다항함수의 미분법, 지수함수와 로그함수의 미분, 삼각함수의 미분에서, 도함수의 정의와 각 함수의 기본 함수에 대한 도함수를 도함수의 정의를 통해 구했습니다.
하지만, 탄젠트 함수 \(\displaystyle y=\frac{\sin x}{\cos x}\)는 분수함수이므로, 비록 그의 분모, 분자의 함수의 도함수를 알고 있다고 하더라도, 도함수는 알 수 없습니다.
이와 같이, 두 개의 미분 가능한 함수의 비율인 함수(function)의 도함수를 찾는 방법을 몫 규칙(Quotient rule) 또는 몫의 미분법이라고 합니다.
몫 규칙
몫의 규칙을 증명하는 방법은 몇 가지가 있습니다.
도함수의 정의에 따른 증명
어쨌든, 첫 번째로 생각해 볼 수 있는 것은, 함수 \(f(x) = g(x)/h(x)\)에 대해, 도함수의 정의에 따라, 직접 도함수를 구하는 것입니다.
\(\quad\)\(\begin{align}
f'(x) &= \lim_{k\to 0} \frac{f(x+k) - f(x)}{k} \\
&= \lim_{k\to 0} \frac{\frac{g(x+k)}{h(x+k)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{k} \\
&= \lim_{k\to 0} \frac{g(x+k)h(x) - g(x)h(x+k)}{k \cdot h(x)h(x+k)} \\
&= \lim_{k\to 0} \frac{g(x+k)h(x) - g(x)h(x+k)}{k} \cdot \lim_{k\to 0}\frac{1}{h(x)h(x+k)} \\
&= \left(\lim_{k\to 0} \frac{g(x+k)h(x) - g(x)h(x) + g(x)h(x) - g(x)h(x+k)}{k} \right) \cdot \frac{1}{h(x)^2} \\
&= \left(\lim_{k\to 0} \frac{g(x+k)h(x) - g(x)h(x)}{k} - \lim_{k\to 0}\frac{g(x)h(x+k) - g(x)h(x)}{k} \right) \cdot \frac{1}{h(x)^2} \\
&= \left(h(x)\lim_{k\to 0} \frac{g(x+k) - g(x)}{k} - g(x)\lim_{k\to 0}\frac{h(x+k) - h(x)}{k} \right) \cdot \frac{1}{h(x)^2} \\
&= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{h(x)^2}.
\end{align}\)
곱 규칙에 의한 증명
위의 식에서 \(g(x)=1\)이면, \(f(x)=1/h(x)\)이고,
\(\quad\)\(\displaystyle f'(x)=-\frac{h'(x)}{h(x)^2}\)
원래 함수 \(\displaystyle f(x) = g(x)/h(x)=g(x)\cdot\frac{1}{h(x)}\)에 대해, 곱 규칙(곱의 미분법)에 따라,
\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
f'(x) & = g'(x)\cdot \frac{1}{h(x)} + g(x) \cdot \left(-\frac{h'(x)}{h(x)^2}\right) \\
& = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{h(x)^2} \\
\end{align}\)
암시적 함수 미분을 사용한 증명
주어진 식 \(f(x)=g(x)/h(x)\)를 \(f(x)\cdot h(x) = g(x)\)로 두고, 양쪽 변을 미분하면,
\(\quad\)\(f'(x)\cdot h(x)+f(x) \cdot h'(x) = g'(x)\)
따라서,
\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
f'(x) & =\frac{g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)} \\
& = \frac{g'(x)-\frac{g(x)}{h(x)}\cdot h'(x)}{h(x)} \\
& = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{h(x)^2} \\
\end{align}\)
탄젠트의 도함수
함수 \(\displaystyle y=\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)의 도함수는 몫의 규칙에 따라,
\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
y' & = \frac{(\sin x)' \cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos^2 x} \\
& = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} \\
& = \sec^2 x \\
\end{align}\)
그 외에 남아있는 삼각함수와 함께 6개의 삼각함수의 도함수는
- \(y=\sin x\)의 도함수는 \(y'=\cos x\)
- \(y=\cos x\)의 도함수는 \(y'=-\sin x\)
- \(y=\tan x\)의 도함수는 \(y'=\sec^2 x\)
- \(y=\cot x\)의 도함수는 \(y'=-\csc^2 x\)
- \(y=\sec x\)의 도함수는 \(y'=\sec x \tan x\)
- \(y=\csc x\)의 도함수는 \(y'=-\csc x \cot x\)
음의 정수에 따른 \(y=x^n\)의 도함수
다항함수의 기본이 되는 \(y=x^n\) (\(n\)은 자연수)에 대한 도함수는
\(\quad\)\(y'=nx^{n-1}\)
만약 \(n\)이 음의 정수이면, \(n=-m\)으로 놓으면,
\(\quad\)\(\displaystyle \begin{align}
y' & = \left(x^n\right)' = \left(x^{-m}\right)' \\
& = \left(\frac{1}{x^m}\right)' = -\frac{\left(x^m \right)'}{x^{2m}} \\
& = -\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}} = -mx^{-m-1} \\
& = nx^{n-1} \\
\end{align}\)
따라서, 양의 정수와 마찬가지로 음의 정수도 같은 결과를 낳습니다.
