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(번역) Taylor series

by 다움위키 2024. 4. 11.
Original article: w:Taylor series

 

수학(mathematics)에서, 테일러 급수(Taylor series)는 단일 점에서 함수의 도함수(derivative)의 값으로부터 계산되는 항의 무한 합(infinite sum)으로 함수(function)의 표현입니다.

서구에서, 그 연구는 스코틀랜드의 수학자 제임스 그레고리(James Gregory)에 의해 공식화되었고 1715년에 영국의 수학자 브룩 테일러(Brook Taylor)에 의해 공식적으로 도입되었습니다. 만약 테일러 급수가 영에 중심을 두면, 해당 급수는 스코틀랜드의 수학자 콜린 매클로린(Colin Maclaurin)의 이름을 따서 지은 매클로린 급수(Maclaurin series)로 역시 불리고, 그는 18세기에 테일러 급수의 이 특별한 경우의 광범위한 사용을 만들었습니다.

함수는 그의 테일러 급수의 유한 숫자의 항을 사용함으로써 근사화될 수 있습니다. 테일러의 정리(Taylor's theorem)는 그러한 근사의 사용에 의해 도입되는 오차에 대한 정량적인 추정을 제공합니다. 테일러 급수의 일부 초기 항을 취하여 형성된 다항식은 테일러 다항식으로 불립니다. 함수의 테일러 급수는, 극한이 존재한다는 조건으로, 차수가 증가할 때, 해당 함수의 테일러 다항식의 극한(limit)입니다. 함수는, 비록 그의 테일러 급수가 모든 각 점에서 수렴(converges)할지라도, 그의 테일러 급수와 같지 않을 수 있습니다. 열린 구간(open interval) (또는 복소 평면(complex plane)에서 디스크(disc))에서 그의 테일러 급수와 같아지는 함수는 해당 구간에서 해석적 함수(analytic function)로 알려져 있습니다.

Definition

실수(real) 또는 복소수(complex number) a에서 무한하게 미분-가능인 실수(real) 또는 복소-값(complex-valued function) 함수 f (x)의 테일러 급수는 거듭제곱 급수(power series)입니다:

\(\quad\displaystyle f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots, \)

여기서 n!은 n의 팩토리얼(factorial)을 나타냅니다. 보다 간결한 시그마 표기법(sigma notation)에서, 이것은 다음으로 쓸 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle  \sum_{n=0} ^ {\infty} \frac {f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}, \)

여기서 \(f^{(n)}(a)\)는 점 a에서 평가된 f의 n번째 도함수(derivative)를 나타냅니다. (f의 차수 영의 도함수는 f 자체로 정의되고 \((x-a)^0\) 및 0!은 둘 다 1로 정의됩니다.)

a = 0일 때, 급수는 매클로린 급수(Maclaurin series)로 역시 불립니다.

Examples

임의의 다항식(polynomial)에 대해 테일러 급수는 다항식 자체입니다.

\(\tfrac{1}{1-x}\)에 대해 매클로린 급수는 기하 급수(geometric series)입니다:

\(\quad 1+x+x^2+x^3+\cdots\)

그래서 a = 1에서 \(\tfrac{1}{x}\)에 대해 테일러 급수는 다음입니다:

\(\quad 1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots.\)

위의 매클로린 급수를 적분함으로써, 우리는 ln(1 − x)에 대해 매클로린 급수를 찾으며, 여기서 로그(ln)는 자연 로그(natural logarithm)를 나타냅니다:

\(\quad -x-\tfrac{1}{2}x^2-\tfrac{1}{3}x^3-\tfrac{1}{4}x^4-\cdots\).

a = 1에서 ln x에 대해 대응하는 테일러 급수는 다음입니다:

\(\quad (x-1)-\tfrac{1}{2}(x-1)^2+\tfrac{1}{3}(x-1)^3-\tfrac{1}{4}(x-1)^4+\cdots,\)

그리고 보다 일반적으로, 임의의 비-영 점 \(a=x_0\)에서 ln x에 대해 대응하는 테일러 급수는 다음입니다:

\(\quad\displaystyle \ln a + \frac{1}{a} ( x - a ) - \frac{1}{a^2}\frac{\left( x - a \right)^2}{2} + \cdots.\)

a = 0에서 지수 함수(exponential function) \(e^x\)에 대해 테일러 급수는 다음입니다:

\(\quad \begin{align}
   \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} &= \frac{x^0}{0!} + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots \\
   &= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots.
 \end{align}\)

위의 전개는 유지되는데 왜냐하면 x에 관한 \(e^x\)의 도함수는 역시 \(e^x\)이고 \(e^0\)은 1이기 때문입니다. 이것은 무한 합에서 각 항에 대해 분모에서 항 n! 및 분자에서 항 \((x-0)^n\)을 남깁니다.

