(번역) Sequence

 

수학(mathematics)에서, 수열(sequence)은 반복이 허용되고 순서가 중요한 대상의 열거된 모음입니다. 집합(set)과 마찬가지로, 그것은 (원소(elements), 또는 항(terms)으로 역시 불리우는) 구성원(members)을 포함합니다. (무한대가 가능한) 원소의 숫자는 수열의 길이(length)로 불립니다. 집합과는 다르게, 같은 원소는 수열에서 다른 위치에 여러 번 나타날 수 있고, 순서는 중요합니다. 공식적으로, 수열은 그의 도메인이 (무한 수열에 대해) 자연수(natural number)의 집합 또는 (유한 길이 n의 수열에 대해) 첫 번째 n 자연수의 집합 중 하나인 함수(function)로 정의될 수 있습니다.
수열에서 원소의 위치는 그의 랭크(rank) 또는 인덱스(index)입니다; 그것은 원소가 이미지인 것에 대해 자연수입니다. 첫 번째 원소는 인덱스 0 또는 1을 가지며, 문맥 또는 특정 관례에 따라 다릅니다. 기호가 수열을 나타내기 위해 사용될 때, 수열의 n번째 원소는 아래첨자로써 n를 갖는 이 기호에 의해 표시됩니다; 예를 들어, 피보나치 수열(Fibonacci sequence) F의 n번째 원소는 일반적으로 $F_n$으로 표시됩니다.
예를 들어, (M, A, R, Y)는 첫 번째에 문자 'M' 및 마지막에 'Y'를 가진 문자의 수열입니다. 이 수열은 (A, R, M, Y)과 다릅니다. 또한, 두 개의 서로 다른 위치에 1을 포함하는, 수열 (1, 1, 2, 3, 5, 8)는 유효한 수열입니다. 이들 예제에서 처럼, 수열은 유한(finite)일 수 있으며, 또는 모든 짝수(even) 양의 정수(positive integer) (2, 4, 6, ...)와 같은 무한(infinite)일 수 있습니다. 컴퓨팅(computing) 및 컴퓨터 과학(computer science)에서, 유한 수열은 때때로 문자열(strings), 단어(words) 또는 목록(lists)으로 불리우며, 다른 이름은 컴퓨터 메모리(computer memory)에서 이들을 나타내기 위한 다른 방법에 공통적으로 대응합니다; 무한 수열은 스트림(streams)으로 불립니다. 빈 수열 ( )은 수열의 대부분의 개념에 포함하지만, 문맥에 따라 제외될 수 있을 것입니다.

Examples and notation

수열은 특정 순서를 갖는 원소의 목록으로 생각될 수 있습니다. 수열은 함수(functions), 공간(spaces), 및 수열의 수렴(convergence) 속성을 사용하여 다른 수학적 구조를 연구하는 것에 대해 많은 수학 분야에서 유용합니다. 특히, 수열은 급수(series)에 대해 기초이며, 이것은 미분 방정식(differential equations)과 해석학(analysis)에서 중요합니다. 수열은 그들 자신의 권리로에 역시 관심이 있고 소수(prime number)의 연구에서 처럼, 패턴이나 퍼즐로 연구될 수 있습니다.
수열을 나타내기 위한 많은 방법이 있으며, 그 중 일부는 수열의 특정 유형에 대해 보다 유용합니다. 수열을 지정하는 한 가지 방법은 원소를 나열하는 것입니다. 예를 들어, 처음 네 개의 홀수는 수열 (1, 3, 5, 7)를 형성합니다. 이 표기법은 무한 수열에 마찬가지로 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 양의 홀수의 무한 수열은 (1, 3, 5, 7, ...)로 쓰여질 수 있습니다. 나열법은 처음 몇 개의 원소로부터 쉽게 식별될 수 있는 패턴(pattern)을 갖는 무한 수열에 가장 유용합니다. 수열을 나타내기 위한 다른 방법은 예제 후에 논의됩니다.

Examples

소수(prime number)는 1과 자기자신을 제외한 약수(divisor)를 가지지 않는 1보다 큰 자연수(natural numbers)입니다. 본래의 순서에서 이들을 취하는 것은 수열 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...)을 제공합니다. 소수는 수학에서 구체적으로 숫자 이론(number theory)에서 널리 사용됩니다.
피보나치 숫자(Fibonacci numbers)는 그들 원소가 이전 두 원소의 합으로 만들어지는 정수 수열입니다. 처음 두 원소는 0과 1 또는 1과 1 중에 하나이고 그래서 수열은 (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)입니다.
정수 수열의 예제의 큰 목록에 대해, 정수 수열의 온-라인 백과사전(On-Line Encyclopedia of Integer Sequences)을 참조하십시요.
수열의 다른 예제는 유리수(rational numbers), 실수(real number), 및 복소수(complex numbers)로 구성된 수열을 포함합니다. 수열 (.9, .99, .999, .9999, ...)은 숫자 1에 접근합니다. 사실, 모든 각 실수는 유리수의 수열의 극한(limit), 예를 들어 그의 십진 전개(decimal expansion)를 통해 쓰여질 수 있습니다. 예를 들어, π는 수열 (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...)의 극한입니다. 관련된 수열은 π의 십진 자릿수의 수열, 즉 (3, 1, 4, 1, 5, 9, ...)입니다. 이 수열은, 증가하는 이전 수열과 달리, 눈으로 쉽게 식별될 수 있는 임의의 패턴을 가지지 않습니다.

