수학(mathematics)에서, 발산에 대해 n-번째 항 테스트(nth-term test for divergence)는 무한 급수(infinite series)의 발산(divergence)에 대해 간단한 테스트입니다:
- 만약 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0\)이면 또는 만약 극한이 존재하지 않으면, \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\) 발산합니다.
많은 저자가 이 시험의 이름을 지정하지 않거나 그것에 더 짧은 이름을 지정합니다.
만약 급수가 수렴 또는 발산인지를 테스트할 때, 이 테스트는 그의 사용 편의성으로 인해 종종 먼저 확인됩니다.
Usage
더 강력한 수렴 테스트(convergence tests)와 달리, 항 테스트는 급수가 수렴함(converges)을 스스로 입증할 수는 없습니다. 특히, 테스트에 대한 수렴은 사실이 아닙니다; 대신 우리 모두는 다음임을 말합니다:
- 만약 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0\)이면, \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\)는 수렴이거나 수렴하지 않습니다. 달리 말해서, 만약 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0\)이면, 그 테스트는 결정적이지 않습니다.
조화 급수(harmonic series)는 그의 항이 영으로 극한하는 발산하는 급수의 고전적인 예제입니다. p-급수(p-series)의 보다 일반적인 경우,
는 테스트의 가능한 결과를 예시합니다:
- 만약 p ≤ 0이면, 항 테스트는 급수를 발산으로 식별합니다.
- 만약 0 < p ≤ 1이면, 항 테스트는 결정적이지 않지만, 급수는 수렴에 대해 적분 테스트(integral test for convergence)에 의해 발산입니다.
- 만약 1 < p이면, 항 테스트는 결정적이지 않지만, 급수는 다시 수렴에 대해 적분 테스트에 의해 수렴입니다.
Proofs
테스트는 대우(contrapositive) 형식에서 전형적으로 입증됩니다:
- 만약 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\)가 수렴하면, \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0\)입니다.
Limit manipulation
만약 \(s_n\)이 급수의 부분 합이면, 급수가 수렴한다는 가정은 어떤 숫자 s에 대해 다음임을 의미합니다:
\(\quad\displaystyle \lim_{n\to\infty} s_n = L\).
그런-다음 다음입니다:
\(\quad\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}(s_n-s_{n-1}) = \lim_{n\to\infty} s_n - \lim_{n\to\infty} s_{n-1} = L-L = 0.\)
Cauchy's criterion
급수가 수렴한다는 가정은 그것이 코시의 수렴 테스트(Cauchy's convergence test)를 통과함을 의미합니다: 모든 각 \(\varepsilon>0\)에 대해, 모든 n > N이고 p ≥ 1에 대해 다음
\(\quad |a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p}|<\varepsilon\)
이 유지됨을 만족하는 숫자 N이 있음을 의미합니다. p = 1을 설정하면 명제의 정의를 북구합니다:
\(\quad\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0.\)
Scope
항 테스트의 가장-간단한 버전은 실수(real number)의 무한 급수에 적용됩니다. 코시 기준 또는 극한의 선형성을 불러냄으로써, 위의 두 증명은 임의의 다른 노름 벡터 공간(normed vector space) (또는 임의의 (추가적으로 쓰인) 아벨 그룹)에서 역시 작동합니다.
References
- Brabenec, Robert (2005). Resources for the study of real analysis. MAA. ISBN 0883857375.
- Hansen, Vagn Lundsgaard (2006). Functional Analysis: Entering Hilbert Space. World Scientific. ISBN 9812565639.
- Kaczor, Wiesława and Maria Nowak (2003). Problems in Mathematical Analysis. American Mathematical Society. ISBN 0821820508.
- Rudin, Walter (1976) [1953]. Principles of mathematical analysis (3e ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
- Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals (4e ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2.
- Șuhubi, Erdoğan S. (2003). Functional Analysis. Springer. ISBN 1402016166.