History

그리스 철학자 제논(Zeno)은 유한 결과를 얻기 위해 무한 급수를 합하는 문제를 고려했지만, 불가능한 것으로 그것을 거부했습니다; 그 결과는 제논의 역설(Zeno's paradox)이었습니다. 나중에, 아리스토텔레스(Aristotle)는 그 역설에 대한 철학적 해결을 제안했지만, 수학적 내용은, 소크라테스 이전(Presocratic) 원자론자(Atomist) 데모크리토스(Democritus)에 의해 아리스토텔레스 이전에 있었지만, 아르키메데스에 의해 채택될 때까지 분명히 해결되지 않았습니다. 그것은 아르키메데스의 소진의 방법(method of exhaustion)을 통해 점진적인 부분-나눔의 무한 숫자가 유한 결과를 달성하기 위해 수행될 수 있는 것입니다. 류 혜(Liu Hui)는 수세기 후에 독자적으로 비슷한 방법을 사용했습니다.

14세기에, 테일러 급수 및 밀접하게 관련된 방법의 사용의 가장-초기의 예제는 산가마그라마의 마드하바(Madhava of Sangamagrama)에 의해 제공되었습니다. 비록 그의 연구의 기록은 남아있지 않을지라도, 후기의 인도 수학자들(Indian mathematics)의 기록은 그가 테일러 급수의 많은 특수 사례를 발견했음을 암시하며, 사인(sine), 코사인(cosine), 탄젠트(tangent), 및 아크탄젠트(arctangent)의 삼각 함수(trigonometric function)에 대해 그것들을 포함합니다. 천문과 수학의 케랄라 학교(Kerala School of Astronomy and Mathematics)는 16세기까지 다양한 급수 전개와 유리수 근사로 그의 연구를 보다 확장했습니다.

17세기에서, 제임스 그레고리(James Gregory)는 이 분야에서 역시 연구했고 여러 매클로린 급수를 발표했습니다. 어쨌든 그들이 존재하는 모든 함수에 대해 이들 급수를 구성하기 위한 일반적인 방법은 브룩 테일러(Brook Taylor)에 의해 제공되는 1715년까지 없었으며, 테일러 이후에 급수는 지금 이름이 지어졌습니다.

매클로린 급수는, 에딘버러에서 교수, 콜린 매클로린(Colin Maclaurin)의 이름을 따서 지어졌으며, 그는 18세기에서 테일러 결과의 특별한 경우를 발표했습니다.

Analytic functions

만약 f (x)가 복소 평면에서 b에 중심을 두는 열린 디스크 (또는 실수 직선에서 구간)에서 수렴되는 거듭제곱 급수에 의해 주어지면, 이 디스크에서 해석적(analytic)이라고 말합니다. 따라서, 이 디스크 안의 x에 대해, f는 다음 수렴하는 거듭제곱 급수에 의해 제공됩니다:

\(\quad\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-b)^n.\)

위의 공식을 x에 관해 n번 미분하고, 그런-다음 x = b를 설정하면 다음을 제공하고:

\(\quad\displaystyle \frac{f^{(n)}(b)}{n!} = a_n\)

그래서 거듭제곱 급수 전개는 테일러 급수와 부합합니다. 따라서 함수가 b에 중심을 둔 열린 디스크에서 해석적인 것과 그의 테일러 급수가 디스크의 각 점에서 함수의 값에 수렴하는 것은 필요충분 조건입니다.

만약 f (x)가 복소 평면에서 모든 x에 대해 그의 테일러 급수와 같으면, 그것은 전체(entire)로 불립니다. 다항식, 지수 함수(exponential function) \(e^x\), 및 삼각 함수(trigonometric function) 사인 및 코사인은 전체 함수의 예제입니다. 전체가 아닌 함수의 예제는 제곱근(square root), 로그(logarithm), 삼각 함수(trigonometric function) 탄젠트, 및 그의 역, 아크탄젠트(arctan)를 포함합니다. 이들 함수에 대해, 테일러 급수는, 만약 x가 b로부터 멀리 떨어져 있으면, 수렴(converge)하지 않습니다. 즉, 테일러 급수는, 만약 x와 b 사이의 거리가 수렴의 반지름(radius of convergence)보다 크면, x에서 발산(diverges)합니다. 테일러 급수는, 만약 함수, 및 그의 도함수의 모두의 값이 단일 점에서 알려져 있으면, 모든 각 점에서 전체 함수의 값을 계산하기 위해 사용될 수 있습니다.

