수학(mathematics)에서, 직교성(orthogonality)은 쌍선형 형식(bilinear form)의 선형 대수(linear algebra)에 대한 수직성(perpendicularity)의 개념의 일반화입니다. 쌍선형 형식 B를 갖는 벡터 공간(vector space)의 두 원소 u와 v는 B(u, v) = 0일 때 직교(orthogonal)입니다. 쌍선형 형식에 의존하여, 벡터 공간은 비-영 자체-직교 벡터를 포함할 수 있습니다. 함수 공간(function space)의 경우에서, 직교 함수(orthogonal functions)의 가족은 기저(basis)를 형성하기 위해 사용됩니다.
확장에 의해, 직교성은 역시 시스템의 특정 특색을 분리를 참조하기 위해 사용됩니다. 그 용어는 역시 예술과 화학을 포함한 다른 분야에서 전문화된 의미를 가집니다.
Etymology
그 단어는 "똑바른"을 의미하는 그리스어(Greek) ὀρθός (orthos)와 "각도"를 의미하는 γωνία (gonia)에서 유래합니다. 고대 그리스 ὀρθογώνιον orthogōnion과 고전 라틴어 orthogonium은 원래 직사각형(rectangle)을 나타냈습니다. 나중에, 그것들은 직각 삼각형(right triangle)을 의미하게 되었습니다. 12세기에, 고전-후 라틴어 단어 orthogonalis는 직각 또는 직각과 관련된 것을 의미하게 되었습니다.
Mathematics and physics
Definitions
- 기하학(geometry), 두 유클리드 벡터(Euclidean vector)는 만약 그것들이 수직(perpendicular)이면, 즉, 그것들이 직각(right angle)을 형성하면 직교입니다.
- 안의 곱 공간(inner product space), V에서, 두 벡터(vectors) x와 y는 만약 그것들의 안의 곱 \(\displaystyle \langle x, y \rangle\)이 영이면 직교입니다. 이 관계는 \(\displaystyle x \perp y\)로 나타냅니다.
- 직교 행렬(orthogonal matrix)은 그것의 열 벡터가 서로 직교-정규(orthonormal)이면 행렬입니다.
- 내부 곱 공간 V에서 두 벡터 부분공간(vector subspaces), A와 B는 만약 A에서 각 벡터가 B에서 서로 직교이면 직교 부분공간이라고 불립니다. 주어진 부분공간에 직교인 V의 가장 긴 부분공간은 직교 여공간(orthogonal complement)입니다.
- 모듈(module) M과 그것의 이중 \(M^{*}\)이 주어지면, \(M^{*}\)의 원소 m′과 M의 원소 m은 만약 그것들의 자연스러운 쌍화(natural pairing)가 영이면, 즉, ⟨m′, m⟩ = 0이면 직교입니다. 두 집합 S′ ⊆ \(M^{*}\)과 S ⊆ M이 만약 S′의 각 원소가 S의 각 원소와 직교이면 직교입니다.
- 항 재작성 시스템(term rewriting system)은 만약 그것이 왼쪽-선형이고 비-모호한 것이면 직교(orthogonal)라고 말합니다. 직교 항 재작성 시스템은 합류하는(confluent) 것입니다.
안의 곱 공간에서 벡터의 집합은 만약 그것들의 각 쌍화가 직교이면 쌍별 직교(pairwise orthogonal)라고 불립니다. 그러한 집합은 직교 집합(orthogonal set)이라고 불립니다.
특정 경우에서, 단어 법선(normal)이 특히 표면에 대한 법선과 같은 기하학적 의미에서 직교를 의미하기 위해 사용됩니다. 예를 들어, y-축은 원점에서 곡선 \(y=x^2\)에 대한 법선입니다. 어쨌든, 법선은 역시 벡터의 크기를 참조할 수 있습니다. 특히, 집합이 만약 그것이 단위 벡터(unit vector)의 직교 집합이면 직교정규(orthonormal) (직교 더하기 정규)라고 불립니다. 결과적으로, "직교"를 의미하는 용어 normal의 사용은 종종 기피됩니다. 단어 "정규(normal)"은 역시 확률(probability)과 통계(statistics)에서 다른 의미를 가집니다.
쌍선형 형식(bilinear form)을 갖는 벡터 공간은 안의 곱의 경우를 일반화합니다. 두 벡터에 적용된 쌍선형 형식이 영의 결과를 초래하면, 그것들은 직교입니다. 유사-유클리드 평면(pseudo-Euclidean plane)의 경우는 용어 쌍곡형 직교성(hyperbolic orthogonality)을 사용합니다. 다이어그램에서, 축 x′과 t′는 임의의 주어진 ϕ에 대해 쌍곡형-직교입니다.
