(번역) Classification of discontinuities

수학에서, 연속 함수(Continuous function)는 함수와 응용에서 가장 중요합니다. 어쨌든, 모든 함수(functions)가 연속은 아닙니다. 만약 함수가 그의 도메인(domain) 안의 한 점에서 연속이 아니면, 그곳에서 불연속(discontinuity)이라고 말합니다. 함수의 불연속의 모든 점의 집합은 이산 집합(discrete set), 조밀 집합(dense set), 또는 심지어 함수의 전체 도메인일 수 있습니다. 이 기사는 실수 값을 취하는 단일 실수(real) 변수의 함수 중 가장 단순한 경우에서 불연속의 분류(classification of discontinuities)를 설명합니다.

한 점에서 함수의 진동(oscillation)은 다음처럼 이들 불연속을 정량화합니다:

제거-가능한 불연속에서, 함수의 값이 떨어지는 거리는 진동입니다;
점프 불연속에서, 점프의 크기가 진동입니다 (그 점에서 값은 양 측으로부터 이들 극한 사이에 놓이는 것을 가정합니다);
본질적인 불연속에서, 진동은 극한이 존재하지 않는 것을 측정합니다. 극한은 상수입니다.

특수한 경우는 만약 함수가 무한대 또는 음의 무한대로 발산하면, 이 경우에서 진동은 정의되지 않습니다 (확장된 실수에서, 이것은 제거-가능한 불연속입니다).

Classification

다음의 각각에 대해, f가 불연속인 점 \(x_0\)의 이웃에서 정의된, 실수 변수 x의 실수 값 함수 f를 생각해 보십시오.

Removable discontinuity

다음 함수를 생각해 보십시오:

\(\quad\)\(f(x) = \begin{cases}
  x^2 & \mbox{ for } x < 1 \\
  0   & \mbox{ for } x = 1 \\
  2-x & \mbox{ for } x > 1
\end{cases}\)

점 \(x_0=1\)은 제거-가능한 불연속입니다. 불연속의 이 종류에 대해:

\(x_0\)에서 음의 방향으로부터 한-쪽 극한(one-sided limit):

\(\quad\)\(\displaystyle L^{-}=\lim_{x\to x_0^{-}} f(x)\)

및 양의 방향으로부터 한-쪽 극한:

\(\quad\)\(\displaystyle L^{+}=\lim_{x\to x_0^{+}} f(x)\)

둘 다가 존재하고, 유한하고, \(L=L^-=L^+\)와 같습니다. 달리 말해서, 두 개의 한-쪽 극한이 존재하고 같으므로, f(x)의 극한 L은 x가 \(x_0\)로 접근할 때 존재하고 이 같은 값과 같습니다. 만약 \(f(x_0)\)의 실제 값이 L과 같지 않으면, \(x_0\)는 제거-가능한 불연속으로 불립니다. 이 불연속은 \(x_0\)에서 f를 연속으로 만들기 위해 제거될 수 있거나, 보다 정확하게, 함수

\(\quad\)\(g(x) = \begin{cases}f(x) & x\ne x_0 \\ L & x = x_0\end{cases}\)

는 \(x=x_0\)에서 연속입니다.

용어 제거-가능한 불연속은 양쪽 방향에서 극한이 존재하고 같지만, 함수는 점 \(x_0\)에서 정의되지 않는(undefined) 경우에 대해 때때로 용어의 남용(abuse of terminology)입니다. 이 사용은 남용하는 것인데 왜냐하면 함수의 연속성(continuity)과 불연속성은 함수의 도메인에서 점에 대해 오직 정의된 개념이기 때문입니다. 도메인 안에 있지 않은 그러한 점은 제거-가능한 특이점(removable singularity)으로 적절하게 불러야 합니다.

Jump discontinuity

다음 함수를 생각해 보십시오:

\(\quad\)\(f(x) = \begin{cases}
  x^2         & \mbox{ for } x < 1 \\
  0           & \mbox{ for } x = 1 \\
  2 - (x-1)^2 & \mbox{ for } x > 1
\end{cases}\)

그런-다음, 점 \(x_0=1\)은 점프 불연속입니다.

이 경우에서, 단일 극한은 존재하지 않는데 왜냐하면 한-쪽 극한, \(L^-\)와 \(L^+\)은 존재하고, 유한이지만, 같지 않기 때문입니다: \(L^- \neq L^+\)이므로, 극한 L은 존재하지 않습니다. 그런-다음, \(x_0\)은 점프 불연속, 계단 불연속, 또는 첫 번째 종류의 불연속으로 불립니다. 불연속의 이 유형에 대해, 함수 f는 \(x_0\)에서 임의의 값을 가질 수 있습니다.

Essential discontinuity

본질적인 불연속성에 대해, 두 한-쪽 극한 중 오직 하나가 존재하지 않거나 무한일 필요가 있습니다. 다음 극한을 생각해 보십시오:

\(\quad\)\(f(x) = \begin{cases}
  \sin\frac{5}{x-1} & \text{ for } x < 1 \\
  0                 & \text{ for } x = 1 \\
  \frac{1}{x-1}     & \text{ for } x > 1.
\end{cases}\)

그런-다음, 점 \(x_0=1\)은 본질적인 불연속입니다.

이 경우에서, \(L^-\)이 존재하지 않고 \(L^+\)은 무한입니다 – 따라서 본질적인 불연속의 조건을 두 번 만족시킵니다. 그래서 \(x_0\)는 본질적인 불연속, 무한 불연속, 또는 두 번째 종류의 불연속입니다. (이것은 본질적인 특이점(essential singularity)과 구별되며, 이것은 복소 변수의 함수(functions of complex variables)를 연구할 때 종종 사용됩니다.)