해석적 함수에 대해 테일러 급수의 사용은 다음을 포함합니다:

  1. 급수의 부분 합 (테일러 다항식(Taylor polynomial))은 함수의 근사로 사용될 수 있습니다. 이들 근사는, 만약 충분하게 많은 항이 포함되면, 좋습니다.
  2. 거듭제곱 급수의 미분화 및 적분화는 항별로 수행될 수 있고 따라서 특별히 쉽습니다.
  3. 해석적 함수(analytic function)는 복소 평면(complex plane)에서 열린 디스크(open disk) 위의 정칙 함수(holomorphic function)로 고유하게 확장됩니다. 이것은 복소 해석학(complex analysis)의 기계를 유효하게 만듭니다.
  4. (잘린) 급수는 수치적으로 함수 값을 계산하기 위해 사용될 수 있습니다 (종종 체비쇼프 형식(Chebyshev form)으로 다항식을 다시-씀으로써 및 글린샵 알고리듬(Clenshaw algorithm)을 사용하여 평가함).
  5. 대수적 연산은 거듭제곱 급수 표시에서 쉽게 행해질 수 있습니다; 예를 들어, 오일러의 공식(Euler's formula)은 삼각 함수와 지수 함수에 대해 테일러 급수 전개로부터 따릅니다. 이 결과는 조화 해석학(harmonic analysis)과 같은 그러한 분야에서 근본적으로 중요합니다.
  6. 테일러 급수의 처음 몇 항을 사용하여 근사는 제한된 도메인에 대해 다른 방법으로 해결할 수 없는 문제를 가능하게 만듭니다; 이 접근은 물리학에서 종종 사용됩니다.

Approximation error and convergence

오른쪽 위의 그림은 점 x = 0 주위의 sin x의 정확한 근사입니다. 분홍색 곡선은 차수 칠의 다항식입니다:

\(\quad\displaystyle \sin\left( x \right) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}.\!\)

이 근사에서 오차는 \(\tfrac{|x|^9}{9!}\)보다 크지 않습니다. 특히, −1 < x < 1에 대해, 오차는 0.000003보다 작습니다.

대조적으로, 자연 로그 함수 log(1 + x)의 그림과 a = 0 주위의 그의 테일러 다항식(Taylor polynomial)의 일부도 역시 보여줍니다. 이들 근사는 오직 영역 −1 < x ≤ 1에서 함수로 수렴합니다; 이 영역의 바깥쪽에서, 더 높은 차수의 테일러 다항식은 함수에 대해 더 나쁜 근사입니다. 이것은 룽게의 현상(Runge's phenomenon)과 비슷합니다.

그의 n번째-차수 테일러 다항식에 의해 함수를 근사하는 것에서 발생하는 오차는 나머지(remainder) 또는 유수(residual)로 불리고 함수 \(R_n(x)\)에 의해 표시됩니다. 테일러의 정리(Taylor's theorem)는 나머지의 크기에 대한 경계를 얻기 위해 사용될 수 있습니다.

일반적으로, 테일러 급수는 수렴(convergent)할 필요가 없습니다. 그리고 사실 수렴하는 테일러 급수를 갖는 함수의 집합은 매끄러운 함수(smooth functions)의 프레셰 공간(Fréchet space)에서 마른 집합(meager set)입니다. 그리고 비록 함수 f의 테일러 급수가 수렴하더라도, 그의 극한은 함수 f (x)의 값과 일반적으로 같을 필요는 없습니다. 예를 들어, 함수

\(\quad
f(x) = \begin{cases}
e^{-\frac{1}{x^2}}&\text{if } x\neq0\\
0&\text{if } x=0
\end{cases}
\)

는 x = 0에서 무한하게 미분-가능(infinitely differentiable)이고, 그곳에서 모든 도함수 영을 가집니다. 결과적으로, x = 0에 대한 f (x)의 테일러 급수는 똑같이 영입니다. 어쨌든, f (x)는 영 함수가 아니므로, 원점 주위의 그의 테일러 급수와 같지 않습니다. 따라서, f (x)는 비-해석적 매끄러운 함수(non-analytic smooth function)의 예제입니다.

실수 해석학(real analysis)에서, 이 예제는 비록 그들이 수렴하더라도 그의 테일러 급수가 f (x)와 같지 않은 무한하게 미분-가능 함수(infinitely differentiable function) f (x)가 있음을 보입니다. 대조적으로, 복소 해석학(complex analysis)에서 연구되는 정칙 함수(holomorphic function)는 항상 수렴하는 테일러 급수를 소유하고, 심지어 특이점을 가질 수 있는, 유리형 함수(meromorphic function)의 테일러 급수는 함수 자체와 다른 값으로 절대 수렴하지 않습니다. 복소 함수 \(e^{-1/z^2}\)는, 어쨌든, z가 허수 축을 따라 0에 접근할 때, 0에 접근하지 않으므로, 그것은 복소 평면에서 연속(continuous)이 아니고 그의 테일러 급수는 0에서 정의되지 않습니다.

