수학(mathematics), 특히 선형 대수(linear algebra)에서, 유한 차원(dimension)을 갖는 안의 곱 공간(inner product space) \(\displaystyle V\)에 대해 직교-정규 기저(orthonormal basis)는 그것들의 벡터가 직교정규(orthonormal), 즉, 그것들은 모두 단위 벡터(unit vectors)이고 서로 직교(orthogonal)하는 \(\displaystyle V\)에 대해 기저(basis)입니다. 예를 들어, 유클리드 공간(Euclidean space) \(\displaystyle \mathbf{R}^n\)에 대해 표준 기저(standard basis)는 직교-정규 기저이며, 여기서 관련 안의 곱은 벡터의 점 곱(dot product)입니다. 회전 또는 반사 (또는 임의의 직교 변환) 아래에서 표준 기저의 이미지(image)도 직교-정규이고, \(\displaystyle \mathbf{R}^n\)에 대해 모든 각 직교-정규 기저는 이러한 방식으로 발생합니다.
일반 안의 곱 공간 \(\displaystyle V\)에 대해, 직교-정규 기저는 \(\displaystyle V\) 위에 정규화된 직교 좌표(orthogonal coordinates)를 정의하기 위해 사용될 수 있습니다. 이들 좌표 아래에서, 안의 곱은 벡터의 점 곱이 됩니다. 따라서 직교-정규 기저의 존재는 유한-차원(finite-dimensional) 안의 곱 공간의 연구를 점 곱 아래에서 \(\displaystyle \mathbf{R}^n\)의 연구로 축소합니다. 모든 각 유한-차원 안의 곱 공간은 직교-정규 기저를 가지며, 이는 그람–슈미트 과정(Gram–Schmidt process)을 사용하여 임의적인 기저에서 얻을 수 있습니다.
함수형 해석학(functional analysis)에서, 직교-정규 기저의 개념은 임의적인 (무한-차원) 안의 곱 공간(inner product spaces)으로 일반화될 수 있습니다. 전-힐베르트 공간 \(\displaystyle H\)가 주어지면, \(\displaystyle H\)에 대해 직교-정규 기저는 \(\displaystyle H\)에서 모든 각 벡터가 기저에 있는 벡터의 무한 선형 조합(infinite linear combination)으로 쓰일 수 있다는 속성을 갖는 벡터의 직교-정규 집합입니다. 이 경우에서, 직교-정규 기저는 때때로 \(\displaystyle H\)에 대해 힐베르트 기저(Hilbert basis)라고 불립니다. 무한 선형 조합이 요구되기 때문에, 이러한 의미에서 직교-정규 기저는 일반적으로 하멜 기저(Hamel basis)가 아님을 주목하십시오. 구체적으로 특히, 기저의 선형 스팬은 \(\displaystyle H\)에서 조밀한(dense) 것이어야 하지만, 전체 공간이 아닐 수도 있습니다.
만약 우리가 힐베르트 공간(Hilbert spaces)으로 이동하면, 직교-정규 기저와 같은 선형 스팬을 가지는 비-직교정규 벡터의 집합이 전혀 기저가 아닐 수 있습니다. 예를 들어, 구간 \(\displaystyle [-1,1]\) 위에 임의의 제곱-적분가능 함수(square-integrable function)는 (거의 모든 곳에서) 르장드르 다항식(Legendre polynomials) (직교-정규 기저)의 무한 합으로 표현될 수 있지만, 반드시 단항식 \(\displaystyle x^n\)의 무한 합으로 표현될 필요는 없습니다.
다른 일반화는 메트릭 텐서(metric tensor)로 알려진 비-퇴화 대칭 쌍-선형 형식을 갖춘 유사-안의 곱 공간, 유한-차원 벡터 공간 \(\displaystyle M\)에 대한 것입니다. 그러한 기저에서, 메트릭은 \(\displaystyle p\)개의 양수 일과 \(\displaystyle q\)개의 음수 일을 갖는 \(\displaystyle \text{diag}(+1,\cdots,+1,-1,\cdots,-1)\) 형식을 취합니다.
