수학(mathematics)에서, 해 집합(solution set)은 주어진 방정식 또는 부등식(inequalities)의 집합을 만족시키는 값의 집합입니다.
예를 들어, 링(ring) \(R\)에 걸쳐 다항식(polynomials) 집합 \(\{f_i\}\)에 대해, 해 집합은 다항식이 모두 사라지는 (0으로 평가) \(R\)의 부분집합이며, 공식적으로
\(\quad \{x\in R: \forall i\in I, f_i(x)=0\}\)
제약된 최적화(constrained optimization) 문제의 실현-가능 영역(feasible region)은 제약 조건(constraints)의 해 집합입니다.
Examples
- 단일 방정식 \(x=0\)의 해 집합은 집합 {0}입니다.
- 한 변수에서 복소수(complex numbers)에 걸쳐 임의의 비-영 다항식 \(f\)에 대해, 해 집합은 유한하게 많은 점으로 구성됩니다.
- 어쨌든, 하나보다 많은 변수에서 복소 다항식에 대해, 해 집합은 고립된 점을 가지지 않습니다.
Remarks
대수적 기하학(algebraic geometry)에서, 해 집합은 부등식이 없으면 대수적 집합(algebraic sets)이라고 불립니다. 실수와 부등식에 대해, 반-대수적 집합(semialgebraic sets)이라고 불리는 것이 있습니다.
Other meanings
보다 일반적으로, 미지수 \({(x_j)}_{j\in J}\)의 모음에 대해 관계(relations) \((E_i)\) (i는 일부 인덱스 집합 I에서 변함)의 임의적인 모음 E에 대한 해 집합(solution set)은, 각 공간 \({(X_j)}_{j\in J}\)에서 값을 취하는 것으로 가정되며, 관계 E에 대한 모든 해의 집합 ''S''이며, 여기서 해 \(x^{(k)}\)는 관계 E에서 \({\left(x_j\right)}_{j\in J}\)를 \(x^{(k)}\)로 대체하는 것이 모든 관계를 "참"으로 만듦을 만족하는 값 \({\left( x^{(k)}_j \right)}_{j\in J}\in \prod_{j\in J} X_j\)의 가족입니다.
(미지수에 의존하는 관계 대신에, 술어(predicates)에 대해 더 정확하게 말해야 하며, 모음 E는 논리곱(logical conjunction)이고, 해 집합은 결합된 부울-값 함수(boolean-valued function)에 의한 부울 값 참의 역 이미지(inverse image)입니다.)
위의 의미는 다항식 집합 \(f_i\)가 \(f_i(x)=0\) 방정식의 집합으로 해석되면 이 경우의 특별한 경우입니다.
Examples
- \((x,y)\in \mathbb{R}^2\)에 관한 E = { x+y = 0 }에 대해 해 집합은 { (a,−a) : a ∈ R }입니다.
- \(x \in \mathbb{R}\)에 관한 E = { x+y = 0 }에 대해 해 집합은 S = { −y }입니다. (여기서, y는 미지수로 "선언"되지 않고, 따라서 방정식과 따라서 해 집합이 의존하는 매개변수(parameter)로 이해됩니다.)
- \(x\in\mathbb{R}\)에 관한 \( E = \{ \sqrt x \le 4 \} \)에 대해 해 집합은 구간 S = [0,2]입니다 (왜냐하면 \(\sqrt x\)은 x의 음의 값에 대해 정의되지 않습니다).
- \(x\in\mathbb{C}\)에 관한 \( E = \{ e^{i x} = 1 \} \)에 대해 해 집합은 S = 2πZ입니다 (오일러의 항등식(Euler's identity)을 참조하십시오).
See also
