(고등학교) 몫의 미분법

다항함수의 미분법, 지수함수와 로그함수의 미분, 삼각함수의 미분에서, 도함수의 정의와 각 함수의 기본 함수에 대한 도함수를 도함수의 정의를 통해 구했습니다.

하지만, 탄젠트 함수 ${\displaystyle y=\frac{\sin x}{\cos x}}$는 분수함수이므로, 비록 그의 분모, 분자의 함수의 도함수를 알고 있다고 하더라도, 도함수는 알 수 없습니다.

이와 같이, 두 개의 미분 가능한 함수의 비율인 함수(function)의 도함수를 찾는 방법을 몫 규칙(Quotient rule) 또는 몫의 미분법이라고 합니다.

몫 규칙

몫의 규칙을 증명하는 방법은 몇 가지가 있습니다.

도함수의 정의에 따른 증명

어쨌든, 첫 번째로 생각해 볼 수 있는 것은, 함수 $f(x)=g(x)/h(x)$에 대해, 도함수의 정의에 따라, 직접 도함수를 구하는 것입니다.

$$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\underset{k\to 0}{lim}\frac{f(x+k)-f(x)}{k}\\ & =\underset{k\to 0}{lim}\frac{\frac{g(x+k)}{h(x+k)}-\frac{g(x)}{h(x)}}{k}\\ & =\underset{k\to 0}{lim}\frac{g(x+k)h(x)-g(x)h(x+k)}{k\cdot h(x)h(x+k)}\\ & =\underset{k\to 0}{lim}\frac{g(x+k)h(x)-g(x)h(x+k)}{k}\cdot \underset{k\to 0}{lim}\frac{1}{h(x)h(x+k)}\\ & =\left(\underset{k\to 0}{lim}\frac{g(x+k)h(x)-g(x)h(x)+g(x)h(x)-g(x)h(x+k)}{k}\right)\cdot \frac{1}{h(x{)}^2}\\ & =(\underset{k\to 0}{lim}\frac{g(x+k)h(x)-g(x)h(x)}{k}-\underset{k\to 0}{lim}\frac{g(x)h(x+k)-g(x)h(x)}{k})\cdot \frac{1}{h(x{)}^2}\\ & =(h(x)\underset{k\to 0}{lim}\frac{g(x+k)-g(x)}{k}-g(x)\underset{k\to 0}{lim}\frac{h(x+k)-h(x)}{k})\cdot \frac{1}{h(x{)}^2}\\ & =\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{h(x{)}^2}.\end{array}$

곱 규칙에 의한 증명

위의 식에서 $g(x)=1$이면, $f(x)=1/h(x)$이고, 

$$${\displaystyle f^{\prime }(x)=-\frac{h^{\prime }(x)}{h(x{)}^2}}$

원래 함수 ${\displaystyle f(x)=g(x)/h(x)=g(x)\cdot \frac{1}{h(x)}}$에 대해, 곱 규칙(곱의 미분법)에 따라,

$$${\displaystyle \begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =g^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{h(x)}+g(x)\cdot (-\frac{h^{\prime }(x)}{h(x{)}^2})\\ & =\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{h(x{)}^2}\end{array}}$

암시적 함수 미분을 사용한 증명

주어진 식 $f(x)=g(x)/h(x)$를 $f(x)\cdot h(x)=g(x)$로 두고, 양쪽 변을 미분하면,

$$$f^{\prime }(x)\cdot h(x)+f(x)\cdot h^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$

따라서,

$$${\displaystyle \begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\frac{g^{\prime }(x)-f(x)h^{\prime }(x)}{h(x)}\\ & =\frac{g^{\prime }(x)-\frac{g(x)}{h(x)}\cdot h^{\prime }(x)}{h(x)}\\ & =\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{h(x{)}^2}\end{array}}$

탄젠트의 도함수

함수 ${\displaystyle y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}$의 도함수는 몫의 규칙에 따라,

$$${\displaystyle \begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\frac{(\sin x{)}^{\prime }\cos x-\sin x(\cos x{)}^{\prime }}{{\cos }^{2}x}\\ & =\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ & ={\sec }^{2}x\end{array}}$

그 외에 남아있는 삼각함수와 함께 6개의 삼각함수의 도함수는

• $y=\sin x$의 도함수는 $y^{\prime }=\cos x$
• $y=\cos x$의 도함수는 $y^{\prime }=-\sin x$
• $y=\tan x$의 도함수는 $y^{\prime }={\sec }^{2}x$
• $y=\cot x$의 도함수는 $y^{\prime }=-{\csc }^{2}x$
• $y=\sec x$의 도함수는 $y^{\prime }=\sec x\tan x$
• $y=\csc x$의 도함수는 $y^{\prime }=-\csc x\cot x$

 

음의 정수에 따른 $y=x^n$의 도함수

다항함수의 기본이 되는 $y=x^n$ ($n$은 자연수)에 대한 도함수는

$$$y^{\prime }=n{x}^{n-1}$

만약 $n$이 음의 정수이면, $n=-m$으로 놓으면,

$$${\displaystyle \begin{array}{rl}{y}^{\prime }& ={\left(x^n\right)}^{\prime }={\left(x^{-m}\right)}^{\prime }\\ & ={\left(\frac{1}{x^m}\right)}^{\prime }=-\frac{{\left(x^m\right)}^{\prime }}{x^{2m}}\\ & =-\frac{m{x}^{m-1}}{x^{2m}}=-m{x}^{-m-1}\\ & =n{x}^{n-1}\end{array}}$

따라서, 양의 정수와 마찬가지로 음의 정수도 같은 결과를 낳습니다.