기하학(geometry)에서, 회전 고체(solid of revolution)는 같은 평면 위에 놓이는 어떤 직선(straight line) (회전축(axis of revolution))을 중심으로 평면 도형을 회전함으로써 얻은 고체 도형(solid figure)입니다. 이 회전(surface)에 의해 생성되고 고체의 경계를 이루는 표면은 회전 표면(surface of revolution)입니다.
곡선이 축을 가로지르지 않는다고 가정하면, 고체의 부피(volume)는 도형의 도형-중심(centroid)으로 설명된 원(circle)의 길이(length)에 도형의 넓이(area)를 곱한 것과 같습니다 (파푸스의 두 번째 도형-중심 정리(Pappus's second centroid theorem)).
대표적인 디스크(representative disc)는 회전 고체의 삼-차원 부피 원소(volume element)입니다. 그 원소는 \(\pi r^2 w\) 단위의 원통형 부피가 둘러싸도록 일부 축 (r 단위 떨어진 위치)을 중심으로 (길이 w의) 선분(line segment)을 회전함으로써 생성됩니다.
Finding the volume
회전 고체의 부피를 구하는 두 가지 공통적인 방법은 디스크 방법(disc method)과 쉘 적분 방법(shell method of integration)입니다. 이들 방법을 적용하기 위해, 질문에서 해당 그래프를 그리는 것이 가장 쉽습니다; 회전축을 중심으로 회전할 넓이를 식별합니다; 두께가 δx를 갖는 디스크-모양의 고체 조각이나 너비 δx를 갖는 원통형 쉘의 부피를 결정합니다; 그리고 그 후에 δx가 0에 가까워짐에 따라 이들 부피의 극한하는 합, 적절한 적분을 평가하여 찾을 수 값을 구합니다. 두 가지 다른 적분 순서를 갖는 원통형 좌표(cylindrical coordinates)에서 삼중 적분(triple integral)을 평가하려고 시도함으로써 보다 엄격한 정당성을 부여할 수 있습니다.
Disc method
디스크 방법은 그려진 조각이 회전축에 수직일 때; 즉, 회전축에 평행하게 적분할 때 사용됩니다.
f(y)와 g(y)의 곡선과 y = a과 y = b 직선 사이의 넓이를 y-축을 중심으로 회전함으로써 형성된 고체의 부피는 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle V = \pi \int_a^b \left| f(y)^2 - g(y)^2\right|\,dy\, .\)
만약 g(y) = 0이면 (예를 들어, 곡선과 y-축 사이의 넓이를 회전하면), 이것은 다음으로 줄어듭니다:
\(\quad\displaystyle V = \pi \int_a^b f(y)^2 \,dy\, .\)
그 방법은 꼭대기의 f(y)와 바닥의 g(y) 사이의 y에서 얇은 수평 직사각형을 고려하고, y-축을 중심으로 그것을 회전함으로써 시각화될 수 있습니다; 그것은 외부 반지름 f(y)와 내부 반지름 g(y)를 갖는 고리 (또는 g(y) = 0인 경우에서 원반)을 형성합니다. 고리의 넓이는 \(\pi (R^2 - r^2)\)이며, 여기서 R은 외부 반지름 (이 경우 f(y))이고, r은 내부 반지름 (이 경우 g(y))입니다. 따라서 각 무한소 원반의 부피는 \(\pi f(y)^2 dy\)입니다. a와 b 사이의 원반 부피의 리만 합계의 극한은 적분 (1)이 됩니다.
푸비니의 정리(Fubini's theorem)와 변수의 다변수 변수의 변경 공식의 적용 가능성을 가정하면, 원반 방법은 다음과 같이 간단한 방식으로 유도될 수 있습니다 (고체를 D로 표시):
\(\quad\displaystyle V = \iiint_D dV = \int_a^b \int_{g(z)}^{f(z)} \int_0^{2\pi} r\,d\theta\,dr\,dz = 2\pi \int_a^b\int_{g(z)}^{f(z)} r\,dr\,dz = 2\pi \int_a^b \frac{1}{2}r^2\Vert^{f(z)}_{g(z)} \,dz = \pi \int_a^b f(z)^2 - g(z)^2\,dz\)
Cylinder method
그려진 조각이 회전 축과 평행할 때; 즉, 회전축에 수직으로 적분할 때 원통형 방법이 사용됩니다.