Examples
- \(\displaystyle \mathbb{R}^3\)에 대해, 벡터 \(\displaystyle \left\{e_1 = (1,0,0), e_2 = (0,1,0), e_3 = (0,0,1)\right\}\)의 집합은 표준 기저(standard basis)라고 불리고 표준 점 곱에 관해 \(\displaystyle \mathbb{R}^3\)의 직교-정규 기저를 형성합니다. 표준 기저와 표준 점 곱 둘 다는 \(\displaystyle \mathbb{R}^3\)를 데카르트 곱 \(\displaystyle \mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}\)로 보는 것에 의존함을 주목하십시오:
- Proof: 간단한 계산은 이들 벡터의 안의 곱이 영과 같고, \(\displaystyle \left\langle e_1, e_2 \right\rangle = \left\langle e_1, e_3 \right\rangle = \left\langle e_2, e_3 \right\rangle = 0\), 각각의 크기가 일과 같음, \(\displaystyle \left\|e_1\right\| = \left\|e_2\right\| = \left\|e_3\right\| = 1\)임을 보입니다. 이것은 \(\displaystyle \left\{e_1, e_2, e_3\right\}\)이 직교-정규 집합임을 의미합니다. 모든 벡터 \(\displaystyle (x, y, z) \in \mathbf{R}^3\)는 스케일링된 기저 벡터의 합으로 표현될 수 있으므로,
- \(\displaystyle (x,y,z) = x e_1 + y e_2 + z e_3,\)
- \(\displaystyle \left\{e_1, e_2, e_3\right\}\)는 \(\displaystyle \mathbf{R}^3\)를 스팬하고 따라서 기저여야 합니다. 역시 원점을 통과하는 축을 중심으로 회전되거나 원점을 통과하는 평면에서 반사된 표준 기저도 \(\displaystyle \mathbf{R}^3\)의 직교-정규 기저를 형성함을 나타낼 수 있습니다.
- \(\displaystyle \mathbb{R}^n\)에 대해, 표준 기저와 안의 곱도 유사하게 정의됩니다. 임의의 다른 직교-정규 기저는 그룹 O(n)에서 직교 변환(orthogonal transformation)에 의해 표준 기준과 관련됩니다.
- 유사-유클리드 공간 \(\displaystyle \mathbb{R}^{p,q}\)에 대해, 메트릭 \(\displaystyle \eta\)을 갖는 직교 기저 \(\displaystyle \{e_\mu\}\)는 \(\displaystyle \mu\neq \nu\)이면 \(\displaystyle \eta(e_\mu,e_\nu) = 0\)이고, \(\displaystyle 1\leq\mu\leq p\)이면 \(\displaystyle \eta(e_\mu,e_\mu) = +1\)이고, \(\displaystyle p+1\leq\mu\leq p+q\)이면 \(\displaystyle \eta(e_\mu,e_\mu) =-1\)을 대신 만족시킵니다. 임의의 두 개의 직교-정규 기저는 유사-직교 변환에 의해 관련됩니다. \(\displaystyle (p,q) = (1,3)\)의 경우에서, 이것들은 로렌츠 변환입니다.
- \(\displaystyle f_n(x) = \exp(2 \pi inx)\)를 갖는 집합 \(\displaystyle \left\{f_n : n \in \mathbf{Z}\right\}\)은, 여기서 \(\displaystyle \exp\)는 지수 함수(exponential function)를 나타내며, 2-노름에 관한 유한 르베그 적분, \(\displaystyle L^2([0,1])\)을 갖는 함수의 공간의 직교-정규 기저를 형성합니다. 이것은 푸리에 급수(Fourier series)의 연구에서 기본적입니다.
- \(\displaystyle b = c\)이면 \(\displaystyle e_b(c) = 1\)이고 그렇지 않으면 \(\displaystyle e_b(c) = 0\)을 갖는 집합 \(\displaystyle \left\{e_b : b \in B\right\}\)은 \(\displaystyle \ell^2(B)\)의 직교-정규 기저를 형성합니다.
- 스튀름-리우빌 고유문제(Sturm–Liouville eigenproblem)의 고유함수.
- 직교 행렬(orthogonal matrix)의 열 벡터는 직교-정규 기저를 형성합니다.
Basic formula
만약 \(\displaystyle B\)가 \(\displaystyle H\)의 직교 기저이면, 모든 각 원소 \(\displaystyle x \in H\)는 다음으로 쓰일 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle x = \sum_{b\in B} \frac{\langle b,x\rangle}{\lVert b\rVert^2} b.\)
\(\displaystyle B\)가 직교-정규일 때, 이것은 다음으로 단수화합니다:
\(\quad\displaystyle x = \sum_{b\in B}\langle b,x\rangle b\)
그리고 \(\displaystyle x\)의 노름(norm)의 제곱은 다음에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle \|x\|^2 = \sum_{b\in B}|\langle x,b\rangle |^2.\)
\(\displaystyle B\)가 셀-수-없는(uncountable) 것일지라도, 이 합계에서 셀-수-있게 많은 항만 비-영일 것이고, 표현식이 따라서 잘-정의됩니다. 이 합은 \(\displaystyle x\)의 푸리에 전개(Fourier expansion)라고도 불리고, 그 공식은 보통 파서반의 항등식(Parseval's identity)으로 알려져 있습니다.