Euclidean vector spaces
유클리드 공간(Euclidean space)에서, 두 벡터가 직교인 것과 그것들의 점 곱(dot product)이 영, 즉, 90° (π/2 라디안)의 각도를 만들거나, 벡터 중 하나가 영인 것은 필요충분(iff) 조건입니다. 따라서 벡터의 직교성은 임의의 차원의 공간에 대한 수직(perpendicular) 벡터의 개념의 확장입니다.
부분공간의 직교 여공간(orthogonal complement)은 부분공간에서 모든 각 벡터에 직교하는 모든 벡터의 공간입니다. 삼-차원 유클리드 벡터 공간에서, 원점을 통과하는 직선(line)의 직교 여공간은 그것에 수직인 원점을 통과하는 평면(plane)이고, 그 반대도 마찬가지입니다.
두 평면이 수직이라는 기하학적 개념은 직교 여공간에 해당하지 않는다는 점에 주목하는데, 왜냐하면 삼차원에서 한 쌍의 벡터, 수직 평면의 한 쌍의 각각에서 하나는 임의의 각도에서 만날 수 있기 때문입니다.
사-차원 유클리드 공간에서, 직선의 직교 여공간은 초평면(hyperplane)이고 그 반대도 마찬가지이고, 평면의 직교 여공간은 평면입니다.
Orthogonal functions
적분 미적분학(integral calculus)을 사용함으로써, 구간 [a, b]에 걸쳐 비-음의 가중 함수(weight function) w에 관한 두 함수(functions) f와 g의 안의 곱(inner product)을 정의하기 위해 다음을 사용하는 것이 공통적입니다:
\(\quad\displaystyle \langle f, g\rangle_w = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx.\)
간단한 경우에서, w(x) = 1.
우리는 함수 f와 g는 만약 그것들의 안의 곱 (동등하게, 이 적분의 값)이 영이면 직교라고 말합니다:
\(\quad\displaystyle \langle f, g\rangle_w = 0.\)
하나의 안의 곱에 관한 두 함수의 직교성은 또 다른 안의 곱에 관한 직교성을 의미하지 않습니다.
우리는 다음과 같이 이 안의 곱에 관한 노름(norm)을 씁니다:
\(\quad\displaystyle \|f\|_w = \sqrt{\langle f, f\rangle_w}\)
함수의 집합 \(\{f_i : i=1,2,3,...\}\)의 구성원은 만약 다음이면 구간 [a, b] 위에 w에 관한 직교입니다:
\(\quad\displaystyle \langle f_i, f_j \rangle_w=0\quad i \ne j.\)
그러한 함수의 집합의 구성원이 만약 다음이면 구간 [a, b] 위에 w에 관해 직교입니다:
\(\quad\displaystyle \langle f_i, f_j \rangle_w=\delta_{i,j},\)
여기서 다음은 크로네커 델타(Kronecker delta)입니다:
\(\quad\displaystyle \delta_{i,j}=\left\{\begin{matrix}1, & & i=j \\ 0, & & i\neq j\end{matrix}\right.\).
다시 말해서, 그것들의 모든 각 쌍 (함수와 자체의 쌍화를 제외)은 직교이고, 각각의 노름은 1입니다. 특히 직교 다항식(orthogonal polynomials)을 참조하십시오.
Examples
- 벡터 \((1,3,2)^{\text{T}}\), \((3,-1,0)^{\text{T}}\), \((1,3,-5)^{\text{T}}\)가 서로 직교인데, 왜냐하면 (1)(3) + (3)(−1) + (2)(0) = 0, (3)(1) + (−1)(3) + (0)(−5) = 0, 및 (1)(1) + (3)(3) + (2)(−5) = 0.
- 벡터 \((1,0,1,0,...)^{\text{T}}\)와 \((0,1,0,1,...)^{\text{T}}\)는 서로 직교입니다. 이들 벡터의 점 곱은 0입니다. 우리는 그런-다음 \({\mathbf{Z}_2}^n\)에서 벡터를 고려하기 위해 일반화를 만들 수 있습니다:
- \(\displaystyle \mathbf{v}_k = \sum_{i=0\atop ai+k < n}^{n/a} \mathbf{e}_i\)
- 일부 양의 정수 a에 대해, 및 1 ≤ k ≤ a − 1에 대해, 이들 벡터는 직교이며, 예를 들어 \(\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\), \(\displaystyle \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\), \(\displaystyle \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix}\)는 직교입니다.