f(x)와 g(x)의 곡선과 x = a와 x = b 직선 사이의 넓이를 y-축에 대해 회전시킴으로써 형성된 고체의 부피는 다음과 같이 주어집니다:
\(\quad\displaystyle V = 2\pi \int_a^b x |f(x) - g(x)|\, dx\, .\)
만약 g(x) = 0이면 (예를 들어, 곡선과 y-축 사이의 넓이를 회전하면), 이것은 다음으로 줄어듭니다:
\(\quad\displaystyle V = 2\pi \int_a^b x | f(x) | \,dx\, .\)
그 방법은 높이 f(x) − g(x)를 갖는 x에서 얇은 수직 직사각형을 고려하고, y-축을 중심으로 회전하여 시각화될 수 있습니다; 그것은 원통형 쉘을 형성합니다. 원통의 측면 넓이는 2πrh이며, 여기서 r은 반지름 (이 경우 x)이고, h는 높이 (이 경우 f(x) − g(x))입니다. 구간을 따라 모든 표면 넓이를 합하면 총 부피를 제공합니다.
이 방법은 같은 삼중 적분으로 유도될 수 있으며, 이번에는 적분 순서가 다릅니다.
\(\quad\displaystyle V = \iiint_D dV = \int_a^b \int_{g(r)}^{f(r)} \int_0^{2\pi} r\,d\theta\,dz\,dr = 2\pi \int_a^b\int_{g(r)}^{f(r)} r\,dz\,dr = 2\pi\int_a^b r(f(r) - g(r))\,dr.\)
Parametric form
곡선이 어떤 구간 [a,b]에서 매개변수(parametric) 형식 (x(t),y(t))으로 정의될 때, x-축 또는 y-축을 중심으로 곡선을 회전시킴으로써 생성되는 고체의 부피는 다음에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle V_x = \int_a^b \pi y^2 \, \frac{dx}{dt} \, dt \, ,\)
\(\quad\displaystyle V_y = \int_a^b \pi x^2 \, \frac{dy}{dt} \, dt \, .\)
같은 상황 아래에서 x-축 또는 y-축을 중심으로 곡선을 회전시킴으로써 생성된 고체 표면의 넓이는 다음에 의해 주어집니다:
\(\quad\displaystyle A_x = \int_a^b 2 \pi y \, \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt \, ,\)
\(\quad\displaystyle A_y = \int_a^b 2 \pi x \, \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt \, .\)
Polar form
극 곡선 \(r=f(\theta)\)에 대해 여기서 \(\alpha\leq \theta\leq \beta\), x-축 또는 y-축을 중심으로 곡선을 회전시킴으로써 생성된 고체의 부피는 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle V_x = \int_\alpha^\beta \left(\pi r^2\sin^2{\theta} \cos{\theta}\, \frac{dr}{d\theta}-\pi r^3\sin^3{\theta}\right)d\theta\,,\)
\(\quad\displaystyle V_y = \int_\alpha^\beta \left(\pi r^2\sin{\theta} \cos^2{\theta}\, \frac{dr}{d\theta}+\pi r^3\cos^3{\theta}\right)d\theta \, .\)
x-축 또는 y-축을 중심으로 곡선을 회전시킴으로써 생성된 고체의 표면의 넓이는 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle A_x = \int_\alpha^\beta 2 \pi r\sin{\theta} \, \sqrt{ r^2 + \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2} \, d\theta \, ,\)
\(\quad\displaystyle A_y = \int_\alpha^\beta 2 \pi r\cos{\theta} \, \sqrt{ r^2 + \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2} \, d\theta \, ,\)
References
- "Volumes of Solids of Revolution". CliffsNotes.com. 12 Apr 2011. Archived from the original on 2012-03-19.
- Ayres, Frank; Mendelson, Elliott (2008). Calculus. Schaum's Outlines. McGraw-Hill Professional. pp. 244–248. ISBN 978-0-07-150861-2. (online copy, p. 244, at Google Books)
- Weisstein, Eric W. "Solid of Revolution". MathWorld.