보다 일반적으로, 실수 또는 복소수의 모든 각 수열은 보렐의 보조 정리(Borel's lemma)의 결과, 실수 직선 위에 정의된 무한하게 미분-가능 함수의 테일러 급수에서 계수(coefficient)로 나타날 수 있습니다. 결과에서 처럼, 테일러 급수의 수렴의 반지름(radius of convergence)은 영이 될 수 있습니다. 테일러 급수가 어디에나 수렴의 반지름 0을 가지는 실수 직선 위에 정의된 심지어 무한하게 미분-가능 함수가 있습니다.

함수는 특이점(singularity)에 중심을 둔 테일러 급수로 쓸 수 없습니다; 이들 경우에서, 우리는 만약 우리가 변수 x의 음의 거듭제곱을 역시 허용하면, 종종 급수 전개를 여전히 달성할 수 있습니다; 로랑 급수(Laurent series)를 참조하십시오. 예를 들어, \(f(x)=e^{-1/x^2}\)는 로랑 급수로 쓸 수 있습니다.

Generalization

유한 차이(finite differences)의 미적분학을 사용하여, (0,∞) 위의 임의의 경계진(bounded) 연속 함수(continuous function)에 대해 함수 자체의 값에 수렴하는 테일러 급수의 일반화가, 어쨌든, 있습니다. 구체적으로, 우리는, 아이나 힐(Einar Hille)에 기인하는, 임의의 t > 0에 대해, 다음인 정리를 가집니다:

\(\quad\displaystyle \lim_{h\to 0^+}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}\frac{\Delta_h^nf(a)}{h^n} = f(a+t).\)

여기서 \(\Delta_n^n\)는 단계 크기 h를 갖는 n번째 유한 차이 연산자입니다. 급수는, 분할된 차이가 미분화의 장소에서 나타나는 것을 제외하고, 정확하게 테일러 급수입니다: 그 급수는 공식적으로 뉴턴 급수(Newton series)와 유사합니다. 함수 f가 a에서 해석적일 때, 급수에서 항은 테일러 급수의 항에 수렴하고, 이 의미에서 보통의 테일러 급수를 일반화합니다.

일반적으로, 임의의 무한한 수열 \(a_i\)에 대해, 다음 거듭제곱 급수 항등식은 유지됩니다:

\(\quad\displaystyle \sum_{n=0}^\infty\frac{u^n}{n!}\Delta^na_i = e^{-u}\sum_{j=0}^\infty\frac{u^j}{j!}a_{i+j}.\)

그래서 특히, 다음입니다:

\(\quad\displaystyle f(a+t) = \lim_{h\to 0^+} e^{-\frac{t}{h}}\sum_{j=0}^\infty f(a+jh) \frac{\left(\frac{t}{h}\right)^j}{j!}.\)

오른쪽에 급수는 f (a + X)의 기댓값(expectation value)이며, 여기서 X는, 확률 \(e^{-t/h} \cdot \tfrac{(t/h)^j}{j!}\)을 갖는 값 jh를 취하는, 푸아송-분포된(Poisson-distributed) 확률 변수(random variable)입니다. 따라서,

\(\quad\displaystyle f(a+t) = \lim_{h\to 0^+} \int_{-\infty}^\infty f(a+x)dP_{\frac{t}{h},h}(x).\)

큰 숫자의 법칙(law of large numbers)은 항등식이 유지됨을 의미합니다.

List of Maclaurin series of some common functions

여러 중요한 매클로린 급수 전개가 따라옵니다. 모든 이들 전개는 복소수 인수 x에 대해 유효합니다.

Exponential function

(밑수 e를 갖는) 지수 함수(exponential function) \(e^x\)는 다음 매클로린 급수를 가집니다:

\(\quad\displaystyle e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \).

그것은 모든 x에 대해 수렴합니다.

Natural logarithm

(밑수 e를 갖는) 자연 로그(natural logarithm)는 다음 매클로린 급수를 가집니다:

\(\quad \begin{align}
\ln(1-x) &= - \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n = -x - \frac{x^2}2 - \frac{x^3}3 - \cdots , \\
\ln(1+x) &= \sum^\infty_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 - \cdots .
\end{align}\)

그들은 \(|x| < 1\)에 대해 수렴합니다. (게다가, ln(1 − x)에 대해 급수는 x = −1에 대해 수렴하고, ln(1 + x)에 대해 급수는 x = 1에 대해 수렴합니다.)

Geometric series

기하 급수(geometric series)와 그의 도함수는 다음 매클로린 급수를 가집니다:

\(\quad \begin{align}
\frac{1}{1-x} &= \sum^\infty_{n=0} x^n \\
\frac{1}{(1-x)^2} &= \sum^\infty_{n=1} nx^{n-1}\\
\frac{1}{(1-x)^3} &= \sum^\infty_{n=2} \frac{(n-1)n}{2} x^{n-2}.
\end{align}\)

모두는 \(|x| < 1\)에 대해 수렴합니다. 이들은 다음 섹션에서 제공되는 이항 급수(binomial series)의 특별한 경우입니다.