만약 \(\displaystyle B\)가 \(\displaystyle H\)의 직교-정규 기저이면, \(\displaystyle H\)는 다음 의미에서 \(\displaystyle \ell^2(B)\)에 동형적(isomorphic)입니다: 다음을 만족하는 전단사 선형 맵 \(\displaystyle \Phi : H \to \ell^2(B)\)이 존재합니다:
\(\quad\displaystyle \langle\Phi(x),\Phi(y)\rangle=\langle x,y\rangle \quad \text{ for all } x, y \in H.\)
Incomplete orthogonal sets
힐베르트 공간 \(\displaystyle H\)와 \(\displaystyle H\)에서 서로 직교 벡터의 집합 \(\displaystyle S\)가 주어지면, 우리는 \(\displaystyle S\)를 포함하는 \(\displaystyle H\)의 가장 작은 닫힌 선형 부분-공간 \(\displaystyle V\)를 취할 수 있습니다. 그런-다음 \(\displaystyle S\)는 \(\displaystyle V\)의 직교 기저가 될 것입니다; 이는 불완전 직교 집합인 \(\displaystyle H\) 자체보다 더 작을 수 있거나, 완전 직교 집합일 때 \(\displaystyle H\)일 수 있습니다.
Existence
조온의 보조정리(Zorn's lemma)와 그람–슈미트 과정(Gram–Schmidt process) (또는 더 간단하게 잘-순서화되고 초월유한 재귀)을 사용하여, 모든 각 힐베르트 공간이 직교-정규 기저를 허용한다는 것을 보여줄 수 있습니다; 게다가, 같은 공간의 임의의 두 개의 직교-정규 기저는 같은 카디널리티(cardinality)를 가집니다 (이는 보통의 벡터 공간에 대해 차원 정리의 증명과 유사한 방식으로 입증될 수 있으며, 더 큰 기저 후보가 셀-수-있는지 여부에 따라 별도의 경우가 있습니다). 힐베르트 공간이 분리-가능(separable)인 것과 그것이 셀-수-있는 직교-정규 기저를 허용하는 것은 필요충분 조건입니다. (선택 공리의 사용 없이 이 마지막 명제를 증명할 수 있습니다.)
Choice of basis as a choice of isomorphism
구체성을 위해, 우리는 양의 한정 대칭 쌍-선형 형식 \(\displaystyle \phi=\langle\cdot,\cdot\rangle\)을 갖는 실수, \(\displaystyle n\) 차원 벡터 공간 \(\displaystyle V\)에 대해 직교-정규 기저를 논의합니다.
\(\displaystyle \phi\)에 관한 직교-정규 기저를 보는 한 가지 방법은 벡터 \(\displaystyle \mathcal{B} = \{e_i\}\)의 집합으로 보는 것이며, 이를 통해 \(\displaystyle v\in V\), 및 \(\displaystyle v^i\in \mathbb{R}\) 또는 \(\displaystyle (v^i) \in \mathbb{R}^n\)에 대해 \(\displaystyle v = v^ie_i\)를 쓸 수 있습니다. 이 기저에 관해, \(\displaystyle \phi\)의 구성 요소는 특히 간단합니다: \(\displaystyle \phi(e_i,e_j) = \delta_{ij}.\)
우리는 이제 기저를 내부 곱 공간의 동형인 맵 \(\displaystyle \psi_\mathcal{B}:V\rightarrow \mathbb{R}^n\)으로 볼 수 있습니다: 이를 보다 명확하게 만들기 위해 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \psi_\mathcal{B}:(V,\phi)\rightarrow (\mathbb{R}^n,\delta_{ij}).\)
명시적으로 우리는 \(\displaystyle (\psi_\mathcal{B}(v))^i = e^i(v) = \phi(e_i,v)\)라고 쓸 수 있으며, 여기서 \(\displaystyle e^i\)는 \(\displaystyle e^i\)에 대한 이중 기저 원소입니다.
그 역은 다음 구성 요소 맵입니다:
\(\quad\displaystyle C_\mathcal{B}:\mathbb{R}^n\rightarrow V, (v^i)\mapsto \sum_{i=1}^n v^ie_i.\)
이들 정의는 다음 전단사가 있음을 나타냅니다:
\(\quad\displaystyle \{\text{Space of orthogonal bases } \mathcal{B}\}\leftrightarrow \{\text{Space of isomorphisms }V\leftrightarrow \mathbb{R}^n\}.\)
동형의 공간은 \(\displaystyle V\) 측 또는 \(\displaystyle \mathbb{R}^n\) 측에서 직교 그룹의 작용을 허용합니다. 구체성을 위해 우리는 동형을 \(\displaystyle \mathbb{R}^n\rightarrow V\) 방향을 가리키도록 수정하고, 그러한 맵의 공간을 \(\displaystyle \text{Iso}(\mathbb{R}^n\rightarrow V)\)로 고려합니다.
