(고등학교) 삼각방정식

다항 방정식은 다항식으로 구성된 방정식인 것처럼, 삼각 방정식은 삼각 함수로 이루어진 방정식입니다.

가장 기본적인 삼각 방정식은 $\sin x=0$과 같은 것입니다. 

다항 방정식에도 해가 무수히 많은 부정의 상황이 있긴 하지만, 모든 다항 방정식이 부정의 해를 갖는 것은 아닙니다. 반면에 삼각 함수는 기본적으로 주기 함수이기 때문에, 삼각 방정식은 해를 가지는 경우 무수히 많은 해를 가지는데, 이 해를 표현하는 것을 삼각 방정식의 일반해라고 합니다.

현재 교과 과정은 삼각 방정식의 일반해의 표현은 배우지 않고, 대신에 주어진 구간 내의 해를 구하는 것으로 바뀌었습니다.

위의 예제의 해는

$$$x=0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\cdots$

이고, 일반해는 $x=n\pi$ ($n$은 정수)입니다.

만약 정의역, $0\le x<2\pi$으로 제한하면, $x=0,\pi$의 2개의 해를 가집니다.

위의 방정식을 푸는 방법은 삼각함수의 그래프를 이용하는 방법이 있고, 단위 원을 이용하는 방법이 있습니다. 그래프를 이용하는 방법과 단위 원을 이용하는 방법은 크게 다르지 않지만, 삼각 함수의 값의 평가에서 단위 원을 이용하는 방법을 이용했기 때문에, 여기서도 단위 원을 이용해서 삼각 방정식의 해를 구할 것입니다.

단위 원을 이용해서 삼각 방정식을 푸는 과정은 이전 과정의 역과정입니다.

따라서, 먼저, 그의 부호를 보고 사분면을 정하고, 그런 다음, 크기로 직각 삼각형을 그려서, 마지막으로 주어진 정의역 안의 해를 전부 찾을 것입니다.

여기서는 사인 함수의 예제를 다루지만, 코사인 함수와 탄젠트 함수도 같은 방법으로 구하는데, 단지 부호에 따라 사분면의 위치가 달라집니다.

보통 그래프를 이용하는 방법은, 주기와 평행이동 등이 포함된 식에서 그래프 자체를 그리는 것이 쉽지 않을 수 있습니다. 반면에, 단위 원은 항상 동일한 형태를 풀지만, 치환에 의존적으로, 정의역의 구간이 달라지고, 역치환을 하는 과정이 필요합니다.

기본 형태

문제: ${\displaystyle \sin x=-\frac{1}{2}}$

해설: 먼저 사인함수의 부호가 음($-$)이기 때문에 $x$는 제 3, 4사분면에 있는 각입니다. 사인의 크기는 $\frac{1}{2}$이기 때문에 $x$-축과 이루는 예각이 ${30}^{\circ }$입니다. 이제 단위 원에 동경을 표시하고, 각도의 측정은 $x$-축의 양의 방향에서 측정해야 합니다. 따라서, $x=\pi +\frac{\pi }{6},\pi +\frac{5\pi }{6}$입니다.

이렇게 풀면 정답이 아닙니다. 왜냐하면, 정의역 $x$에 제한이 없기 때문에 해를 모두 찾아야 합니다. 어쨌든, 지금은 이런 질문은 하지 않을 것이지만, 삼각 방정식에서는 정의역에 항상 주의를 기울여야 합니다!!

만약 $0\le x<2\pi$로 주어지면 $x=\pi +\frac{\pi }{6},\pi +\frac{5\pi }{6}$입니다. 그러나 $-\pi \le x<\pi$로 주어지면 $x=-\frac{\pi }{6},-\frac{5\pi }{6}$입니다.

해는 항상 시초선($x$-축의 양의 방향)에서 측정해야 하는데, 정의역과는 무관합니다. 정의역은 해를 찾아야 할 구간입니다.

주기가 변경된 문제

문제: ${\displaystyle \sin 2x=-\frac{1}{2}(0\le x<2\pi )}$

해설: 삼각 방정식의 기본 해법은 한 변수에 대한 부호와 크기로 해를 결정하기 때문에, $2x=\tau$로 치환을 합니다. 주의할 점은 치환할 경우에는 변역이 바뀌게 된다는 사실입니다.

이제 방정식은 

$$${\displaystyle \sin \tau =-\frac{1}{2}(0\le \tau (=2x)<4\pi )}$

로 바뀌게 됩니다. #기본 형태와 동일 하지만, 해를 찾는 범위가 달라지는데, 범위가 2바퀴입니다. 이때, 한 바퀴 회전 후에 동일한 동경에 대한 해가 2개 더 추가되는데, 추가되는 해는 한 바퀴 내의 해(앞에서 2개)에 $2\pi$가 더해진 값을 가집니다.