Binomial series

이항 급수(binomial series)는 다음 거듭제곱 급수입니다:

\(\quad\displaystyle (1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^n\)

그의 계수는 다음 일반화된 이항 계수(binomial coefficient)입니다:

\(\quad\displaystyle \binom{\alpha}{n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.\)

(만약 n = 0이면, 이 곱은 빈 곱(empty product)이고 값 1을 가집니다.) 그것은 실수 또는 복소수 α에 대해 \(|x| < 1\)에 대해 수렴합니다.

α = −1일 때, 이것은 본질적으로 이전 섹션에서 언급된 무한 기하 급수입니다. 특별한 경우 \(\alpha=\tfrac12\)와 \(\alpha=-\tfrac12\)은 제곱근(square root) 함수와 그의 역(inverse)을 제공합니다:

\(\quad \begin{align} 
(1+x)^\frac12 &= 1 + \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{8}x^2 + \tfrac{1}{16}x^3 - \tfrac{5}{128}x^4 + \tfrac{7}{256}x^5 - \ldots, \\
(1+x)^{-\frac12} &= 1 -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{8}x^2 - \tfrac{5}{16}x^3 + \tfrac{35}{128}x^4 - \tfrac{63}{256}x^5 + \ldots.
\end{align}\)

오직 선형 항(linear term)이 유지될 때, 이것은 이항 근사(binomial approximation)로 단순화됩니다.

Trigonometric functions

보통 삼각 함수(trigonometric function)와 그들의 역은 다음 매클로린 급수를 가집니다:

\(\begin{align}
\sin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} &&= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\cos x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &&= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\tan x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots && \text{for }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\sec x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} &&=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\cdots && \text{for }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\arcsin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} &&=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots && \text{for }|x| \le 1\\[6pt]
\arccos x &=\frac{\pi}{2}-\arcsin x\\&=\frac{\pi}{2}- \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}&&=\frac{\pi}{2}-x-\frac{x^3}{6}-\frac{3x^5}{40}-\cdots&& \text{for }|x| \le 1\\[6pt]
\arctan x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} &&=x-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}-\cdots && \text{for }|x| \le 1,\ x\neq\pm i
\end{align}\)

모든 각은 라디안(radian)에서 표현됩니다. tan x의 전개에서 나타나는 숫자 \(B_k\)는 베르누이 숫자(Bernoulli numbers)입니다. sec x의 전개에서 \(E_k\)는 오일러 숫자(Euler number)입니다.

Hyperbolic functions

쌍곡선 함수(hyperbolic function)는 대응하는 삼각 함수에 대해 급수와 밀접하게 관련된 매클로린 급수를 가집니다:

\(\begin{align}
\sinh x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} &&= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\cosh x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} &&= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots && \text{for all } x\\[6pt]
\tanh x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n \left(4^n-1\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots && \text{for }|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt]
\operatorname{arsinh} x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} && && \text{for }|x| \le 1\\[6pt]
\operatorname{artanh} x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} && && \text{for }|x| \le 1,\ x\neq\pm 1
\end{align}\)

tanh x에 대해 급수에서 나타나는 숫자 \(B_k\)는 베르누이 숫자(Bernoulli numbers)입니다.

Calculation of Taylor series

여러 방법이 수많은 함수의 테일러 급수를 계산하기 위해 존재합니다. 우리는 비록 이것이 손쉽게 명백한 패턴에 따라 계수의 형식을 일반화하는 것을 종종 요구할지라도, 테일러 급수의 정의를 사용을 시도할 수 있습니다. 대안적으로, 우리는, 테일러 급수가 거듭제곱 급수인 장점에 의해, 함수의 테일러 급수를 구성하기 위해 표준 테일러 급수의 치환, 곱셈 또는 나눗셈, 덧셈 또는 뺄셈과 같은 조작을 사용할 수 있습니다. 일부 경우에서, 우리는 부분에 의해 적분화(integration by parts)를 반복적으로 적용함으로써 테일러 급수를 역시 도출할 수 있습니다. 테일러 급수를 계산하기 위해 컴퓨터 대수학 시스템(computer algebra system)의 사용은 특히 편리합니다.

First example

다음 함수에 대해 7번째 차수 매클로린 다항식을 계산하기 위해

\(\quad\displaystyle f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\) ,

우리는 먼저 다음으로 함수를 다시-쓸 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle f(x)=\ln\bigl(1+(\cos x-1)\bigr)\!\).

