삼각함수, 예를 들어, \(y=\sin x\)는 유한한 \(x\)에 대해 함숫값이 자체가 극한값이고, \(x \to \infty\)에 대해 그의 값은 하나의 값에 수렴하지 않기 때문에 발산합니다.
반면에 \(y=\tan x\)는 분수함수이므로, 분모가 0으로 접근할 때, 양, 또는 음의 무한대로 발산하는 경우가 있습니다.
어쨌든, 기본 삼각함수는 그의 극한에 대해 추가적으로 고려해야 할 사항은 없습니다.
여기서 다루는 삼각함수의 극한은, 사인 함수의 도함수 등에서 필요한 극한 중에 가장 기본적인 모양에 대한 것입니다.
한편, 도함수는 \(\frac00\) 꼴을 다루기 때문에, 삼각함수의 극한도 같은 꼴을 다룹니다.
게다가 \(\frac00\) 꼴은, 도함수를 배운 후로는, 로피탈의 규칙을 사용해서 구할 수 있습니다. 단지, 고등학교 시험을 준비하는 학생은 서술형에서 로피탈의 규칙을 사용할 수 없으므로, 기본 모양을 맞추는 과정이 필요합니다.
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)의 극한
그림과 같이 단위원 \(\rm{O}\)에서 \(\angle \rm{AOB}\)의 크기를 \(x \left(0 < x < \frac{\pi}{2}\right)\)라 놓고, 원 \(\rm{O}\) 위의 점 \(\rm{A}\)에서의 접선과 선분 \(\rm{OB}\)의 연장선의 교점을 \(\rm{T}\)라고 하면
\(\quad\)(\(\triangle\rm{OAB}\)의 넓이) \(<\) (부채꼴\(\rm{OAB}\)의 넓이) \(<\) (\(\triangle\rm{OAT}\)의 넓이)
이므로
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2} x < \frac{1}{2}\tan x\)
이고 2를 곱하면,
\(\quad\)\(\sin x < x < \tan x\)
이때, \(\sin x > 0\)이므로, 위 부등식의 각 변을 \(\sin x\)로 나누면
\(\quad\)\(\displaystyle 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}\)
모든 항이 양수이고, 역수를 취하면, 부등호의 방향은 반대가 됩니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1\)
그런데 \(\displaystyle \lim_{x\to 0+}\cos x=1\)이므로 조임 정리에 의해,
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0+}\frac{\sin x}{x}=1\)
한편, \(x=-t \left(\displaystyle -\frac{\pi}{2}< x < 0\right)\)로 놓으면 \(x \to 0-\)일 때, \(t\to 0+\)이므로
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0-}\frac{\sin x}{x}=\lim_{t \to 0+}\frac{\sin (-t)}{-t}=\lim_{x \to 0+}\frac{\sin t}{t}=1\)
따라서, 아래와 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
게다가,
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x}{\sin x}= \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin x}{x}}=1\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}\)의 극한
탄젠트에 대한 극한값은 아래와 같습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} & = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{x} \\
& = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} \\
& = 1 \\
\end{align}\)
또한,
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x}{\tan x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{\frac{\tan x}{x}}=1\)
몇 가지 응용
함수의 인수 또는 계수가 바뀌는 경우에 대해, 예를 들어, 극한
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x}\)
은 삼각함수의 인수를 맞춤으로써 쉽게 구할 수 있습니다. 즉,
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x}\cdot \frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}\)
마찬가지로, 탄젠트 함수도 위와 같은 방법으로 접근할 수 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin a x}{b x}=\frac{a}{b}\)
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\tan a x}{b x}=\frac{a}{b}\)
또는 무한소 \(x\)에 대하여 다음과 같이 다항식으로 근사할 수 있습니다.
\(\quad\)\(\sin a x \to a x\)
\(\quad\)\(\tan a x \to a x\)
\(\quad\)\(\displaystyle \cos a x \to 1-\frac{(ax)^2}{2}\)
그러나, 무한소, 즉 영으로 접근하는 경우가 아닐 때에는 이렇게 근사화할 수 없습니다
접근점이 0이 아닌 경우
비록 접근점이 0이 아니더라도, 극한은 \(\frac00\) 꼴입니다. 그러므로, 변수의 치환을 통해서, 기본 꼴로 바꾸는 과정이 필요합니다. 예를 들어, 극한
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{x \to \pi}\frac{\tan x}{\pi - x}\)
은 \(x-\pi = t\)로 치환함으로써,
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{\tan(\pi+t)}{-t}=\lim_{t \to 0}\frac{\tan t}{-t}=-1\)
응용예제
응용예제1
좌표평면에서 곡선 \(y=\sin x\) 위의 점 \(\rm P(t, \sin t)\;(0 < t <\pi)\)를 중심으로 하고 \(x\)축에 접하는 원을 \(C\)라 하자. 원 \(C\)가 \(x\)축에 접하는 점을 \(\rm Q\), 선분 \(\rm{OP}\)와 만나는 점을 \(\rm R\)라 하자. \(\displaystyle \lim_{t \to 0+}\frac{\overline{\rm{OQ}}}{\overline{\rm{OR}}}=a+b\sqrt{2}\)일 때, \(a+b\)의 값을 구하시오. (단, \(\rm O\)는 원점이고, \(a,\; b\)는 정수이다.) [3점] [2020학년도 수능 가형 24번]
응용예제2
그림과 같이 길이가 2인 선분 \(\rm{AB}\)를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 \(\rm{AB}\) 위의 점 \(\rm{P}\)에 대하여 \(\angle\rm{PAB}=\theta\)라 할 때, 선분 \(\rm{AP}\) 위의 점 \(\rm{Q}\)를 \(\angle\rm{QBA}=2\theta\)가 되도록 잡는다. 선분 \(\rm{AB}\)의 중점을 \(\rm{O}\)라 할 때, 선분 \(\rm{QB}\)와 선분 \(\rm{OP}\)가 만나는 점을 \(\rm{R}\)이라 하자. 삼각형 \(\rm{PQR}\)의 넓이를 \(S(\theta)\)라 할 때, \(\displaystyle \lim_{\theta\to \frac{\pi}{6}-0}\frac{S(\theta)}{\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)^2}\)의 값은? (단, \(0<\theta <\frac{\pi}{6}\))