Indexing

다른 표기법은 그의 패턴이 쉽게 추측될 수 없는 수열, 또는 π의 자릿수와 같은 패턴을 가지지 않는 수열에 대해 유용할 수 있습니다. 하나의 그런 표기법은 n의 함수로 n번째 항을 계산하는 것에 대한 일반적인 공식을 적어, 괄호로 그것을 묶고, n이 취할 수 있는 값의 집합을 나타내는 아래첨자를 포함하는 것입니다. 예를 들어, 이런 표기법에서 짝수의 수열은 $(2n{)}_{n\in \mathbb{N}}$로 쓰여질 수 있습니다. 제곱수의 수열은 $(n^2{)}_{n\in \mathbb{N}}$으로 쓰여질 수 있습니다. 변수 n은 인덱스(index)로 불리우고, 그것을 취할 수 있는 값의 집합은 인덱스 집합(index set)으로 불립니다.
이 표기법을 수열의 원소를 변수로 다루는 기술과 결합하는 것이 종종 유용합니다. 이것은 그의 n번째 원소가 변수 $a_n$으로 제공되는 수열을 나타내는 $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$와 같은 표현을 산출합니다. 예를 들어:
$$$\begin{array}{rl}{a}_1& =1\text{st element of }(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\\ a_2& =2\text{nd element }\\ a_3& =3\text{rd element }\\ & ⋮\\ a_{n-1}& =(n-1)\text{th element}\\ a_n& =n\text{th element}\\ a_{n+1}& =(n+1)\text{th element}\\ & ⋮\end{array}$
우리는 다른 변수를 사용함으로써 동시에 다중 수열을 고려할 수 있습니다; 예를 들어, $(b_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$은 $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$와 다른 수열일 수 있습니다. 우리는 심지어 수열의 수열을 고려할 수 있습니다: $((a_{m,n}{)}_{n\in \mathbb{N}}{)}_{m\in \mathbb{N}}$는 그의 m번째 항이 수열 $(a_{m,n}{)}_{n\in \mathbb{N}}$인 수열을 나타냅니다.
아래첨자에서 수열의 도메인을 쓰는 것의 대안은 인덱스가 가장-높고 가장-낮은 적법한 값을 나열함으로써 취할 수 있는 값의 범위를 나타내는 것입니다. 예를 들어, 표기법 $(k^2{)}_{k=1}^{10}$은 제곱수의 십-항 수열 (1, 4, 9, ..., 100)을 나타냅니다. 극한 $\mathrm{\infty }$ 및 $-\mathrm{\infty }$은 허용되지만, 그들은 인덱스에 대해 유효한 값을 나타내지 않고, 오직 그런 값의 상한(supremum) 또는 하한(infimum)을, 각각, 나타냅니다. 예를 들어, 수열 $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$은 수열 $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$과 같고, 더해진 항 "무한대에서"를 포함하지 않습니다. 수열 $(a_n{)}_{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$은 쌍-무한 수열(bi-infinite sequence)이고, $(...,a_{-1},a_0,a_1,a_2,...)$으로 역시 쓰여질 수 있습니다.
인덱스하는 숫자의 집합이 이해되는 경우에서, 아래첨자와 위첨자는 종종 생략될 수 있습니다. 즉, 우리는 임의의 수열에 대해 간단히 $(a_k)$을 씁니다. 종종, 인덱스 k는 1에서 ∞까지로 이해됩니다. 어쨌든, 수열은, 다음에서 처럼, 영부터 시작하여 자주 인덱스됩니다:
$$$(a_k{)}_{k=0}^{\mathrm{\infty }}=(a_0,a_1,a_2,...).$
일부 경우에서, 수열의 원소는 그의 패턴이 쉽게 추론될 수 있는 정수의 수열과 자연스럽게 관련됩니다. 이들 경우에서 인덱스 집합은 처음 몇 개의 추상적인 원소의 나열에 의해 암시될 수 있을 것입니다. 예를 들어, 홀수(odd number)의 제곱의 수열은 다음 방법의 임의의 하나로 나타낼 수 있습니다.

