도함수의 정의에 따라, 기본 삼각함수의 도함수를 구해 보겠습니다.
함수 \(y=f(x)\)에 대하여 도함수 \(f'(x)\)는
\(\quad\)\(\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
사인 함수 \(y=\sin x\)에 대한 도함수는 다음과 같이 구해집니다. 여기서 삼각함수의 덧셈정리를 이용합니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
(\sin x)' & = \lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} \\
& = \lim_{h\to 0} \frac{\sin x\cos h +\cos x \sin h-\sin x}{h} \\
& = \lim_{h\to 0}\frac{\cos x \sin h}{h} \\
& = \cos x \\
\end{align}\)
코사인 함수 \(y=\cos x\)에 대해 도함수는 다음과 같이 구해집니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
(\cos x)' & = \lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} \\
& = \lim_{h\to 0}\frac{\cos x\cos h -\sin x \sin h-\cos x}{h} \\
& = \lim_{h\to 0}\frac{-\sin x \sin h}{h} \\
& =-\sin x \\
\end{align}\)
다른 방법
삼각함수의 덧셈정리의 응용#합·차를 곱으로 고치는 항등식에서
\(\quad\)\(\displaystyle \sin A - \sin B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}\)
\(\quad\)\(\displaystyle \cos A - \cos B = -2 \sin\frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}\)
사인 함수의 도함수는
\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
(\sin x)' & = \lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} \\
& = \lim_{h\to 0} \frac{2\cos \left(x+\frac{h}{2}\right) \sin \frac{h}{2}}{h} \\
& = \lim_{h\to 0} \frac{\cos \left(x+\frac{h}{2}\right) \sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \\
& = \cos x \\
\end{align}\)
코사인 함수의 도함수는
\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
(\cos x)' & = \lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} \\
& = \lim_{h\to 0} \frac{-2\sin \left(x+\frac{h}{2}\right) \sin \frac{h}{2}}{h} \\
& = \lim_{h\to 0} \frac{-\sin \left(x+\frac{h}{2}\right) \sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \\
& = -\sin x \\
\end{align}\)
탄젠트 함수 등은 도함수는 몫의 미분법, 합성함수의 미분법을 배운 후에 구할 수 있습니다.
