삼각형의 해 (Latin: solutio triangulorum)는, 삼각형(triangle)의 특성 (각도 및 변의 길이)의 일부가 알려져 있을 때, 그것을 찾기 위한 주요 삼각법의(trigonometric) 문제입니다. 삼각형은 평면(plane) 또는 구(sphere)에 위치될 수 있습니다. 삼각형 해를 요구하는 응용은 측지학(geodesy), 천문학(astronomy), 건설(construction), 및 내비게이션(navigation)을 포함합니다.
Solving plane triangles
일반적인 형식의 삼각형은 여섯 주요 특성을 가지고 있습니다 (그림 참조) : 세 개의 선분 (변 길이 a, b, c)과 세 개의 각도 (α, β, γ)가 있습니다. 고전적인 평면 삼각법 문제는 여섯 특성 중 셋을 지정하고 나머지 셋을 결정하는 것입니다. 삼각형은 다음 중 하나가 주어졌을 때 이러한 의미에서 고유하게 결정될 수 있습니다:
- 세 변 (SSS)
- 두 변과 포함된 각도 (SAS)
- 두 변과 그들 사이에 포함된 것이 아닌 각도 (SSA), 만약 그 각도에 인접한 변 길이가 나머지 변 길이보다 더 짧으면.
- 한 변과 그것에 인접한 두 각도 (ASA)
- 한 변, 그것에 반대 편 각도와 그것에 인접한 각도 (AAS).
평면에서 모든 경우에 대해, 적어도 측면 길이 중 하나가 지정되어야 합니다. 만약 오직 각도가 주어지면, 변 길이는 절대 결정되지 않는데, 왜냐하면 임의의 닮은(similar) 삼각형이 해가 아니기 때문입니다.
Trigonomic relations
문제를 해결하는 표준 방법은 기본 관계를 사용하는 것입니다.
\(\quad a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cos \alpha \)
\(\quad b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cos \beta \)
\(\quad c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos \gamma \)
\(\quad\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}\)
\(\quad \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \)
\(\quad\displaystyle \frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac 1 2 (\alpha+\beta)]}.\)
다른 (때로는 실질적으로 유용한) 보편적 관계: 코탄젠트의 법칙(law of cotangents)과 몰바이데의 공식(Mollweide's formula)이 있습니다.
Notes
- 미지수 각도를 찾으려면, 코사인의 법칙(law of cosines)이 사인의 법칙(law of sines)보다 안전합니다. 그 이유는 삼각형 각도에 대한 사인(sine)의 값이 이 각도를 고유하게 결정하지 않기 때문입니다. 예를 들어, 만약 sin β = 0.5이면, 각도 β는 30° 또는 150°와 같을 수 있습니다. 코사인의 법칙을 사용하면 이 문제를 피할 수 있습니다: 0°에서 180°까지의 구간 내에서 코사인 값이 그것의 각도를 명확하게 결정합니다. 다른 한편으로, 만약 각도가 작으면 (또는 180 °에 가까우면), 아크-코사인 함수가 1 (또는 −1)에서 발산 도함수를 갖기 때문에 그것의 코사인보다 그것의 사인에서 그것을 결정하는 것이 수치적으로 보다 강건합니다.
- 우리는 지정된 특성의 상대적 위치가 알려져 있다고 가정합니다. 그렇지 않다면, 삼각형의 거울 반사는 역시 해결책이 될 것입니다. 예를 들어, 세 변 길이는 하나의 삼각형 또는 그것의 반사를 고유하게 정의합니다.
Three sides given (SSS)
세 변 길이 a, b, c가 지정된 것으로 놓습니다. 각도 α, β를 구하기 위해, 코사인의 법칙(law of cosines)이 사용될 수 있습니다:
\(\quad
\begin{align}
\alpha & = \arccos \frac{b^2 + c^2 - a^2} {2 b c} \\[4pt]
\beta & = \arccos \frac{a^2 + c^2 - b^2} {2 a c}.
\end{align}
\)
그때의 각도는 γ = 180° − α − β입니다.
일부 출처는 사인의 법칙(law of sines)으로부터 각도 β를 찾을 것을 권장하지만 (위의 Note 1에서 언급했듯이) 예각 값과 둔각 값을 혼동할 위험이 있습니다.
알려진 변으로부터 각도를 계산하는 또 다른 방법은 코탄젠트의 법칙(law of cotangents)을 적용하는 것입니다.