- 함수 2t + 3와 \(45t^2+9t-17\)는 −1에서 1까지 구간 위에 단위 가중 함수에 관해 직교입니다:
- \(\displaystyle \int_{-1}^1 \left(2t+3\right)\left(45t^2+9t-17\right)\,dt = 0\)
- 함수 1, sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, ...는 [0, 2π], [−π, π], 또는 길이 2π의 임의의 다른 닫힌 구간 위에 리만 적분(Riemann integration)에 관해 직교입니다. 이 사실은 푸리에 급수(Fourier series)에서 핵심 중 하나입니다.
Orthogonal polynomials
과거 수학자들(mathematician)의 이름을 따서 지은 다양한 다항식 수열은 직교 다항식(orthogonal polynomials)의 수열입니다. 특히:
- 에르미트 다항식(Hermite polynomials)은 영 평균 값을 갖는 가우스 분포(Gaussian distribution)에 관해 직교입니다.
- 르장드르 다항식(Legendre polynomials)은 구간 [−1, 1] 위에 균등 분포(uniform distribution)에 관해 직교입니다.
- 라게르 다항식(Laguerre polynomials)은 지수 분포(exponential distribution)에 관해 직교입니다. 다소 더 일반적인 라게르 다항식 수열은 감마 분포(gamma distributions)에 관해 직교입니다.
- 첫 번째 종류의 라게르 다항식(Laguerre polynomials)은 측정 \(\displaystyle 1/\sqrt{1-x^2}\)에 관해 직교입니다.
- 두 번째 종류의 체비쇼프 다항식(Chebyshev polynomials)은 위그너 반원 분포(Wigner semicircle distribution)에 관해 직교입니다.
Orthogonal states in quantum mechanics
- 양자 역학(quantum mechanics)에서, 에르미트 연산자(Hermitian operator)의 두 고유상태(eigenstates), \(\displaystyle \psi_m \)와 \(\displaystyle \psi_n \)은 그것들이 서로 다른 고윳값에 해당한다는 점에서 직교입니다. 이것은, 디랙 표기법(Dirac notation)에서, \(\displaystyle \psi_m \)와 \(\displaystyle \psi_n \)가 서로 다른 고윳값에 해당하면 \(\displaystyle \langle \psi_m | \psi_n \rangle = 0 \)임을 의미합니다. 이것은 슈뢰딩거의 방정식(Schrödinger's equation)이 (슈뢰딩거의 공식에서) 스튀름–리우빌(Sturm–Liouville) 방정식이거나, 관측-가능한 것이 (하이젠베르크 공식에서) 에르미트 연산자에 의해 주어진다는 사실에서 비롯됩니다.
Art
예술에서, 사라지는 점(vanishing point)을 가리키는 원근법(perspective) (가상의) 직선은 "직교 직선"으로 참조됩니다. 용어 "직교 직선"은 종종 현대 미술 비평 문헌에서 상당히 다른 의미를 가집니다. 피트 몬드리안(Piet Mondrian)과 버고인 딜러 (Burgoyne Diller와 같은 화가의 많은 작품은 "직교 직선"을 독점적으로 사용하는 것으로 유명합니다 – 어쨌든, 원근법과 관련한 것이 아니라 직선이고 독점적으로 수평 또는 수직인 직선을 참조하며, 그것들이 교차하는 직각을 형성합니다. 예를 들어, 티센-보르네미자 박물관(Thyssen-Bornemisza Museum)의 웹 사이트에서 수필은 "몬드리안은 ... 직교 직선과 주요 색상 사이의 균형의 조사에 전 작품을 바쳤습니다."라고 명시되어 있습니다. Archived 2009-01-31 at the Wayback Machine
Computer science
프로그래밍 언어 디자인에서 직교성은 일관된 결과와 함께 임의적인 조합에서 다양한 언어 특색을 사용하기 위한 능력입니다. 이 사용법은 Algol 68의 설계에서 판 베인하르덴(Van Wijngaarden)에 의해 도입되었습니다:
독립적인 원시 개념의 숫자는 언어를 기술하고, 배우고, 구현하기 쉽도록 최소화되어 왔습니다. 다른 한편으로, 이들 개념은 유해한 과잉을 피하려고 시도하는 동안 언어의 표현력을 최대화하기 위해 "직교적으로" 적용되어 왔습니다.
