theta$

또는, 코사인 함수의 그래프가 짝수함수이고, 사인, 탄젠트 함수의 그래프는 원점 대칭인 성질로부터 같은 결과가 나옴을 알 수 있습니다.

$\pi +\theta$의 삼각 함수

원래 각에서 원점 대칭의 각에 대한 삼각함수입니다. 

이때, 위의 테이블에서 보면, 탄젠트의 부호는 바뀌지 않고, 사인과 코사인의 부호는 바뀝니다. 따라서,

$$$\sin (\pi +\theta )=-\sin \theta$

$$$\cos (\pi +\theta )=-\cos \theta$

$$$\tan (\pi +\theta )=\tan \theta$

$\pi -\theta$의 삼각 함수

원래 각에서 $y$ 대칭의 각에 대한 삼각함수입니다. 

이때, 위의 테이블에서 보면, 사인의 부호는 바뀌지 않고, 코사인과 탄젠트의 부호는 바뀝니다. 따라서,

$$$\sin (\pi -\theta )=\sin \theta$

$$$\cos (\pi -\theta )=-\cos \theta$

$$$\tan (\pi -\theta )=-\tan \theta$

그 외

${\displaystyle \frac{\pi }{2}+\theta }$의 삼각 함수

이 경우는 사분면을 1씩 더해주는 위치로 이동하는데, $x,y$-좌표의 크기가 바뀝니다. 합동 삼각형을 그려서 생각해 보십시오!!

따라서, 좌표가 바뀌므로, 원래 각의 사인이 코사인으로 코사인이 사인으로, 탄젠트는 분모, 분자의 위치가 바뀌므로, 코탄젠트가 됩니다.

그리고, 부호에 대해, 예를 들어, 1사분면에서 2사분면으로 이동하면, 1사분면의 코사인이 양수이므로, 2사분면의 사인의 부호와 맞습니다. 2사분면에서 3사분면으로 이동하면, 2사분면의 코사인이 음수이고, 3사분면의 코사인도 음수이므로 부호가 맞습니다. 나머지도 전부 부호가 맞습니다.

$$${\displaystyle \sin (\theta +\frac{\pi }{2})=\cos \theta }$

반면에 코사인은 1사분면에서 2사분면으로 이동하면, 1사분면의 사인은 양수이지만, 2사분면의 코사인은 음수이기 때문에, 부호가 달라져서, 앞에 –1을 곱해야 같은 부호가 됩니다. 다른 사분면에서도 동일하고, 탄젠트에서도 동일합니다.

$$${\displaystyle \cos (\theta +\frac{\pi }{2})=-\sin \theta }$

$$${\displaystyle \tan (\theta +\frac{\pi }{2})=-\cot \theta }$

${\displaystyle \frac{\pi }{2}-\theta }$의 삼각 함수

원래 각에 $x$-축 대칭한 후에, 1사분면씩 더 이동하면, $x,y$-좌표의 크기가 바뀝니다. 합동 삼각형을 그려서 생각해 보십시오!!

이때, 부호는 바뀌지 않는 것을 알 수 있습니다. 예를 들어, 2사분면은 4사분면으로 이동하는데, 2사분면의 사인의 부호는 양수이고, 4사분면의 코사인의 부호도 양수입니다. 그리고 2사분면의 코사인의 부호는 음수이고 4사분면의 사인의 부호도 음수입니다.

$$${\displaystyle \sin (\theta -\frac{\pi }{2})=\cos \theta }$

$$${\displaystyle \cos (\theta -\frac{\pi }{2})=\sin \theta }$

$$${\displaystyle \tan (\theta -\frac{\pi }{2})=\cot \theta }$

이외에도 ${\displaystyle \frac{3\pi }{2}\pm \theta }$의 삼각 함수가 더 있습니다.

공통적인 변환 방법

이 변환에 대해, 단위 원에 동경을 그려서, 좌표가 어떻게 이동하는지 여부를 보면서 변환 공식을 기억하는 것도 한 방법입니다. 

어쨌든, 변한에는 크게 2가지 종류가 존재합니다.

하나는 좌표의 크기의 위치가 바뀌지 않는 것, 다른 하나는 좌표의 크기의 위치가 바뀌는 것입니다. 좌표의 크기의 위치가 바뀌지 않으면, 함수 자체가 바뀌지는 않습니다. 반면에 좌표의 크기의 위치가 바뀌면, 함수가 다른 함수로 바뀝니다.

둘 다에서, 부호를 판정하는 과정이 별도로 필요합니다.

첫 번째, $n\pi +\theta$ 계열은 함수가 바뀌지 않습니다. 그리고 부호의 판정하는 과정이 필요한데, 이때, $\theta$는 임의의 각도로써, 예각일 필요는 없습니다. 부호 판정할 때, 이 값은 고려하지 않습니다.