자연 로그에 대해 테일러 급수는 (대문자 O 표기법(big O notation)을 사용하여) 다음이고:

\(\quad\displaystyle \ln(1+x) = x - \frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 + {O}\left(x^4\right)\!\)

코사인 함수에 대해 다음입니다:

\(\quad\displaystyle \cos x - 1 = -\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + {O}\left(x^8\right)\!\).

후자 급수 전개는 영 상수 항(constant term)을 가지며, 이것은 두 번째 급수를 첫 번째 급수로 대체하고 대문자 O 표기법을 사용하여 7번째 차수보다 높은 차수의 항을 쉽게 생략하는 것을 허용합니다:

\(\quad \begin{align}f(x)&=\ln\bigl(1+(\cos x-1)\bigr)\\
&=(\cos x-1) - \tfrac12(\cos x-1)^2 + \tfrac13(\cos x-1)^3+ {O}\left((\cos x-1)^4\right)\\
&=\left(-\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} +{O}\left(x^8\right)\right)-\frac12\left(-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}+{O}\left(x^6\right)\right)^2+\frac13\left(-\frac{x^2}2+O\left(x^4\right)\right)^3 + {O}\left(x^8\right)\\ & =-\frac{x^2}2 + \frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720} - \frac{x^4}8 + \frac{x^6}{48} - \frac{x^6}{24} +O\left(x^8\right)\\
& =- \frac{x^2}2 - \frac{x^4}{12} - \frac{x^6}{45}+O\left(x^8\right). \end{align}\!\)

코사인은 짝수 함수(even function)이므로, 모든 홀수 거듭제곱 \(x, x^3, x^5, x^7, ...\)에 대해 계수는 반드시 영이어야 합니다.

Second example

우리가 다음 함수의 0에서 테일러 급수를 원한다고 가정합니다:

\(\quad\displaystyle g(x)=\frac{e^x}{\cos x}.\!\)

우리는 지수 함수에 대해 다음을 가지고:

\(\quad\displaystyle e^x = \sum^\infty_{n=0} \frac{x^n}{n!} =1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}+\cdots\!\)

첫 번째 예제에서 처럼, 다음입니다:

\(\quad\displaystyle \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\!\)

거듭제곱 함수는 다음임을 가정합니다:

\(\quad\displaystyle \frac{e^x}{\cos x} = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots\!\)

그런-다음 분모를 곱셈하고 코사인의 급수의 치환은 다음을 산출합니다:

\(\quad \begin{align} e^x &= \left(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots\right)\cos x\\
&=\left(c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + c_4x^4 + \cdots\right)\left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\right)\\&=c_0 - \frac{c_0}{2}x^2 + \frac{c_0}{4!}x^4 + c_1x - \frac{c_1}{2}x^3 + \frac{c_1}{4!}x^5 + c_2x^2 - \frac{c_2}{2}x^4 + \frac{c_2}{4!}x^6 + c_3x^3 - \frac{c_3}{2}x^5 + \frac{c_3}{4!}x^7 + c_4x^4 +\cdots \end{align}\!\)

사차까지 항을 모으는 것은 다음을 산출합니다:

\(\quad\displaystyle e^x =c_0 + c_1x + \left(c_2 - \frac{c_0}{2}\right)x^2 + \left(c_3 - \frac{c_1}{2}\right)x^3+\left(c_4-\frac{c_2}{2}+\frac{c_0}{4!}\right)x^4 + \cdots\!\)

\(c_i\)의 값은 \(e^x\)에 대해 제일 위의 표현과 계수의 비교에 의해 구할 수 있으며, 다음을 산출합니다:

\(\quad\displaystyle \frac{e^x}{\cos x}=1 + x + x^2 + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^4}{2} + \cdots.\!\)

Third example

여기서 우리는 주어진 함수를 전개하기 위해 "간접 전개"로 불리는 방법을 사용합니다. 이 방법은 지수 함수의 알려진 테일러 전개를 사용합니다. x에서 테일러 급수로 \((1+x)e^x\)를 전개하기 위해, 우리는 함수 \(e^x\)의 알려진 테일러 급수를 사용합니다:

\(\quad\displaystyle e^x = \sum^\infty_{n=0} \frac{x^n}{n!} =1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!}+\cdots.\)

따라서,

\(\quad \begin{align}(1+x)e^x &= e^x + xe^x = \sum^\infty_{n=0} \frac{x^n}{n!} + \sum^\infty_{n=0} \frac{x^{n+1}}{n!} = 1 + \sum^\infty_{n=1} \frac{x^n}{n!} + \sum^\infty_{n=0} \frac{x^{n+1}}{n!} \\ &= 1 + \sum^\infty_{n=1} \frac{x^n}{n!} + \sum^\infty_{n=1} \frac{x^n}{(n-1)!} =1 + \sum^\infty_{n=1}\left(\frac{1}{n!} + \frac{1}{(n-1)!}\right)x^n \\ &= 1 + \sum^\infty_{n=1}\frac{n+1}{n!}x^n\\ &= \sum^\infty_{n=0}\frac{n+1}{n!}x^n.\end{align}\)