직교성은 시스템 구성 요소에 의해 생성된 기술적 효과를 수정하는 것은 시스템의 다른 구성 요소에 대한 부작용을 생성하지도 않고 전파되지도 않음을 보장하는 시스템 설계 속성입니다. 전형적으로 이것은 관심사의 분리(separation of concerns)와 캡슐화(encapsulation)를 통해 달성되고, 복잡한 시스템의 실현 가능하고 컴팩트한 설계에 필수적입니다. 구성 요소로 구성된 시스템의 나타나는 행동은 그것의 논리의 형식적 정의에 의해 것이고 불량한 통합, 즉, 모듈과 인터페이스의 비-직교 설계를 초래하는 부작용에 의한 것이 아니도록 엄격하게 제어되어야 합니다. 직교성은 부작용을 일으키지 않고 그것들에 의존하지 않는 설계를 더 쉽게 검증할 수 있기 때문에 테스트와 개발 시간을 단축합니다.
명령어 집합(instruction set)은 만약 그것이 중복성이 부족하고 (즉, 주어진 임무를 달성하기 위해 사용될 수 있는 단일 명령어만 있음) 명령어가 임의의 주소-지정 모드(addressing mode)에서 임의의 레지스터(register)를 사용함을 만족하는 설계되면 직교라고 말합니다. 이 용어는 명령어를 그것의 구성 요소가 명령어 필드인 벡터로 고려하는 것에서 결과입니다. 한 필드는 작동할 레지스터를 식별하고 또 다른 필드는 주소-지정 모드를 지정합니다. 직교 명령어 집합(orthogonal instruction set)은 레지스터와 주소-지정 모드의 모든 조합을 고유하게 인코딩합니다.
Communications
통신에서, 다중-접근 방식은 이상적인 수신기가 서로 다른 기본 함수(basis function)를 사용하여 희망된 신호에서 임의적으로 강력한 원치 않는 신호를 완전히 거부할 수 있을 때 직교입니다. 하나의 이러한 방식은 시간-분할 다중 접근(time-division multiple access) (TDMA)이며, 여기서 직교 기본 함수는 겹치지 않는 직사각형 펄스 ("시간 슬롯")입니다.
또 다른 방식은 직교 주파수-분할 다중화(orthogonal frequency-division multiplexing) (OFDM)이며, 단일 송신기에 의해 그것들이 서로 간섭하지 않도록 직교로 만들기 위해 요구된 정확한 최소 주파수 간격을 갖는 일련의 주파수 다중화된 신호를 사용하는 것을 참조합니다. 잘 알려진 예제는 802.11 Wi-Fi의 (a, g, 및 n) 버전; WiMAX; ITU-T G.hn, DVB-T, 북미 이외의 세계 대부분에서 사용되는 지상파 디지털 TV 방송 시스템; 및 DMT (Discrete Multi Tone), ADSL의 표준 형식을 포함합니다.
OFDM에서, 부반송파 주파수는 부반송파가 서로 직교하도록 선택되며, 부채널 사이의 크로스토크가 제거되고 인터캐리어 보호 대역이 요구되지 않음을 의미합니다. 이것은 송신기와 수신기 둘 다의 설계를 크게 단순화합니다. 기존 FDM에서, 부채널별로 분리된 필터가 요구됩니다.
Statistics, econometrics, and economics
통계 분석을 수행할 때, 특정 종속 변수(dependent variable)에 영향을 미치는 독립 변수(independent variables)는 공분산이 안의 곱을 형성하기 때문에 비-상관된 것이면 직교라고 말합니다. 이 경우에서, 우리가 변수의 효과를 단순 회귀(simple regression)로 개별적으로 모델링하거나 다중 회귀(multiple regression)로 동시에 모델링하는지 여부에 관계없이 같은 결과가 종속 변수에 대한 임의의 독립 변수의 효과에 대해 얻어집니다. 만약 상관 관계(correlation)가 존재하면, 인수가 직교하지 않고 다른 결과가 두 가지 방법에 의해 얻어집니다. 이 사용법은 기댓값(expected value) (평균)을 빼서 중심에 있으면 비-상관된 변수가 위에서 논의한 기하학적 의미에서 관찰된 데이터 (즉, 벡터)와 확률 변수 (즉, 밀도 함수)로 직교한다는 사실에서 발생합니다. 최대 가능도(maximum likelihood) 프레임워크에 대한 대안인 하나의 계량경제학(econometric) 형식주의, 모멘트의 일반화된 방법(Generalized Method of Moments)은 직교성 조건에 의존합니다. 특히, 보통의 최소 제곱(Ordinary Least Squares) 추정량은 설명 변수와 모델 잔여 사이의 직교성 조건으로부터 쉽게 도출될 수 있습니다.