Two sides and the included angle given (SAS)
여기서 변 a, b의 길이와 이들 변 사이의 각도 γ가 알려져 있습니다. 세 번째 변은 코사인의 법칙으로부터 결정될 수 있습니다:
\(\quad c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}.\)
이제 우리는 두 번째 각도를 찾기 위해 코사인의 법칙을 사용합니다:
\(\quad \alpha = \arccos \frac{b^2 + c^2 - a^2} {2 b c}.\)
마지막으로, β = 180° − α − γ입니다.
Two sides and non-included angle given (SSA)
이 경우는 모든 경우에서 해결 가능한 것은 아닙니다; 하나의 해는 만약 각도에 인접한 변 길이가 나머지 변 길이보다 짧으면 고유하다는 것이 보장됩니다. 두 변 b, c와 각도 β가 알려져 있다고 가정합니다. 각도 γ에 대해 방정식은 사인의 법칙(law of sines)으로부터 암시될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \sin\gamma = \frac c b \sin\beta.\)
우리는 나아가서 \(D=\tfrac{c}{b} \sin \beta\) (방정식의 오른쪽 변)을 나타냅니다. 네 가지 가능한 경우가 있습니다:
- 만약 D > 1이면, 그러한 삼각형이 존재하지 않는데 왜냐하면 변 b는 직선 BC에 도달하지 못하기 때문입니다. 같은 이유에 대해 만약 각도 β ≥ 90°이고 b ≤ c이면 해는 존재하지 않습니다.
- 만약 D = 1이면, 하나의 고유한 해: γ = 90°가 존재합니다. 즉, 삼각형은 직각(right-angled)입니다.
- 만약 D < 1이면 두 개의 대안이 가능합니다.
- 만약 b ≥ c이면, β ≥ γ입니다 (더 큰 변은 더 큰 각도에 해당합니다). 삼각형은 두 개의 둔각을 가질 수 없으므로, γ는 예각이고 해 γ = arcsin D는 고유합니다.
- 만약 b < c이면, 각도 γ는 예각: γ = arcsin D 또는 둔각: γ′ = 180° − γ일 수 있습니다. 오른쪽에 그림은 첫 번째 해로 점 C, 변 b와 각도 γ를, 두 번째 해로 점 C′, 변 b′와 각도 γ′를 보여줍니다.
한번 γ가 획득되면, 세 번째 각도는 α = 180° − β − γ입니다.
세 번째 변은 그런-다음 사인의 법칙으로부터 구할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle a = b\ \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\)
또는
\(\quad a = c\cos\beta \pm \sqrt{b^2 -c^2\sin^2\beta} \)
A side and two adjacent angles given (ASA)
알려진 특성이 변 c와 각도 α, β입니다. 세 번째 각도는 γ = 180° − α − β입니다.
두 미지수 변은 사인의 법칙으로부터 계산될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle a = c\ \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}; \quad b = c\ \frac{\sin\beta}{\sin\gamma}.\)
또는
\(\quad\displaystyle a = c \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha \cos \beta +\sin\beta \cos \alpha}\)
\(\quad\displaystyle b = c \frac{\sin\beta}{\sin\alpha \cos \beta +\sin\beta \cos \alpha}\)
A side, one adjacent angle and the opposite angle given (AAS)
AAS 삼각형을 푸는 절차는 ASA 삼각형에 대해 절차와 같습니다: 먼저, 삼각형의 각도 합 속성을 사용함으로써 세 번째 각도를 구합니다. 그런-다음 사인의 법칙(law of sines)을 사용하여 나머지 두 변을 구합니다.
Other given lengths
많은 경우에서, 삼각형의 중앙선(medians), 고도(altitudes), 또는 각도 이등분선(angle bisector)의 길이인 세 조각의 일부 정보가 주어지면 삼각형은 풀릴 수 있습니다. 포사멘티에와 레만은 95개의 개별적인 경우 각각에 대해 제곱근보다 높지 않은 것 (구성성(constructibility))을 사용하여 해결-가능성의 문제에 대한 결과를 나열합니다; 이들 중 63개는 구성-가능입니다.
Solving spherical triangles
일반적인 구형 삼각형은 그것의 여섯 특성 (3 변과 3 각도) 중 셋에 의해 완전하게 결정됩니다. 구형 삼각형의 변 a, b, c의 길이는 그것들의 중심 각도(central angle)이며, 선형 단위가 아닌 각도 단위에서 측정됩니다. (단위 구 위에, 각도 (라디안(radians))와 구 주위의 길이는 수치적으로 같습니다. 다른 구 위에서, 각도 (라디안)는 구 주위의 길이를 반지름으로 나눈 값과 같습니다.)
