(번역) Oscillation (mathematics)

Original article: w:Oscillation (mathematics)

 

수학(mathematics)에서, 함수(function) 또는 수열(sequence)의 진동(oscillation)은 수열 또는 함수가 무한대 또는 한 점에 접근할 때 그것의 극단 값(extreme values) 사이에서 얼마나 변하는지를 정량화하는 숫자입니다. 극한(limits)의 경우와 마찬가지로, 직관적인 개념을 수학적 처리에 적합한 형식으로 넣는 몇 가지 정의가 있습니다: 실수(real numbers)의 수열의 진동, 한 점에서 실수-값 함수(real-valued function)의 진동, 및 구간 (또는 열린 집합) 위에 함수의 진동 등이 있습니다.

Definitions

Oscillation of a sequence

${\displaystyle (a_n)}$을 실수의 수열이라고 놓습니다. 해당 수열의 진동 ${\displaystyle \omega (a_n)}$은 ${\displaystyle (a_n)}$의 극한 상부와 극한 하부(limit superior and limit inferior) 사이의 차이 (아마도 무한대)로 정의됩니다:

${\displaystyle \omega (a_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{a}_n-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{a}_n}$.

진동이 영인 것과 수열이 수렴하는 것은 필요충분 조건입니다. 그것은 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}}$와 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}}$가 둘 다 +∞와 같거나 둘 다 −∞와 같으면, 즉, 수열이 +∞ 또는 −∞으로 가는 경향이 있으면 정의되지 않습니다.

Oscillation of a function on an open set

${\displaystyle f}$를 실수 변수의 실수-값 함수라고 놓습니다. 그것의 도메인에서 구간 ${\displaystyle I}$ 위의 ${\displaystyle f}$의 진동은 ${\displaystyle f}$의 상한(supremum)과 하한(infimum) 사이의 차이입니다:

${\displaystyle {\omega }_f(I)=\underset{x\in I}{sup}f(x)-\underset{x\in I}{inf}f(x).}$

보다 일반적으로, 만약 ${\displaystyle f:X\to \mathbb{R}}$가 (메트릭 공간과 같은) 토폴로지적 공간(topological space) ${\displaystyle X}$ 위의 함수이면, 열린 집합(open set) ${\displaystyle U}$ 위의 ${\displaystyle f}$의 진동은 다음과 같습니다:

${\displaystyle {\omega }_f(U)=\underset{x\in U}{sup}f(x)-\underset{x\in U}{inf}f(x).}$

Oscillation of a function at a point

점 ${\displaystyle x_0}$에서 실수 변수의 함수 ${\displaystyle f}$의 진동은 ${\displaystyle x_0}$의 ${\displaystyle ϵ}$-이웃 위에 ${\displaystyle f}$의 진동의 ${\displaystyle ϵ\to 0}$일 때 극한으로 정의합니다:

${\displaystyle {\omega }_f(x_0)=\underset{ϵ\to 0}{lim}{\omega }_f(x_0-ϵ,x_0+ϵ).}$

이것은 점 ${\displaystyle x_0}$가 극한에서 제외되지 않는다는 조건으로 하여 ${\displaystyle x_0}$에서 함수의 극한 상부와 극한 하부 사이의 차이와 같습니다.

보다 일반적으로, 만약 ${\displaystyle f:X\to \mathbb{R}}$가 메트릭 공간(metric space) 위에 실수-값 함수이면, 진동은 다음과 같습니다:

${\displaystyle {\omega }_f(x_0)=\underset{ϵ\to 0}{lim}{\omega }_f(B_{ϵ}(x_0)).}$

Examples

• ${\displaystyle \frac{1}{x}}$는 ${\displaystyle x}$ = 0에서 진동 ∞을 가지고, 다른 유한 ${\displaystyle x}$와 −∞와 +∞에서 진동 0을 가집니다.
• ${\displaystyle \sin \frac{1}{x}}$ (토폴로지스트의 사인 곡선(topologist's sine curve))은 ${\displaystyle x}$ = 0에서 진동 2를 가지고, 다른 곳에서 0을 가집니다.
• ${\displaystyle \sin x}$는 모든 각 유한 ${\displaystyle x}$에서 진동 0을 가지고, −∞와 +∞에서 2를 가집니다.
• ${\displaystyle (-1{)}^x}$또는 1, -1, 1, -1, 1, -1...는 진동 2를 가집니다.

