(고등학교) 삼각함수의 미분

도함수의 정의에 따라, 기본 삼각함수의 도함수를 구해 보겠습니다.

함수 $y=f(x)$에 대하여 도함수 $f^{\prime }(x)$는

$$${\displaystyle f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$

사인 함수 $y=\sin x$에 대한 도함수는 다음과 같이 구해집니다. 여기서 삼각함수의 덧셈정리를 이용합니다.

$$${\displaystyle \begin{array}{rl}(\sin x{)}^{\prime }& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos x\sin h}{h}\\ & =\cos x\end{array}}$

코사인 함수 $y=\cos x$에 대해 도함수는 다음과 같이 구해집니다.

$$${\displaystyle \begin{array}{rl}(\cos x{)}^{\prime }& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{-\sin x\sin h}{h}\\ & =-\sin x\end{array}}$

다른 방법

삼각함수의 덧셈정리의 응용#합·차를 곱으로 고치는 항등식에서

$$${\displaystyle \sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}}$

$$${\displaystyle \cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}}$

사인 함수의 도함수는

$$${\displaystyle \begin{array}{rl}(\sin x{)}^{\prime }& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{2\cos (x+\frac{h}{2})\sin \frac{h}{2}}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos (x+\frac{h}{2})\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\\ & =\cos x\end{array}}$

코사인 함수의 도함수는

$$${\displaystyle \begin{array}{rl}(\cos x{)}^{\prime }& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{-2\sin (x+\frac{h}{2})\sin \frac{h}{2}}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{-\sin (x+\frac{h}{2})\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\\ & =-\sin x\end{array}}$

탄젠트 함수 등은 도함수는 몫의 미분법, 합성함수의 미분법을 배운 후에 구할 수 있습니다.