예를 들어, $\sin (-\theta )$는 제 4사분면의 각이고, 해당 사분면에서 사인은 음수입니다.

$$$\sin (-\theta )=-\sin \theta$

다른 예제로, $\cos (\pi -\theta )$는 $\pi$만큼 이동한 후에 $-$ 방향으로 예각만큼 이동한 것으로 생각해서, 제 2사분면 각인데, 해당 사분면에서 코사인은 음수입니다. 부호 판정할 때, $\theta$의 크기는 고려하지 않습니다.

$$$\cos (\pi -\theta )=-\cos \theta$

또 다른 예제로, $\tan (3\pi +\theta )$는 $3\pi$만큼 이동한 후에 $+$ 방향으로 예각만큼 이동한 것으로 생각해서, 제 3사분면 각인데, 해당 사분면에서 탄젠트는 양수입니다. 부호 판정할 때, $\theta$의 크기는 고려하지 않습니다.

$$$\tan (3\pi +\theta )=\tan \theta$

두 번째, $\frac{(2n+1)\pi }{2}+\theta$ 계열은 함수가 다음과 같이 바뀝니다.

$$$\sin \leftrightarrow \cos$

$$$\tan \leftrightarrow \cot$

그리고 부호를 판정할 때에는 처음 주어진 함수의 부호를 따릅니다.

예를 들어, $\sin (\frac{\pi }{2}+\theta )$는 함수가 $\cos$으로 바뀝니다. 그리고, $\frac{\pi }{2}$ 이동한 후에 $+$ 방향으로 이동으로 예각만큼 이동한 것으로 생각해서, 제 2사분면의 각인데, 해당 사분면에서 사인은 양수입니다. 부호 판정할 때, $\theta$의 크기는 고려하지 않습니다.

$$${\displaystyle \sin (\frac{\pi }{2}+\theta )=\cos \theta }$

다른 예제로, $\cos (\frac{3\pi }{2}-\theta )$는 함수가 $\sin$으로 바뀝니다. 그리고, $\frac{3\pi }{2}$ 이동한 후에 $-$ 방향으로 이동으로 예각만큼 이동한 것으로 생각해서, 제 3사분면의 각인데, 해당 사분면에서 코사인은 음수입니다. 부호 판정할 때, $\theta$의 크기는 고려하지 않습니다.

$$${\displaystyle \cos (\frac{3\pi }{2}-\theta )=-\sin \theta }$

또 다른 예제로, $\tan (\frac{3\pi }{2}+\theta )$는 함수가 $\cot$으로 바뀝니다. 그리고, $\frac{3\pi }{2}$ 이동한 후에 $+$ 방향으로 이동으로 예각만큼 이동한 것으로 생각해서, 제 4사분면의 각인데, 해당 사분면에서 탄젠트는 음수입니다. 부호 판정할 때, $\theta$의 크기는 고려하지 않습니다.

$$${\displaystyle \tan (\frac{3\pi }{2}+\theta )=-\cot \theta }$

그 외 코시컨트, 시컨트 함수는, 그의 역수를, 각각, 사인과 코사인으로 바꾸어서 변환할 수 있습니다.

삼각함수의 덧셈정리와 비교

위의 설명에서 제대로 이해가 되지 않는 부분은 크게 3가지가 있습니다.

• 왜 삼각함수 자체가 바뀌는가?
• 부호 판정할 때, 이전 삼각함수에 대한 사분면의 위치로 판단하는가?
• 부호 판정할 때, 왜 뒤의 각도는 예각으로 생각하는가? (또는 무시하는가?)

먼저, $n\pi +\theta$를 덧셈정리로 전개해 보십시오.

$$$\sin (n\pi +\theta )=\sin n\pi \cos \theta +\cos n\pi \sin \theta$

• 식은 오른쪽 변에서 뒤쪽의 항이 남는데, 사인이 사인으로 바뀌는 모양입니다.
• 그 부호는
  • $n$의 값이 짝수이면 +인데, 이것을 위에서는 1사분면으로 해석해서 사인의 부호가 +이기 때문에 결과도 +라고 변환했습니다.
  • $n$의 값이 홀수이면 −인데, 이것을 위에서는 3사분면으로 해석해서 사인의 부호가 −이기 때문에 결과도 −라고 변환했습니다.
• 이때, $\theta$는 어떤 값이라도, 양이든, 음이든, 예각이든, 둔각이든 상관없이, 항상 성립합니다. 즉, 부호 판정하고 무관합니다.

$$$$$\sin (\frac{(2n+1)\pi }{2}+\theta )=\sin \frac{(2n+1)\pi }{2}\cos \theta +\cos \frac{(2n+1)\pi }{2}\sin \theta$

• 식은 오른쪽 변에서 앞쪽의 항이 남는데, 사인이 코사인으로 바뀌는 모양입니다.
• 그 부호는
  • $n$의 값이 짝수이면 +인데, 이것을 위에서는 2사분면으로 해석해서 사인의 부호가 +이기 때문에 결과도 +라고 변환했습니다.
  • $n$의 값이 홀수이면 −인데, 이것을 위에서는 4사분면으로 해석해서 사인의 부호가 −이기 때문에 결과도 −라고 변환했습니다.
• 이때, $\theta$는 어떤 값이라도, 양이든, 음이든, 예각이든, 둔각이든 상관없이, 항상 성립합니다. 즉, 부호 판정하고 무관합니다.

다른 삼각함수 $\cos ,\tan$ 등도 같은 이유로 변환의 과정이 요약될 수 있습니다.

응용예제

응용예제1

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{A}\mathrm{C}}$인 이등변삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$에서 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}=\alpha$, $\mathrm{\angle }\mathrm{B}=\beta$라 하자. $\tan (\alpha +\beta )=-\frac{3}{2}$일 때, $\tan \alpha$의 값은? [3점] [2020학년도 수능 가형 10번]