선형 대수(linear algebra)에서, 직교화(orthogonalization)는 특정 부분공간(subspace)을 스팬하는 직교 벡터의 집합을 찾는 과정입니다. 형식적으로, 안의 곱 공간 (가장 공통적으로 유클리드 공간 \(\mathbf{R}^n\))에서 선형적으로 독립 벡터의 집합 \(\{v_1,...,v_k\}\)로 시작하여, 직교화는 벡터 \(v_1,...,v_k\)와 같은 부분공간을 생성하는 직교 벡터의 집합 \(\{u_1,...,u_k\}\)를 초래합니다. 새로운 집합에서 모든 각 벡터는 새로운 집합에서 모든 각 다른 벡터와 직교합니다; 그리고 새로운 집합과 이전 집합은 같은 선형 스팬(linear span)을 가집니다.
게다가, 만약 결과 벡터를 모두 단위 벡터(unit vectors)가 되도록 원하면, 각 벡터를 정규화(normalize)하고 그 절차는 직교정규화(orthonormalization)라고 불립니다.
직교화는 대칭 쌍선형 형식 (반드시 안의 곱일 필요는 없으며, 반드시 실수에 걸칠 필요도 없음)에 관해 가능하지만, 표준 알고리듬은 이러한 보다 일반적인 설정에서 영에 의한 나눗셈(division by zero)이 발생할 수 있습니다.
Orthogonalization algorithms
직교화를 수행하는 방법에는 다음이 포함됩니다:
- 그람-슈미트 과정(Gram–Schmidt process), 이는 투영(projection)을 사용합니다.
- 하우스홀더 변환(Householder transformation), 이는 반사(reflection)를 사용합니다.
- 기븐스 회전(Givens rotation)
- 대칭 대각화, 이는 특이값 분해(Singular value decomposition)를 사용합니다.
컴퓨터에서 직교화를 수행할 때, 하우스홀더 변환은 더 수치적으로 안정적이기 때문에 보통 그람–슈미트 과정보다 선호됩니다. 즉, 반올림 오차가 덜 심각한 영향을 미치는 경향이 있습니다.
다른 한편으로, 그람-슈미트 과정은 j번째 반복 이후에 j번째 직교화된 벡터를 생성하고, 반면 하우스홀더 반사를 사용한 직교화는 마지막에만 모든 벡터를 생성합니다. 이로 인해 아르놀디 반복(Arnoldi iteration)과 같은 반복 방법에는 그람-슈미트 과정만 적용할 수 있습니다.
기븐스 회전은 하우스홀더 변환보다 더 쉽게 병렬화됩니다.
대칭 직교화는 파르-올로브 러브딘(Per-Olov Löwdin)에 의해 형식화되었습니다.
Local orthogonalization
부정확한 매개변수 선택 또는 잡음-제거 가정의 부적절로 인해 기존 잡음 감쇠 방식에서 유용한 신호 손실을 보상하기 위해, 초기 잡음 섹션에서 유용한 신호를 검색하기 위해 초기 잡음 제거 섹션에 가중 연산자를 적용할 수 있습니다. 새로운 잡음 제거 과정은 신호와 잡음의 지역적 직교화라고 합니다. 그것은 많은 신호 처리 및 지진 탐사 분야에서 광범위한 응용 분야를 가지고 있습니다.
See also
References
- Löwdin, Per-Olov (1970). "On the nonorthogonality problem". Advances in quantum chemistry. Vol. 5. Elsevier. pp. 185–199.
- Chen, Yangkang; Fomel, Sergey (2015). "Random noise attenuation using local signal-and-noise orthogonalization". Geophysics. 80 (6): WD1–WD9. doi:10.1190/GEO2014-0227.1.
