(고등학교) 삼각부등식

방정식은 무수히 많은 해를 가지는 경우도 있지만, 근본적으로 식을 만족하는 몇 개의 해를 구하는 것입니다. 예를 들어, $x=-2,3$.

반면에 부등식은 어떤 경계를 시작점으로 방향이 결정되고, 구간이나, 이상, 이하가 모두 해가 되는데, 방정식과 비교해서, 부등식도 몇 개의 해를 가지는 경우도 있지만, 근본적으로 무수히 많은 해를 갖는 구간을 구하는 것입니다. 예를 들어, $-2<x<3$. 게다가, 부등식의 경계는 해당 식의 방정식의 해입니다. 이 예제가 만약, $(x+2)(x-3)<0$이었다면, $x=-2,3$은 $(x+2)(x-3)=0$의 해입니다.

삼각 부등식도 마찬가지로 삼각 방정식의 해를 구한 후, 방향을 결정하고, 정의역으로부터 동경이 가질 수 있는 구간을 구하는 과정으로 해를 결정합니다.

한편, 이차부등식은 식 자체를 이해해서 접근하는 방법도 있지만, 이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계처럼 그래프적으로 접근하는 것이 더 생각하기 편할 수 있습니다. 역시 삼각부등식도 단위 원에서 방정식을 푼 것처럼, 단위 원에서 부등식을 풀 것입니다.

기본 형태

문제: ${\displaystyle \sin x>-\frac{1}{2},(0\le x<2\pi )}$

해설: 삼각방정식 $\sin x=-\frac{1}{2},(0\le x<2\pi )$의 해가 $x=\pi +\frac{\pi }{6},\pi +\frac{5\pi }{6}$임은 사인의 삼각방정식에서 확인이 가능합니다.

이로부터 부등식의 해는 다음의 과정으로 풀 수 있습니다. 

먼저 제 3사분면의 동경은 시계 방향으로 움직일 때, 부등식을 만족합니다. 다음으로, 제 4사분면의 동경은 반시계 방향으로 움직일 때, 부등식을 만족합니다. 그래서, 두 방향의 공통부분이 부등식을 만족하는 전체 범위입니다.

또한, 방정식과 마찬가지로 부등식의 해도 정의역의 시작점부터 적는 것이 일반적입니다. 따라서,

$$${\displaystyle 0\le x<\frac{5\pi }{6},\frac{11\pi }{6}<x<2\pi }$

좀 더 간단히 방향을 결정하기 위해, 사인 함수는 제 1, 2사분면이 양수이므로, 부등식을 만족합니다. 따라서, 방정식을 만족하는 동경이 제 1,2사분면을 포함하도록 결정해야 합니다.

한편, 정의역 $-\pi \le x<\pi$로 바뀌면, 해는 다음과 같이 바뀝니다.

$$${\displaystyle -\pi \le x<-\frac{5\pi }{6},-\frac{\pi }{6}<x<\pi }$

코사인 함수도 사인 함수와 같은 방법으로 부등식의 해를 찾을 수 있습니다. 그러나 탄젠트 함수는 분수함수이므로, 분모가 0이 되는 경우가 점근선이 되어, 사인이나 코사인 함수와는 부등식의 해를 구할 때, 조금 다릅니다. 아래를 참조하십시오!!

탄젠트 부등식

문제: $\tan x>1,(0\le x<2\pi )$

해설: 탄젠트 부등식을 풀기 위해, 방정식을 먼저 풀어야 합니다.

삼각방정식 $\tan x=1(0\le x<2\pi )$의 해는, 동경이 제 1,3사분면에 위치하면서, $x$-축과 ${45}^{\circ }$의 예각을 이룹니다. 

물론, 해를 찾을 때에는 정의역에 따라, 해를 찾아야 합니다. 정의역이 양의 방향(반시계)으로 한 바퀴 안이므로, 다음과 같이 2개의 해를 가집니다.

$$${\displaystyle x=\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}}$

부등식은, 다시 한번 강조하지만, 점근선을 건너가지는 못하는데, 그 부분은 코사인이 0의 값을 가지는 $y$-축의 동경입니다. 

그리고, 탄젠트가 1보다 커야 하므로, 탄젠트의 값이 음의 값을 가지는 제 2,4사분면으로 동경이 가서는 안됩니다.

따라서, 부등식의 해는

$$${\displaystyle \frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{4}<x<\frac{3\pi }{2}}$

이차 삼각방정식

문제: ${\sin }^{2}x-2\sin x-3<0(0\le x<2\pi )$

해설: 삼각 함수가 같은 것으로 맞추어졌기 때문에, $\sin x=t$로 치환하면, $x$의 정의역으로부터 $-1\le t\le 1$로 구해지고, 식은 다음과 같이 바뀝니다.

$$$t^2-2t-3<0$

$$$(t+1)(t-3)<0$

여기서 $-4\le (t-3)\le -2$, 즉 항상 음수이므로, 이것으로 양쪽 변을 나누면 부등호의 방향의 바뀝니다.

$$$t+1>0$

주어진 영역에서, $t=-1$을 제외하고 모두 만족합니다. 이것은 원래 식에서

$$$\sin x=t=-1$

이므로, $x=\frac{3\pi }{2}$를 제외한 정의역의 모든 원소가 부등식을 만족합니다. 

따라서,

$$${\displaystyle 0\le x<\frac{3\pi }{2},\frac{3\pi }{2}<x<2\pi }$

응용예제

응용예제1

함수 $f(x)=x^2+4\sqrt{2}x\sin \theta +4(\sqrt{3}-1)\sin \theta +2\sqrt{3}$에 대하여 $f(t)<0$를 만족하는 어떤 실수 $t$가 존재하도록 하는 $\theta$의 값의 범위를 $\alpha <\theta <\beta$라고 할 때, $\beta -\alpha$의 최댓값은? (단, $0\le x\le \pi$)

응용예제2

$0\le \theta \le 2\pi$일 때, 다음 함수의 최솟값을 $m$이라 하자.

$$${\displaystyle f(x)=x^2-|\sqrt{3}x-1|\times \cos \theta +\frac{{\cos }^2\theta }{3}}$

$m\ge \frac{1}{2}$이기 위한 $\theta$의 범위로 알맞은 것은?

응용예제3

$0\le \theta <2\pi$일 때, $x$에 대한 이차방정식

$$$6x^2+(4\cos \theta )x+\sin \theta =0$

이 실근을 갖지 않도록 하는 모든 $\theta$의 값의 범위는 $\alpha <\theta <\beta$이다. $3\alpha +\beta$의 값은? [3점] [2019학년도 수능 가형 11번]