Taylor series as definitions

고전적으로, 대수 함수(algebraic function)는 대수 방정식에 의해 정의되고, (위에서 논의된 그들을 포함하여) 초월 함수(transcendental function)가, 미분 방정식(differential equation)과 같은, 그들에 대해 소유하는 어떤 속성에 의해 정의됩니다. 예를 들어, 지수 함수(exponential function)는 어디에서나 그 자신의 도함수와 같은 함수이고, 원점에서 값 1을 가정합니다. 어쨌든, 그의 테일러 급수에 의해 해석적 함수(analytic function)를 똑같이 잘 정의할 수 있습니다.

테일러 급수는 함수 그리고 수학의 다양한 영역에서 "연산자(operator)"를 정의하기 위해 사용됩니다. 특히, 이것은 함수의 고전적인 정의가 실패하는 영역에서 참입니다. 예를 들어, 테일러 급수를 사용하여, 행렬 지수(matrix exponential) 또는 행렬 로그(matrix logarithm)와 같은 행렬과 연산자의 집합에 해석적 함수를 확장할 수 있습니다.

형식의 해석학과 같은, 다른 영역에서, 그것은 그들 자신의 거듭제곱 급수와 직접 작업하는 것이 더 편리합니다. 따라서 거듭제곱 급수(power series)로 미분 방정식의 해를 정의할 수 있으며, 이것은, 증명하기 바라는, 희망하는 해의 테일러 급수입니다.

Taylor series in several variables

테일러 급수는 다음을 갖는 하나의 변수보다 많은 변수의 함수로 역시 일반화될 수 있습니다:

\(\quad \begin{align}
T(x_1,\ldots,x_d) &= \sum_{n_1=0}^\infty \cdots \sum_{n_d = 0}^\infty  \frac{(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\,\left(\frac{\partial^{n_1 + \cdots + n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\ldots,a_d) \\
&= f(a_1, \ldots,a_d) + \sum_{j=1}^d \frac{\partial f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j} (x_j - a_j) + \frac{1}{2!} \sum_{j=1}^d \sum_{k=1}^d \frac{\partial^2 f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k} (x_j - a_j)(x_k - a_k) \\ 
& \qquad \qquad + \frac{1}{3!} \sum_{j=1}^d\sum_{k=1}^d\sum_{l=1}^d \frac{\partial^3 f(a_1, \ldots,a_d)}{\partial x_j \partial x_k \partial x_l} (x_j - a_j)(x_k - a_k)(x_l - a_l) + \cdots
\end{align}\)

예를 들어, 두 변수, x와 y에 의존하는 함수 \(f(x,y)\)에 대해, 점 (a, b)에 대한 이차까지 테일러 급수는 다음입니다:

\(\quad\displaystyle f(a,b) +(x-a) f_x(a,b) +(y-b) f_y(a,b) + \frac{1}{2!}\Big( (x-a)^2 f_{xx}(a,b) + 2(x-a)(y-b) f_{xy}(a,b) +(y-b)^2 f_{yy}(a,b) \Big)\)

여기서 아래-첨자는 각각의 부분 도함수(partial derivative)를 나타냅니다.

두 개 이상의 변수의 스칼라-값 함수의 이-차 테일러 급수 전개는 다음으로 컴팩트하게 쓸 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + (\mathbf{x} - \mathbf{a})^\mathsf{T} D f(\mathbf{a}) + \frac{1}{2!} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^\mathsf{T} \left \{D^2 f(\mathbf{a}) \right \} (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots,\)

여기서 D f (a)는 x = a에서 평가된 f의 그래디언트(gradient)이고 \(D^2 f(\mathbf{a})\)은 헤세 행렬(Hessian matrix)입니다. 다중-인덱스 표기법(multi-index notation)을 적용하여 여러 변수에 대해 테일러 급수는 다음이 됩니다:

\(\quad\displaystyle T(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \geq 0}\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{a})^\alpha}{\alpha !} \left({\mathrm{\partial}^{\alpha}}f\right)(\mathbf{a}),\)

이것은 이 단락의 첫 번째 방정식의 여전히 보다 단축된 다중-인덱스(multi-index) 버전으로 이해되어야 하며, 다시 단일 변수의 경우와 완전히 아날로그입니다.