이 공간은 \(\displaystyle V\)의 등거리-변환의 그룹에 의한 왼쪽 동작, 즉, 합성: \(\displaystyle R*C=R\circ C\)에 의해 주어진 동작을 갖는 \(\displaystyle \phi(\cdot,\cdot) = \phi(R\cdot,R\cdot)\)임을 만족하는 \(\displaystyle R\in \text{GL}(V)\)를 허용합니다.
이 공간은 역시 \(\displaystyle \mathbb{R}^n\)의 등거리-변환의 그룹에 의해 오른쪽 동작, 즉, 합성: \(\displaystyle C*R_{ij} = C\circ R_{ij}\)에 의한 다시 주어진 동작을 갖는 \(\displaystyle R_{ij} \in \text{O}(n)\subset \text{Mat}_{n\times n}(\mathbb{R})\)를 허용합니다.
As a principal homogeneous space
표준 안의 곱을 갖는 \(\displaystyle \mathbb{R}^n\)에 대해 직교-정규 기저의 집합은 직교 그룹(orthogonal group) \(\displaystyle G = \text{O}(n)\)에 대한 주요 동차 공간 또는 G-torsor이고, 직교-정규 \(\displaystyle n\)-프레임의 스티펠 매니폴드(Stiefel manifold) \(\displaystyle V_n(\mathbf{R}^n)\)이라고 불립니다.
다른 말로, 직교-정규 기저의 공간은 직교 그룹과 같지만, 기저 점의 선택이 없습니다: 직교-정규 기저의 공간이 주어지면, 직교-정규 기저의 자연적인 선택은 없지만, 일단 하나가 주어지면 하나가 있으며, 기저와 직교 그룹 사이의 일-대-일 대응이 있습니다. 구체적으로, 선형 맵은 주어진 기저를 어디로 보내느냐에 따라 결정됩니다: 역-가능 맵이 임의의 기저를 임의의 다른 기저로 취할 수 있는 것처럼, 직교 맵은 임의의 직교 기저를 임의의 다른 직교 기저로 취할 수 있습니다.
\(\displaystyle k < n\)에 대해 불완전 직교-정규 기저 (직교-정규 \(\displaystyle k\)-프레임)의 다른 스티펠 매니폴드 \(\displaystyle V_k(\mathbf{R}^n)\)은 여전히 직교 그룹에 대해 동차 공간이지만, 주요 동차 공간은 아닙니다: 임의의 \(\displaystyle k\)-프레임은 직교 맵에 의해 임의의 다른 \(\displaystyle k\)-프레임으로 취해질 수 있지만, 이 맵은 고유하게 결정되지 않습니다.
- \(\displaystyle \mathbb{R}^{p,q}\)에 대해 직교-정규 기저의 집합은 \(\displaystyle G = \text{O}(p,q)\)에 대해 G-torsor입니다.
- \(\displaystyle \mathbb{C}^n\)에 대해 직교-정규 기저의 집합은 \(\displaystyle G = \text{U}(n)\)에 대해 G-torsor입니다.
- \(\displaystyle \mathbb{C}^{p,q}\)에 대해 직교-정규 기저의 집합은 \(\displaystyle G = \text{U}(p,q)\)에 대해 G-torsor입니다.
- \(\displaystyle \mathbb{R}^n\)에 대해 오른쪽-손 직교-정규 기저의 집합은 \(\displaystyle G = \text{SO}(n)\)에 대해 G-torsor입니다.
See also
- Orthogonal basis
- Basis (linear algebra) – Set of vectors used to define coordinates
- Orthonormal frame – Geometric structure that generalizes the Euclidean space
References
- Lay, David C. (2006). Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.). Addison–Wesley. ISBN 0-321-28713-4.
- Strang, Gilbert (2006). Linear Algebra and Its Applications (4th ed.). Brooks Cole. ISBN 0-03-010567-6.
- Axler, Sheldon (2002). Linear Algebra Done Right (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98258-2.
- Rudin, Walter (1987). Real & Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1.
- Linear Functional Analysis Authors: Rynne, Bryan, Youngson, M.A. page 79
- "CU Faculty". engfac.cooper.edu. Retrieved 2021-04-15.
- Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
External links
- This Stack Exchange Post discusses why the set of Dirac Delta functions is not a basis of \(LL^2([0,1])\).