구면 기하학(spherical geometry)은 평면 유클리드 기하학(Euclidean geometry)과 다르므로, 구면 삼각형의 해는 다른 규칙을 기반으로 합니다. 예를 들어, 세 각도 α + β + γ의 합은 삼각형의 크기에 따라 다릅니다. 게다가, 닮은 삼각형(similar triangles)은 같지 않을 수 없으므로, 지정된 세 개의 각도를 갖는 삼각형을 구성하는 문제는 고유한 해를 가집니다. 문제를 해결하기 위해 사용되는 기본 관계는 평면 경우의 관계와 유사합니다: 구면 코사인 법칙(Spherical law of cosines)과 구면 사인 법칙(Spherical law of sines)을 참조하십시오.
유용할 수 있는 다른 관계 중에는 절반-변 공식(half-side formula)과 네이피어 아날로그(Napier's analogies)가 있습니다:
- \(\displaystyle \tan\frac c 2 \cos\frac{\alpha-\beta} 2 = \tan\frac{a+b}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\)
- \(\displaystyle \tan\frac c 2 \sin\frac{\alpha-\beta} 2 = \tan\frac{a-b} 2 \sin\frac{\alpha+\beta} 2\)
- \(\displaystyle \cot\frac{\gamma} 2 \cos\frac{a-b}{2} = \tan\frac{\alpha+\beta} 2 \cos\frac{a+b} 2\)
- \(\displaystyle \cot\frac{\gamma} 2 \sin\frac{a-b}{2} = \tan\frac{\alpha-\beta} 2 \sin\frac{a+b} 2.\)
Three sides given (spherical SSS)
알려진 것: 변 a, b, c (각도 단위). 삼각형의 각도는 구면 코사인 법칙(spherical law of cosines)을 사용하여 계산됩니다:
\(\quad\displaystyle \alpha = \arccos\left(\frac{\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}\right),\)
\(\quad\displaystyle \beta = \arccos\left(\frac{\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}\right),\)
\(\quad\displaystyle \gamma = \arccos\left(\frac{\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}\right).\)
Two sides and the included angle given (spherical SAS)
알려진 것: 변 a, b와 그것들 사이의 각도 γ. 변 c는 구면 코사인 법칙에서 구할 수 있습니다:
\(\quad c = \arccos \left(\cos a\cos b + \sin a\sin b\cos\gamma \right).\)
각도 α, β는 위에서 처럼 계산될 수 있거나, 네이피어 아날로그에 의해 계산될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \alpha = \arctan\ \frac{2\sin a}{\tan(\frac{\gamma}{2}) \sin (b+a) + \cot(\frac{\gamma}{2})\sin(b-a)},\)
\(\quad\displaystyle \beta = \arctan\ \frac{2\sin b}{\tan(\frac{\gamma}{2}) \sin (a+b) + \cot(\frac{\gamma}{2})\sin(a-b)}.\)
이 문제는 위도와 경도에 의해 지정된 지구 위의 두 지점 사이의 큰 원을 찾는 탐색 문제에서 발생합니다; 이 응용에서, 반올림 오류에 취약하지 않은 공식을 사용하는 것이 중요합니다. 이를 위해, 다음 공식 (벡터 대수학을 사용하여 유도될 수 있음)이 사용될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \begin{align}
c &= \arctan\frac
{\sqrt{(\sin a\cos b - \cos a \sin b \cos \gamma)^2 + (\sin b\sin\gamma)^2}}
{\cos a \cos b + \sin a\sin b\cos\gamma},\\
\alpha &= \arctan\frac
{\sin a\sin\gamma}
{\sin b\cos a - \cos b\sin a\cos\gamma},\\
\beta &= \arctan\frac
{\sin b\sin\gamma}
{\sin a\cos b - \cos a\sin b\cos\gamma},
\end{align}\)
여기서 이들 표현에서 분자와 분모의 부호는 아크탄젠트의 사분면을 결정하기 위해 사용되어야 합니다.