Taxonomy
분류학(taxonomy)에서, 직교 분류는 항목이 둘 이상의 그룹에 속하지 않는 분류이며, 즉, 분류는 서로 배타적입니다.
Combinatorics
조합론(combinatorics)에서 둘의 n×n 라틴 제곱(Latin squares)은 그것들의 초월부과(superimposition)가 엔트리의 모든 가능한 \(n^2\) 조합을 생성하면 직교라고 말합니다.
Chemistry and biochemistry
합성 유기 화학(synthetic organic chemistry)에서, 직교 보호(protection)는 서로 독립적으로 작용기(functional group)의 탈보호를 허용하는 전략입니다. 화학과 생화학에서 직교 상호 작용은 두 쌍의 물질이 있고 각 물질이 그것들 각각의 파트너와 상호 작용할 수 있지만, 다른 쌍의 어느 물질과도 상호 작용하지 않을 때 발생합니다. 예를 들어, DNA는 둘의 직교 쌍을 가집니다: 시토신과 구아닌은 염기-쌍을 형성하고, 아데닌과 티민은 또 다른 염기-쌍을 형성하지만, 다른 염기-쌍 조합은 매우 바람직하지 않습니다. 화학적 예제로서, 테트라진은 트랜스 사이클로옥텐과 반응하고 아지드는 임의의 교차-반응없이 사이클로옥틴과 반응하므로, 이것들은 서로 직교 상호반응이고, 따라서, 동시에 선택적으로 수행될 수 있습니다. 생물-직교 화학(Bioorthogonal chemistry)은 자연적으로 존재하는 세포 구성 요소와 반응없이 살아있는 시스템 내부에서 일어나는 화학 반응을 참조합니다. 초분자 화학(supramolecular chemistry)에서, 직교성의 개념은 둘 이상의 초분자, 종종 비-공유(non-covalent) 상호작용이 호환될 수 있는 가능성을 참조합니다; 다른 것에서 간섭없이 가역적으로 형성됩니다.
분석 화학(analytical chemistry)에서, 분석은 만약 그것들이 완전하게 다른 방법으로 측정 또는 식별을 만들면 "직교"이고, 따라서 측정의 신뢰성이 높아집니다. 직교 테스트는 따라서 결과의 "교차-검사"로 보일 수 있고, "교차" 개념은 직교성의 어원학적 기원에 해당합니다. 직교 테스트는 종종 신약 신청(new drug application)의 일부로 요구됩니다.
System reliability
시스템 신뢰성 분야에서 직교 중복은 백업 장치 또는 방법의 형식이 오류가 발생하기 쉬운 장치 또는 방법과 완전하게 다른 중복의 형식입니다. 직교적으로 중복 백업 장치 또는 방법의 장애 모드는 치명적인 장애로부터 전체 시스템을 보호하기 위해 중복이 필요한 장치 또는 방법의 장애 모드와 교차하지 않고 완전하게 다릅니다.
Neuroscience
신경-과학(neuroscience)에서, 겹치는 자극 코딩 (예를 들어, 위치 및 품질)을 가지는 뇌에서 감각 맵은 직교 맵이라고 불립니다.
Gaming
정사각형의 격자를 특징으로 하는 체스(chess)와 같은 보드 게임에서, '직교'는 "같은 행/'랭크' 또는 열/'파일'에서"를 의미하기 위해 사용됩니다. 이것은 "대각선으로 인접한" 정사각형에 대한 짝입니다. 고대 중국 보드 게임 바둑(Go)에서, 선수는 모든 직각으로-인접한 점을 점령함으로써 상대방의 돌을 잡을 수 있습니다.
Other examples
스테레오 비닐 레코드는 단일 그루브에서 왼쪽과 오른쪽 스테레오 채널 둘 다를 인코딩합니다. 비닐에서 V자형 홈은 서로 90도 각도의 벽을 가지고 각 벽에서 변형은 스테레오 신호를 구성하는 둘의 아날로그 채널 중 하나를 별도로 인코딩합니다. 카트리지는 둘의 직교 방향: 수직에서 양쪽으로 45도에서 홈을 따라 스타일러스의 이동을 감지합니다. 순수한 수평 운동은 두 채널이 동일한 (위상-에서) 신호를 전달하는 스테레오 신호와 동등한 모노 신호에 해당합니다.
See also
- Imaginary number
- Orthogonal matrix
- Orthogonal polynomials
- Orthogonalization
- Orthonormal basis
- Orthonormality
- Surface normal