(고등학교) 2배각에 대한 삼각함수

삼각함수의 덧셈정리에서, $\beta \to \alpha$를 대입하면 아래와 같은 식을 구할 수 있습니다.

• $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$
• $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =2{\cos }^2\theta -1=1-2{\sin }^2\theta$
• ${\displaystyle \tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }}$

코사인에 대한 2배각 공식을 변형하면 아래와 같습니다.

• ${\displaystyle \cos \theta =2{\cos }^2\frac{\theta }{2}-1=1-2{\sin }^2\frac{\theta }{2}}$
• ${\displaystyle {\sin }^2\theta =\frac{1-\cos 2\theta }{2},{\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}}$

위의 결과들은 예를 들어 ${\displaystyle {\sin }^2\mathrm{♡}=\frac{1-\cos 2\mathrm{♡}}{2}}$와 같은 형태를 갖게 됨을 알 수 있습니다. 함수나 각도가 변하더라도 충분히 응용이 가능하며, 코사인의 경우도 마찬가지입니다.

주목할 것은 2배 각도의 삼각함수는 원래 각도에 대한 삼각함수의 제곱식이 된다는 점입니다. 게다가, 각도가 3배가 되는 것은 $3\theta =2\theta +\theta$와 같이 변형하고, 그런-다음 결과식에서 2배각에 대한 삼각함수를 대입한 후, 정리해서 식을 만들 수 있습니다. 이때, 결과식은 삼각함수의 세제곱 식이 됨을 알 수 있습니다.