수학(mathematics)에서, 함수(function) 또는 수열(sequence)의 진동(oscillation)은 수열 또는 함수가 무한대 또는 한 점에 접근할 때 그것의 극단 값(extreme values) 사이에서 얼마나 변하는지를 정량화하는 숫자입니다. 극한(limits)의 경우와 마찬가지로, 직관적인 개념을 수학적 처리에 적합한 형식으로 넣는 몇 가지 정의가 있습니다: 실수(real numbers)의 수열의 진동, 한 점에서 실수-값 함수(real-valued function)의 진동, 및 구간 (또는 열린 집합) 위에 함수의 진동 등이 있습니다.
Definitions
Oscillation of a sequence
\(\displaystyle (a_n)\)을 실수의 수열이라고 놓습니다. 해당 수열의 진동 \(\displaystyle \omega(a_n)\)은 \(\displaystyle (a_n)\)의 극한 상부와 극한 하부(limit superior and limit inferior) 사이의 차이 (아마도 무한대)로 정의됩니다:
\(\quad\displaystyle \omega(a_n) = \limsup_{n\to\infty} a_n - \liminf_{n\to\infty} a_n\).
진동이 영인 것과 수열이 수렴하는 것은 필요충분 조건입니다. 그것은 \(\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\)와 \(\displaystyle \liminf_{n\to\infty}\)가 둘 다 +∞와 같거나 둘 다 −∞와 같으면, 즉, 수열이 +∞ 또는 −∞으로 가는 경향이 있으면 정의되지 않습니다.
Oscillation of a function on an open set
\(\displaystyle f\)를 실수 변수의 실수-값 함수라고 놓습니다. 그것의 도메인에서 구간 \(\displaystyle I\) 위의 \(\displaystyle f\)의 진동은 \(\displaystyle f\)의 상한(supremum)과 하한(infimum) 사이의 차이입니다:
\(\quad\displaystyle \omega_f(I) = \sup_{x\in I} f(x) - \inf_{x\in I} f(x).\)
보다 일반적으로, 만약 \(\displaystyle f:X\to\mathbb{R}\)가 (메트릭 공간과 같은) 토폴로지적 공간(topological space) \(\displaystyle X\) 위의 함수이면, 열린 집합(open set) \(\displaystyle U\) 위의 \(\displaystyle f\)의 진동은 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle \omega_f(U) = \sup_{x\in U} f(x) - \inf_{x\in U}f(x).\)
Oscillation of a function at a point
점 \(\displaystyle x_0\)에서 실수 변수의 함수 \(\displaystyle f\)의 진동은 \(\displaystyle x_0\)의 \(\displaystyle \epsilon\)-이웃 위에 \(\displaystyle f\)의 진동의 \(\displaystyle \epsilon\to 0\)일 때 극한으로 정의합니다:
\(\quad\displaystyle \omega_f(x_0) = \lim_{\epsilon\to 0} \omega_f(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon).\)
이것은 점 \(\displaystyle x_0\)가 극한에서 제외되지 않는다는 조건으로 하여 \(\displaystyle x_0\)에서 함수의 극한 상부와 극한 하부 사이의 차이와 같습니다.
보다 일반적으로, 만약 \(\displaystyle f:X\to\mathbb{R}\)가 메트릭 공간(metric space) 위에 실수-값 함수이면, 진동은 다음과 같습니다:
\(\quad\displaystyle \omega_f(x_0) = \lim_{\epsilon\to 0} \omega_f(B_\epsilon(x_0)).\)
Examples
- \(\displaystyle \frac {1}{x}\)는 \(\displaystyle x\) = 0에서 진동 ∞을 가지고, 다른 유한 \(\displaystyle x\)와 −∞와 +∞에서 진동 0을 가집니다.
- \(\displaystyle \sin \frac {1}{x}\) (토폴로지스트의 사인 곡선(topologist's sine curve))은 \(\displaystyle x\) = 0에서 진동 2를 가지고, 다른 곳에서 0을 가집니다.
- \(\displaystyle \sin x\)는 모든 각 유한 \(\displaystyle x\)에서 진동 0을 가지고, −∞와 +∞에서 2를 가집니다.