마지막 예제에서 수열은 주기적(periodic)이고, 상수인 것 없이 주기적인 임의의 수열은 비-영 진동을 가질 것입니다. 어쨌든, 비-영 진동은 보통 주기성을 나타내지 않습니다.

기하학적으로, 실수 위에 진동하는 함수의 그래프는 점점 더 작은 영역에 정착하는 것 없이 xy-평면에서 일부 경로를 따릅니다. 잘-행동된(well-behaved) 경우에서, 경로는 자체적으로 되돌아오는 루프, 즉, 주기적인 행동처럼 보일 수 있습니다; 최악의 경우에서, 전체 영역을 덮는 매우 불규칙한 운동일 수 있습니다.

Continuity

진동은 함수의 연속성(continuity of a function)을 정의하기 위해 사용될 수 있고, (실수 직선의 모든 곳에서 정의된 함수의 경우에서) 보통의 ε-δ 정의와 쉽게 동등합니다. 함수 ƒ가 $x_0$에서 연속인 것과 진동이 영인 것은 필요충분 조건입니다; 기호로, ${\displaystyle {\omega }_f(x_0)=0.}$ 이 정의의 이점은 불연속성을 정량화한다는 것입니다: 진동은 함수가 한 점에서 얼마나 불연속적인지를 나타냅니다.

예를 들어, 불연속의 분류(classification of discontinuities)에서:

• 제거-가능 불연속(removable discontinuity)에서, 함수의 값이 벗어난 거리는 진동입니다.
• 점프 불연속성(jump discontinuity)에서, 점프의 크기는 진동입니다 (그 점에서 값이 양쪽 변에서 이들 극한 사이에 놓인다고 가정합니다).
• 본질적 불연속(essential discontinuity)에서, 진동은 극한이 존재하지 않는 것을 측정합니다.

이 정의는 설명적 집합 이론(descriptive set theory)에서 불연속점과 연속 점의 집합을 연구하기 위해 유용하고 – 연속 점은 진동이 ε (따라서 $G_{\delta }$ 집합)보다 작은 집합의 교차점입니다 – 르베그 적분-가능 조건(Lebesgue integrability condition)의 한 방향의 매우 빠른 증명을 제공합니다.

진동은 간단한 재-배열에 의한 ε-δ 정의와 진동을 정의하기 위해 극한 (lim sup, lim inf)를 사용함으로써 동등합니다: 만약 (주어진 점에서) 주어진 ${ϵ}_0$에 대해 ε-δ 정의를 만족시키는 δ가 없으면, 진동은 적어도 ${ϵ}_0$이고, 반대로 만약 모든 각 ε에 대해 원하는 δ가 있으면, 진동은 0입니다. 진동 정의는 토폴로지적 공간에서 메트릭 공간으로의 맵으로 자연스럽게 일반화될 수 있습니다.

Generalizations

보다 일반적으로, 만약 f : X → Y가 토폴로지적 공간(topological space) X에서 메트릭 공간(metric space) Y로의 함수이면, f의 진동은 다음에 의해 각 x ∈ X에서 정의됩니다:

${\displaystyle \omega (x)=inf\{\mathrm{diam}(f(U))\mid U\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{neighborhood}\mathrm{of}x\}}$

See also

• Grandi's series

References

 

• Introduction to Real Analysis, updated April 2010, William F. Trench, Theorem 3.5.2, p. 172
• Introduction to Real Analysis, updated April 2010, William F. Trench, 3.5 "A More Advanced Look at the Existence of the Proper Riemann Integral", pp. 171–177

Further reading

• Hewitt and Stromberg (1965). Real and abstract analysis. Springer-Verlag. p. 78. ISBN 9780387901381.
• Oxtoby, J (1996). Measure and category (4th ed.). Springer-Verlag. pp. 31–35. ISBN 978-0-387-90508-2.
• Pugh, C. C. (2002). Real mathematical analysis. New York: Springer. pp. 164–165. ISBN 0-387-95297-7.