Example

다음 함수의 점 (a, b) = (0, 0) 주위의 이-차 테일러 급수 전개를 계산하기 위해

\(\quad f(x,y)=e^x\ln(1+y),\)

우리는 먼저 모든 필요한 부분 도함수를 계산합니다:

\(\quad \begin{align}
f_x &= e^x\ln(1+y) \\[6pt]
f_y &= \frac{e^x}{1+y} \\[6pt]
f_{xx} &= e^x\ln(1+y) \\[6pt]
f_{yy}  &= - \frac{e^x}{(1+y)^2}  \\[6pt]
f_{xy} &=f_{yx} =  \frac{e^x}{1+y} .
\end{align}\)

원점에서 이들 도함수를 평가하면 다음 테일러 계수를 제공합니다:

\(\quad \begin{align}
f_x(0,0) &= 0 \\
f_y(0,0) &=1 \\
f_{xx}(0,0) &=0 \\
f_{yy}(0,0) &=-1 \\
f_{xy}(0,0) &=f_{yx}(0,0)=1.
\end{align}\)

이들 값을 일반적인 공식에 대입하면

\(\quad\displaystyle T(x,y) = f(a,b) +(x-a) f_x(a,b) +(y-b) f_y(a,b) +\frac{1}{2!}\Big( (x-a)^2f_{xx}(a,b) + 2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b) +(y-b)^2 f_{yy}(a,b) \Big)+ \cdots\)

다음을 생산합니다:

\(\quad \begin{align}
T(x,y) &= 0 + 0(x-0) + 1(y-0) + \frac{1}{2}\Big( 0(x-0)^2 + 2(x-0)(y-0) + (-1)(y-0)^2 \Big) + \cdots \\
&= y + xy - \frac{y^2}{2} + \cdots 
\end{align}\)

ln(1 + y)는 |y| < 1에서 해석적이므로, 우리는 다음을 가집니다:

\(\quad\displaystyle e^x\ln(1+y)= y + xy - \frac{y^2}{2} + \cdots, \qquad |y| < 1.\)

Comparison with Fourier series

삼각법 푸리에 급수(Fourier series)는 주기 함수(periodic function) (또는 닫힌 구간 [a,b] 위에 정의된 함수)를 삼각 함수(trigonometric function) (사인(sine) 및 코사인(cosine))의 무한 합으로 나타내는 것을 허용합니다. 이 의미에서, 푸리에 급수는 테일러 급수와 유사한데, 왜냐하면 후자는 함수를 거듭제곱(powers)의 무한 합으로 표현하는 것을 허용하기 때문입니다. 그럼에도 불구하고, 두 급수는 여러 관련된 문제에서 서로 다릅니다:

  • 점 x = a에 대한 f (x)의 테일러 급수의 유한 절단은 a에서 f와 모두 정확하게 같습니다. 대조적으로, 푸리에 급수는 전체 구간에 걸쳐 적분함으로써 계산되므로, 급수의 모든 유한 절단은 정확한 그러한 점은 일반적으로 없습니다.
  • 테일러 급수의 계산은 점의 임의의 작은 이웃(neighbourhood) 위에 함수의 지식을 요구하지만, 반면에 푸리에 급수의 계산은 그의 전체 도메인 구간(interval) 위에 함수를 아는 것을 요구합니다. 특정 의미에서, 우리는 테일러 급수는 "지역적"이고 푸리에 급수는 "전역적"이라고 말할 수 있습니다.
  • 테일러 급수는 단일 점에서 무한하게 많은 도함수를 가지는 함수에 대해 정의되지만, 반면에 푸리에 급수는 임의의 적분-가능(integrable) 함수에 대해 정의됩니다. 특히, 그 함수는 아무-데도 미분-가능이 될 수 없습니다. (예를 들어, f (x)는 바이어슈트라스 함수(Weierstrass function)가 될 수 있습니다.)
  • 두 급수의 수렴은 매우 다른 속성을 가집니다. 비록 테일러 급수가 양의 수렴 반지름을 가질지라도, 결과 급수는 함수와 일치하지 않을 수 있습니다; 그러나 만약 함수가 해석적이면, 급수는 함수에 점마다(pointwise), 및 수렴 구간의 모든 각 컴팩트 부분-집합 위에 균등하게(uniformly) 수렴합니다. 푸리에 급수와 관련하여, 만약 함수가 제곱-적분 가능(square-integrable)이면, 급수는 이차 평균(quadratic mean)에서 수렴이지만, 추가 요구-사항은 점마다 또는 균등 수렴을 보장하기 위해 필요합니다 (예를 들어, 만약 함수가 주기적이고 클래스 \(C^1\)의 것이면, 수렴은 균등입니다).
  • 마지막으로, 연습에서, 우리는 항의 유한 숫자, 말하자면 각각 테일러 다항식 또는 삼각 함수 급수의 부분 합으로, 함수를 근사하기를 원합니다. 테일러 급수의 경우에서, 오차는 그것이 계산되는 점의 이웃에서 매우 작지만, 그것은 먼 점에서 매우 클 수 있습니다. 푸리에 급수의 경우에서, 오차는 함수의 도메인을 따라 분포됩니다.

See also

 

 

References

External links

 

 

 

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