Two sides and non-included angle given (spherical SSA)
이 문제는 모든 경우에 해결할 수는 없습니다; 하나의 해는 오직 만약 각도에 인접한 변의 길이가 다른 변의 길이보다 더 짧으면 고유하다고 보장됩니다. 알려진 것: 변 b, c와 그들 사이가 아닌 각도 β. 하나의 해는 만약 다음 조건이 유지되면 존재합니다:
\(\quad b > \arcsin (\sin c\,\sin\beta).\)
각도 γ는 구면 사인 법칙(spherical law of sines)에서 구할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \gamma = \arcsin \left(\frac{\sin c\,\sin\beta}{\sin b}\right).\)
평면 경우에 대한 것처럼, 만약 b < c이면 두 해: γ와 180° - γ가 있습니다.
우리는 네이피어 아날로그를 사용함으로써 다른 특징을 찾을 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
a & = 2\arctan \left[ \tan\left(\tfrac12(b-c)\right) \frac{\sin \left(\tfrac12(\beta+\gamma)\right)}{\sin\left(\tfrac12(\beta-\gamma)\right)} \right], \\[4pt]
\alpha & = 2\text{arccot} \left[\tan\left(\tfrac12(\beta-\gamma)\right) \frac{\sin \left(\tfrac12(b+c)\right)}{\sin \left(\tfrac12(b-c)\right)} \right].
\end{align}
\)
A side and two adjacent angles given (spherical ASA)
알려진 것: 변 c와 각도 α, β. 먼저 우리는 구면 코사인 법칙(spherical law of cosines)을 사용하여 각도 γ를 결정합니다:
\(\quad \gamma = \arccos(\sin\alpha\sin\beta\cos c -\cos\alpha\cos\beta).\,\)
우리는 (계산된 각도 γ를 사용하여) 구면 코사인 법칙에서 둘의 미지수 변을 구할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle a=\arccos\left(\frac{\cos\alpha+\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}\right),\)
\(\quad\displaystyle b=\arccos\left(\frac{\cos\beta+\cos\alpha\cos\gamma}{\sin\alpha\sin\gamma}\right),\)
또는 네이피어의 아날로그를 사용함으로써:
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
a & = \arctan\left[\frac{2\sin\alpha}{\cot(\frac c 2) \sin(\beta+\alpha) + \tan(\frac c 2) \sin(\beta-\alpha)}\right], \\[4pt]
b & = \arctan\left[\frac{2\sin\beta} {\cot(\frac c 2) \sin(\alpha+\beta) + \tan(\frac c 2)\sin(\alpha-\beta)}\right].
\end{align}
\)
A side, one adjacent angle and the opposite angle given (spherical AAS)
알려진 것: 변 a와 각도 α, β. 변 b는 구면 사인 볍칙(spherical law of sines)을 사용하여 구할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle b = \arcsin \left( \frac{\sin a\,\sin \beta}{\sin \alpha} \right).\)
만약 변 a에 대해 각도는 예각이고 α > β이면, 또 다른 해가 존재합니다:
\(\quad\displaystyle b = \pi - \arcsin \left( \frac{\sin a\,\sin \beta}{\sin \alpha} \right).\)
우리는 네이피어 아날로그를 사용함으로써 다른 특징을 구할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
c & = 2\arctan \left[ \tan\left(\tfrac12(a-b)\right) \frac{\sin\left(\tfrac12(\alpha+\beta)\right)}{\sin\left(\frac12(\alpha-\beta)\right)}\right], \\[4pt]
\gamma & = 2\text{arccot} \left[\tan\left(\tfrac12(\alpha-\beta)\right) \frac{\sin \left(\tfrac12(a+b)\right)}{\sin \left(\frac12(a-b)\right)} \right].
\end{align}
\)
Three angles given (spherical AAA)
알려진 것: 각도 α, β, γ. 구면 코사인 법칙(spherical law of cosines)에서 우리는 추론합니다:
\(\quad\displaystyle a=\arccos\left(\frac{\cos\alpha+\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}\right),\)
\(\quad\displaystyle b=\arccos\left(\frac{\cos\beta+\cos\gamma\cos\alpha}{\sin\gamma\sin\alpha}\right),\)
\(\quad\displaystyle c=\arccos\left(\frac{\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}\right).\)
Solving right-angled spherical triangles
위의 알고리듬은 만약 삼각형의 각도 중 하나 (예를 들어, 각도 C)가 직각이면 훨씬 더 간단해집니다. 그러한 구면 삼각형은 그것의 둘의 원소에 의해 완전하게 정의되고, 나머지 셋은 네이피어의 오각형(Napier's Pentagon) 또는 다음 관계식을 사용하여 계산될 수 있습니다.