- \(\displaystyle (-1)^x\)또는 1, -1, 1, -1, 1, -1...는 진동 2를 가집니다.
마지막 예제에서 수열은 주기적(periodic)이고, 상수인 것 없이 주기적인 임의의 수열은 비-영 진동을 가질 것입니다. 어쨌든, 비-영 진동은 보통 주기성을 나타내지 않습니다.
기하학적으로, 실수 위에 진동하는 함수의 그래프는 점점 더 작은 영역에 정착하는 것 없이 xy-평면에서 일부 경로를 따릅니다. 잘-행동된(well-behaved) 경우에서, 경로는 자체적으로 되돌아오는 루프, 즉, 주기적인 행동처럼 보일 수 있습니다; 최악의 경우에서, 전체 영역을 덮는 매우 불규칙한 운동일 수 있습니다.
Continuity
진동은 함수의 연속성(continuity of a function)을 정의하기 위해 사용될 수 있고, (실수 직선의 모든 곳에서 정의된 함수의 경우에서) 보통의 ε-δ 정의와 쉽게 동등합니다. 함수 ƒ가 \(x_0\)에서 연속인 것과 진동이 영인 것은 필요충분 조건입니다; 기호로, \(\displaystyle \omega_f(x_0) = 0.\) 이 정의의 이점은 불연속성을 정량화한다는 것입니다: 진동은 함수가 한 점에서 얼마나 불연속적인지를 나타냅니다.
예를 들어, 불연속의 분류(classification of discontinuities)에서:
- 제거-가능 불연속(removable discontinuity)에서, 함수의 값이 벗어난 거리는 진동입니다.
- 점프 불연속성(jump discontinuity)에서, 점프의 크기는 진동입니다 (그 점에서 값이 양쪽 변에서 이들 극한 사이에 놓인다고 가정합니다).
- 본질적 불연속(essential discontinuity)에서, 진동은 극한이 존재하지 않는 것을 측정합니다.
이 정의는 설명적 집합 이론(descriptive set theory)에서 불연속점과 연속 점의 집합을 연구하기 위해 유용하고 – 연속 점은 진동이 ε (따라서 \(G_{\delta}\) 집합)보다 작은 집합의 교차점입니다 – 르베그 적분-가능 조건(Lebesgue integrability condition)의 한 방향의 매우 빠른 증명을 제공합니다.
진동은 간단한 재-배열에 의한 ε-δ 정의와 진동을 정의하기 위해 극한 (lim sup, lim inf)를 사용함으로써 동등합니다: 만약 (주어진 점에서) 주어진 \(\epsilon_0\)에 대해 ε-δ 정의를 만족시키는 δ가 없으면, 진동은 적어도 \(\epsilon_0\)이고, 반대로 만약 모든 각 ε에 대해 원하는 δ가 있으면, 진동은 0입니다. 진동 정의는 토폴로지적 공간에서 메트릭 공간으로의 맵으로 자연스럽게 일반화될 수 있습니다.
Generalizations
보다 일반적으로, 만약 f : X → Y가 토폴로지적 공간(topological space) X에서 메트릭 공간(metric space) Y로의 함수이면, f의 진동은 다음에 의해 각 x ∈ X에서 정의됩니다:
\(\quad\displaystyle \omega(x) = \inf\left\{\mathrm{diam}(f(U))\mid U\mathrm{\ is\ a\ neighborhood\ of\ }x\right\}\)
See also
References
- Introduction to Real Analysis, updated April 2010, William F. Trench, Theorem 3.5.2, p. 172
- Introduction to Real Analysis, updated April 2010, William F. Trench, 3.5 "A More Advanced Look at the Existence of the Proper Riemann Integral", pp. 171–177
Further reading
- Hewitt and Stromberg (1965). Real and abstract analysis. Springer-Verlag. p. 78. ISBN 9780387901381.
- Oxtoby, J (1996). Measure and category (4th ed.). Springer-Verlag. pp. 31–35. ISBN 978-0-387-90508-2.
- Pugh, C. C. (2002). Real mathematical analysis. New York: Springer. pp. 164–165. ISBN 0-387-95297-7.
