선형 대수(linear algebra)에서, 직교 변환은 안의 곱(inner product)을 보존하는 실수 안의 곱 공간(inner product space) V 위에 선형 변환 T : V → V입니다. 즉, V 원소의 각 쌍 u, v에 대해, 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \langle u,v \rangle = \langle Tu,Tv \rangle \, .\)
벡터의 길이와 그들 사이의 각도는 안의 곱을 통해 정의되므로, 직교 변환은 벡터의 길이와 그들 사이의 각도를 보존합니다. 특히, 직교 변환은 직교-정규 기저(orthonormal bases)를 직교-정규 기저로 매핑합니다.
직교 변환은 전단사(injective)입니다: 만약 \(\displaystyle Tv = 0\)이면 \(\displaystyle 0 = \langle Tv,Tv \rangle = \langle v,v \rangle\)이고, 따라서 \(\displaystyle v = 0\)이므로, \(\displaystyle T\)의 커널(kernel)은 자명합니다.
이-차원 또는 삼-차원 유클리드 공간에서 직교 변환은 굽히지-않는 회전, 반사, 또는 회전과 반사의 합성 (부적절한 회전의로도 알려져 있음)입니다. 반사는 (실-세계) 거울이 하는 것처럼 거울 평면에 직교하는 방향을 앞뒤로 뒤집는 변환입니다. 적절한 회전 (반사 없음)에 해당하는 행렬은 +1의 행렬식(determinant)을 가집니다. 반사를 갖는 변환은 −1의 행렬식을 갖는 행렬에 의해 표시됩니다. 이를 통해 회전과 반사 개념을 더 높은 차원으로 일반화할 수 있습니다.
유한-차원 공간에서, 직교 변환의 (직교-정규 기저에 관한) 행렬 표현은 직교 행렬입니다. 그것의 행은, 그 행이 V의 직교-정규 기저를 구성하도록 단위 노름을 갖는 서로 직교 벡터입니다. 행렬의 열은 V의 또 다른 직교-정규 기저를 형성합니다.
만약 직교 변환이 역-가능이면 (이는 V가 유한-차원일 때 항상 해당됨), 그것의 역은 또 다른 직교 변환입니다. 그것의 행렬 표현은 원래 변환의 행렬 표현의 전치입니다.
Examples
표준 유클리드 안의 곱과 표준 기저를 갖는 안의-곱 공간 \(\displaystyle (\mathbb{R}^2,\langle\cdot,\cdot\rangle)\)을 생각해 보십시오. 그런-다음 다음 행렬 변환은 직교입니다:
\(\quad\displaystyle
T = \begin{bmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) \\
\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{bmatrix} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2
\)
이것을 보이기 위해, 다음을 생각해 보십시오:
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
Te_1 = \begin{bmatrix}\cos(\theta) \\ \sin(\theta)\end{bmatrix} && Te_2 = \begin{bmatrix}-\sin(\theta) \\ \cos(\theta)\end{bmatrix}
\end{align}
\)
그런-다음,
\(\quad\displaystyle
\begin{align}
&\langle Te_1,Te_1\rangle = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \cos(\theta) \\ \sin(\theta) \end{bmatrix} = \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\\
&\langle Te_1,Te_2\rangle = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -\sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{bmatrix} = \sin(\theta)\cos(\theta) - \sin(\theta)\cos(\theta) = 0\\
&\langle Te_2,Te_2\rangle = \begin{bmatrix} -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -\sin(\theta) \\ \cos(\theta) \end{bmatrix} = \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\\
\end{align}
\)
앞의 예제는 모든 직교 변환을 구성하도록 확장될 수 있습니다. 예를 들어, 다음 행렬은 \(\displaystyle (\mathbb{R}^3,\langle\cdot,\cdot\rangle)\) 위에 직교 변환을 정의합니다:
\(\quad\displaystyle
\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\
\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
\cos(\theta) & 0 & -\sin(\theta) \\
0 & 1 & 0 \\
\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta)
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\
0 & \sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{bmatrix}
\)
See also
References
- Rowland, Todd. "Orthogonal Transformation". MathWorld. Retrieved 4 May 2012.