따라서,

$$${\displaystyle 2x=\tau =\pi +\frac{\pi }{6},\pi +\frac{5\pi }{6},3\pi +\frac{\pi }{6},3\pi +\frac{5\pi }{6}}$

이며, 원래 방정식의 해는 

$$${\displaystyle x=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{2}+\frac{5\pi }{12},\frac{3\pi }{2}+\frac{\pi }{12},\frac{3\pi }{2}+\frac{5\pi }{12}}$.
대체로 주기가 절반으로 줄면, 해의 개수는 2배로 늘어나지만, 이런 부분까지 외울 필요는 없습니다. 필요하다면, 그런 문제에서 추론하면 됩니다.

주기가 변하고 평행이동된 문제

문제: ${\displaystyle \sin (2x+\frac{\pi }{6})=-\frac{1}{2}(0\le x<2\pi )}$

해설: 평행이동이 있으면, 해를 찾는 시작점이 0이 아니라, 구간의 시작 부분으로 바뀌기 때문에 주의가 필요합니다. 위와 마찬가지로 인수를 하나의 문자로 치환하는데, $2\theta +\frac{\pi }{6}=\tau$로 두면,

$$${\displaystyle \sin \tau =-\frac{1}{2}(\frac{\pi }{6}\le \tau (=2x+\frac{\pi }{6})<4\pi +\frac{\pi }{6})}$.

따라서

$$${\displaystyle 2x+\frac{\pi }{6}=\tau =\pi +\frac{\pi }{6},\pi +\frac{5\pi }{6},3\pi +\frac{\pi }{6},3\pi +\frac{5\pi }{6}}$

이며, 원래 방정식의 해는 

$$${\displaystyle x=\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{2},\frac{3\pi }{2}+\frac{\pi }{3}}$.

이 문제에서도 정의역의 확인은 매우 중요합니다.

예를 들어, ${\displaystyle \sin (2x+\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}(0\le x<2\pi )}$의 문제였다면, 해집합은

$$${\displaystyle 2x+\frac{\pi }{6}=\tau =\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},2\pi +\frac{\pi }{6},2\pi +\frac{5\pi }{6}}$

이며, 원래 방정식의 해는 

$$${\displaystyle x=0,\frac{\pi }{3},\pi ,\pi +\frac{\pi }{3}}$.

반면에, 정의역의 등호가 아래와 같이 바뀌면,

$$${\displaystyle \sin (2x+\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}(0<x\le 2\pi )}$

해집합은

$$${\displaystyle 2x+\frac{\pi }{6}=\tau =\frac{5\pi }{6},2\pi +\frac{\pi }{6},2\pi +\frac{5\pi }{6},4\pi +\frac{\pi }{6}}$

이며, 원래 방정식의 해는 

$$${\displaystyle x=\frac{\pi }{3},\pi ,\pi +\frac{\pi }{3},2\pi }$.
비교적 특이한 예제이긴 하지만, 충분히 출제가 가능한 문제입니다. 특히 정확히 이해하고 있는지 확인하기 위해서, 정의역의 경계가 해가 되는 경우를 출제할 필요가 있습니다!!

이차 삼각방정식

문제: ${\sin }^{2}x-2\sin x-3=0(0\le x<2\pi )$

해설: 삼각 함수에서 거듭제곱은 다항식과 조금 다른 형태를 제공합니다. 왜냐하면, 삼각 함수는 각도에 대해 길이비를 평가하는 것인데, $\sin x^2$의 형태는 가까이 있는 변수(각)를 제곱한 후에 그 각도에 대해 사인의 길이비를 구하는 것으로 이해해야 합니다.

따라서, 삼각 함수에서, $\sin x$의 제곱은 ${(\sin x)}^2$라고 괄호를 사용해서 나타내야 합니다. 하지만, 이것은 표기법 자체가 상당히 귀찮기 때문에, ${(\sin x)}^2={\sin }^{2}x$로 간단히 표시합니다.

이제 $\sin x=t(-1\le t\le 1)$로 치환하면, $t^2-2t-3=0$와 같이 바뀝니다.

주의할 점은 $t$의 정의역에 제한이 있으므로, 정의역에 포함된 것만 해가 된다는 사실입니다.

인수분해 또는 이차방정식의 근의 공식에 대입해서 해를 구하면, $t=-1$의 해를 구하고, 다른 근 $t=3$은 정의역에 포함되지 않기 때문에 해가 아닙니다.

이제 원래 미지수에 대한 해를 구하기 위해, $t=\sin x=-1$는 위에서 구한 #기본 형태에 해당합니다.

한편, 이차 삼각방정식을 치환을 통해 해를 구하기 위해, 가능한 같은 삼각 함수로 표현할 필요가 있습니다. 

