(고등학교) 삼각함수의 덧셈정리의 응용

삼각함수의 덧셈정리로부터, 새로운 여러 가지 항등식이 만들어집니다.

$$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

$$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$$${\displaystyle \tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

배각의 항등식

덧셈정리에서 $\beta =\alpha$로 두면, 같은 각을 두 번 더한 동경의 위치에 이릅니다. 식에 대입해서 정리하면,

$$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$$$\begin{array}{rl}\cos 2\alpha & ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \\ & =1-2{\sin }^2\alpha \\ & =2{\cos }^2\alpha -1\end{array}$

$$${\displaystyle \tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }}$

삼배각의 항등식

덧셈정리와 배각의 항등식으로부터, 덧셈정리에 $\beta =2\alpha$를 대입해서 정리하면,

$$$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha$

$$$\cos 3\alpha =4{\cos }^3\alpha -3\cos \alpha$

$$${\displaystyle \tan 3\alpha =\frac{3\tan \alpha -{\tan }^3\alpha }{1-3\tan \alpha }}$

반각의 항등식

위의 배각의 항등식에서, 코사인에 대한 식을 제곱을 왼쪽에 남기는 형태로 조작할 수 있습니다.

$$${\displaystyle {\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}}$

$$${\displaystyle {\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}}$

이 항등식에서 $2\alpha =\theta$로 바꾸면,

$$${\displaystyle {\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2}}$

$$${\displaystyle {\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1+\cos \theta }{2}}$

$$${\displaystyle {\tan }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}$

이 항등식들의 특징은 각이 2배가 되면, 다른 변에서는 제곱의 삼각함수 꼴이 되고, 각이 3배가 되면, 세제곱의 삼각함수의 꼴이 된다는 사실입니다. 반각에서도 각이 절반으로 줄어드니, 제곱의 삼각함수가 일차로 줄어듭니다.

곱을 합·차로 고치는 항등식

두 개의 다른 각의 곱으로 주어진 삼각함수를 다른 모양으로 고치는 방법 중 하나입니다. [[삼각함수의 덧셈정리]]에서, 특정 2식을 합하거나, 또는 빼면 이 식들을 얻을 수 있습니다. 예를 들어, 

$$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

$$$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

위 두 식을 더하면,

$$$2\cos \alpha \cos \beta =\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )$

마찬가지로, 위의 두 식을 빼서 정리하고, 사인 함수에 대한 덧셈정리를 더한 식, 그리고 뺀 식을 정리하면,

$$${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\{\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )\}}$

$$${\displaystyle \cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}\{\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )\}}$

$$${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\{\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )\}}$

$$${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}\{\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )\}}$

위의 결과 중에 두 번째 식은 별도로 기억할 필요가 없습니다. 어쨌든, 사인과 코사인의 곱이므로, 첫 번째 식을 사용할 수 있습니다.

합·차를 곱으로 고치는 항등식

직전에 구한 곱을 합·차로 고치는 항등식에서

$$$\alpha +\beta =A$, $\alpha +\beta =B$

로 두면, 만들어지는 항등식입니다.

$$${\displaystyle \sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}}$

$$${\displaystyle \sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}}$

$$${\displaystyle \cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}}$

$$${\displaystyle \cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}}$

위의 결과 중에 두 번째 식은 첫 번째 식에 $B$ 대신에 $–B$를 대입해서 구할 수도 있습니다. 물론 다른 식들도 변환을 이용해서 식을 만들 수 있습니다.