\(\quad \sin a = \sin c \cdot \sin A\) (구면 사인 법칙)
\(\quad \tan a = \sin b \cdot \tan A\)
\(\quad \cos c = \cos a \cdot \cos b\) (구면 코사인 법칙)
\(\quad \tan b = \tan c \cdot \cos A\)
\(\quad \cos A = \cos a \cdot \sin B\) (역시 구면 코사인 법칙)
\(\quad \cos c = \cot A \cdot \cot B\)
Some applications
Triangulation
만약 우리가 삼각분할을 통해 해안으로부터 원격 선박까지의 거리 d를 측정하기를 원한다면, 우리는 두 지점 (기준선) 사이에 알려진 거리 l을 갖는 두 점을 해안선에 표시합니다. α, β를 기준선과 선박에 대한 방향 사이의 각도라고 놓습니다.
위의 공식으로부터 (ASA 경우, 평면 기하학을 가정하여), 우리는 거리를 삼각형 높이(triangle height)로 계산할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle d = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)} \ell = \frac{\tan\alpha\,\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta} \ell.\)
구형 경우에 대해, 우리는 먼저 α에서 점으로부터 선박까지의 변 (즉, β의 반대편)의 길이를 ASA 공식을 통해 계산할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \tan b =\frac{2\sin\beta}{\cot(l/2)\sin(\alpha+\beta)+\tan(l/2)\sin(\alpha-\beta)},\)
그리고 이것을 각도 α와 변 b와 d를 포함하는 오른쪽 부분-삼각형에 대해 AAS 공식에 대입합니다:
\(\quad\displaystyle \sin d = \sin b \sin\alpha = \frac{\tan b}{\sqrt{1+\tan^2 b}}\sin\alpha.\)
(평면 공식은 실제로 l의 거듭제곱에서 구형 해의 d의 테일러 전개의 첫 번째 항입니다.)
이 방법은 연안-항해(cabotage)에서 사용됩니다. 각도 α, β는 선박으로부터 친숙한 랜드마크의 관측에 의해 정의됩니다.
또 다른 예제로써, 만약 우리가 산 또는 높은 빌딩의 높이 h를 측정하기를 원한다면, 두 바닥 점으로부터 꼭대기까지의 각도 α, β는 지정됩니다. ℓ을 이들 점 사이의 거리로 놓습니다. 같은 ASA 경우 공식으로부터 우리는 다음을 얻습니다:
\(\quad\displaystyle h = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\beta-\alpha)} \ell = \frac{\tan\alpha\,\tan\beta}{\tan\beta-\tan\alpha} \ell.\)
The distance between two points on the globe
지구 위의 두 점 사이의 거리를 계산하기 위해,
- 점 A: 위도 \(\lambda_A\), 경도 \(L_A\), 및
- 점 B: 위도 \(\lambda_B\), 경도 \(L_B\)
우리는 구면 삼각형 ABC를 고려하며, 여기서 C는 북극입니다. 일부 특징은 다음입니다:
\(\quad a = 90^\mathrm{o} - \lambda_\mathrm{B}, \,\)
\(\quad b = 90^\mathrm{o} - \lambda_\mathrm{A}, \,\)
\(\quad \gamma = L_\mathrm{A}-L_\mathrm{B}. \,\)
만약 두 변과 포함된 각도가 주어지면, 우리는 다음 공식으로부터 얻습니다:
\(\quad \mathrm{AB} = R \arccos\left[\sin \lambda_\mathrm{A} \,\sin \lambda_\mathrm{B} + \cos \lambda_\mathrm{A} \,\cos \lambda_\mathrm{B} \,\cos \left(L_\mathrm{A}-L_\mathrm{B}\right)\right].\)
여기서 R은 지구의 반지름(Earth's radius)입니다.
External links
- Trigonometric Delights, by Eli Maor, Princeton University Press, 1998. Ebook version, in PDF format, full text presented.
- Trigonometry by Alfred Monroe Kenyon and Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. In images, full text presented. Google book.
- Spherical trigonometry on Math World.
- Intro to Spherical Trig. Includes discussion of The Napier circle and Napier's rules
- Spherical Trigonometry — for the use of colleges and schools by I. Todhunter, M.A., F.R.S. Historical Math Monograph posted by Cornell University Library.
- Triangulator – Triangle solver. Solve any plane triangle problem with the minimum of input data. Drawing of the solved triangle.
- TriSph – Free software to solve the spherical triangles, configurable to different practical applications and configured for gnomonic.
- Spherical Triangle Calculator – Solves spherical triangles.