이때 일차의 삼각 함수의 형태로 바꾸는 것이 쉽습니다. 예를 들어 ${\cos }^{2}x-2\sin x+2=0$은 일차식이 $\sin x$로 주어졌기 때문에 ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$를 대입해서 사인에 대한 이차 삼각방정식으로 만들 수 있습니다.

앞에서 언급한 것처럼, 정의역을 확인하는 것이 매우 중요합니다. 이 문제에서, $0\le x<2\pi$로 주어졌기 때문에, 치환했을 때 $-1\le t\le 1$의 범위를 가집니다. 만약, $0\le x<\pi$로 주어졌으면, 치환했을 때 $0\le t\le 1$의 범위를 가지므로, 만족하는 해는 없습니다.

삼각방정식과 일차방정식의 교점

문제: ${\displaystyle \sin \pi x=\frac{1}{6}x}$를 만족하는 실수 $x$의 개수는?

해설: 이런 형태에서, $\sin \pi x$를 다항 방정식으로 나타내면, 다항 방정식의 해를 구하는 문제로 바뀌지만, 쉬운 방법이 없습니다.

따라서, 두 도형의 위치 관계를 이용해서, 실근의 개수를 두 그래프의 교점의 개수로 접근하는 것이 쉽습니다. 즉, ${\displaystyle y=\sin \pi x,y=\frac{1}{6}x}$의 교점의 개수가 실근의 개수입니다.

여기서, 사인 그래프의 주기가 2이므로 원점을 통과하는 직선과의 교점은 주기마다 2개씩 생깁니다.

또한 사인 함수는 원점대칭이므로 원점을 제외하고는 오른쪽에 5개의 교점이 생기고, 왼쪽도 마찬가지로 5개의 교점이 생깁니다.

여기서 교점은 직선의 함숫값이 –1에서 1까지에만 발생하므로, (6,1)과 (–6,–1)을 표시하는 것이 중요한데, $–6\le x\le 6$ 사이에서 교점이 발생합니다. 물론 기울기가 달라지면, 교점이 발생하는 영역이 달라지는데, 아래의 코사인함수로 바뀐 경우의 예제를 보십시오!!

전체 교점의 개수는 $1+5+5=11$이 정답입니다. 원점대칭이고, 원점이 해가 되므로, 짝수가 답이 될 수는 없겠지요.

만약 코사인 그래프였다면 정답은 얼마일까요? 

코사인은 $y$축 대칭이므로 주기와 기울기에 따라서 답이 달라질 수 있습니다. 

이 문제는 3개의 주기의 끝점이 맞아떨어져서 오른쪽 6개 왼쪽 6개를 합해서 12개가 정답입니다.

만약 기울기가 ${\displaystyle \frac{1}{5.5}}$였다면, 오른쪽은 5개 왼쪽은 6개로 11개가 정답입니다. 

만약 기울기가 ${\displaystyle \frac{1}{6.5}}$였다면, 오른쪽은 7개 왼쪽은 6개로 13개가 정답입니다.
역시 사인함수보다는 코사인함수와 직선의 교점을 질문하는 것이 보다 정확한 평가가 될 것으로 보입니다!!

응용예제

응용예제1

두 양수 $a,b$에 대하여 $\alpha +\beta +\gamma =\pi$이고 $5ab\sin \gamma =2(a^2+b^2)$일 때, ${\cos }^2(\pi +\alpha +\beta )+\sin \gamma$의 최댓값을 구하시오.

응용예제2

${\displaystyle \frac{\pi }{2}<\theta <\pi }$인 $\theta$에 대하여 $\sin \theta =\frac{21}{7}$일 때, $\tan \theta$의 값은? [2점] [2021학년도 수능 가형 3번]

응용예제3

$0\le x<4\pi$일 때, 방정식

$$${\displaystyle 4{\sin }^{2}x-4\cos (\frac{\pi }{2}+x)-3=0}$

의 모든 해의 합은? [4점] [2021학년도 수능 나형 16번]

응용예제4

$0<x<2\pi$일 때, 방정식 $4{\cos }^2-1=0$과 부등식 $\sin x\cos x<0$을 동시에 만족시키는 모든 $x$의 값의 합은? [3점] [2020학년도 수능 가형 7번]

응용예제5

그림과 같이 점 $\mathrm{A}(1,0)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원이 있다. 원 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{P}=\theta (0<\theta <\frac{\pi }{3})$라고 할 때, 선분 $\mathrm{O}\mathrm{P}$ 위에 $\overline{\mathrm{P}\mathrm{Q}}=1$인 점 $\mathrm{Q}$를 정한다. 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표가 최대일 때, $\cos \theta$의 값을 구하시오.

응용예제6

방정식 $\pi x\sin 4nx-x+n\pi =0$의 서로 다른 실근의 개수를 $a_n$이라 하자. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{10}\frac{a_n}{5}}$의 값을 구하시오. (단 $n$은 자연수이고, $0\le x\le 2n\pi$이다.)