• $(1,9,25,...)$
• $(a_1,a_3,a_5,...),a_k=k^2$
• $(a_{2k-1}{)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }},a_k=k^2$
• $(a_k{)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }},a_k=(2k-1{)}^2$
• $((2k-1{)}^2{)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$

게다가, 아래첨자와 위첨자는, 만약 인덱스하는 집합이 자연수인 것으로 이해되면, 세 번째, 네 번째, 및 다섯 번째 표기법에서 생략될 수 있습니다. 두 번째와 세 번째 경우에서, 잘-정의된 수열 $(a_k{)}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$이 있지만, 그것은 표현에 의해 나타낸 수열과 같지 않습니다.

Defining a sequence by recursion

그의 원소가 간단한 방법에서 이전 원소와 관련된 수열은 종종 재귀(recursion)를 사용하여 정의됩니다. 이것은 그들 위치의 함수로 수열 원소의 정의와는 대조적입니다.
재귀에 의해 수열을 정의하기 위해, 우리는 각 원소를 그것 이전 원소의 관점에서 구성하기 위한 재귀 관계(recurrence relation)로 불리우는 규칙이 필요합니다. 게다가, 충분한 초기 원소는, 수열의 모든 뒤의 원소가 재귀 관계의 연속적인 적용에 의해 계산 될 수 있도록, 반드시 제공되어야 합니다.
피보나치 수열(Fibonacci sequence)은 간단한 고전적 예제이며, 초기 항 $a_0=0$ 및 $a_1=1$과 함께 다음 재귀 관계에 의해 정의됩니다:
$$$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$.
이것으로부터, 간단한 계산은 이 수열의 처음 십 항은 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 및 34임을 보입니다.
재귀 관계에 의해 정의되는 수열의 복잡한 예제는 레카만의 수열(Recamán's sequence)이며, 초기 항 $a_0=0$과 함께 다음 재귀 관계로 정의됩니다:
$$$\{\begin{array}{l}{a}_n=a_{n-1}-n,\text{if the result is positive and not already in the previous terms,}\\ a_n=a_{n-1}+n,\text{otherwise}.\end{array}$
상수 계수를 가진 선형 재귀는 다음 형식의 재귀 관계입니다:
$$$a_n=c_0+c_1{a}_{n-1}+\cdots +c_k{a}_{n-k},$
여기서 $c_0,\dots ,c_k$는 상수(constants)입니다. 그런 수열의 일반 항 $a_n$을 n의 함수로 표현하는 일반적인 방법이 있습니다; 선형 재귀(Linear recurrence)를 참조하십시오. 피보나치 수열의 경우에서, 우리는 $c_0=0,c_1=c_2=1$를 가지고, n의 결과 함수는 비네의 공식(Binet's formula)으로 제공됩니다.
홀로노믹 수열(holonomic sequence)은 다음 형식의 재귀 관계에 의해 정의된 수열입니다:
$$$a_n=c_1{a}_{n-1}+\cdots +c_k{a}_{n-k},$
여기서 $c_1,\dots ,c_k$은 n에서 다항식(polynomial)입니다. 대부분 홀로노믹 수열에 대해, $a_n$을 n의 함수로 명시적으로 표현하기 위한 명시적인 공식이 없습니다. 그럼에도 불구하고, 홀로노믹 수열은 다양한 수학 영역에서 중요한 역할을 합니다. 예를 들어, 많은 특수 함수(special functions)는 계수의 수열이 홀로노믹인 테일러 급수(Taylor series)를 가집니다. 재귀 관계의 사용은 그런 특수 함수의 값의 빠른 계산을 허용합니다.
모든 수열이 재귀 관계에 의해 지정될 수 있는 것은 아닙니다. 예제는 그들의 자연적인 순서에서 소수(prime number)의 수열 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...)입니다.

Formal definition and basic properties

수학에서 수열의 많은 다른 개념이 있으며, 그 중 일부 (예를 들어, : 완전 수열(exact sequence))는 아래에 소개된 정의 및 표기법으로 덮혀지지 않습니다.

Formal definition

이 기사에서, 수열은 그의 도메인이 정수(integers)의 구간(interval)인 함수(function)로 공식적으로 정의됩니다. 이 정의는, 한쪽 무한 수열, 쌍-무한 수열, 및 유한 수열을 포함하여, 단어 "수열"의 여러 다른 사용을 덮습니다 (수열의 이들 종류의 정의에 대해 아래를 참조하십시요). 어쨌든, 많은 저자는 수열의 도메인을 자연수의 집합인 것을 요구함으로써 더 좁은 정의를 사용합니다. 더 좁은 정의는 단점을 가지며, 표준 수학 연습에서 보통 수열로 불리우는, 유한 수열과 쌍-무한 무한 수열을 배제한다는 것입니다. 또 다른 단점은, 만약 우리가 수열의 첫 번째 항을 제거하면, 우리는 이 정의를 맞추기 위해 나머지 항을 다시-인덱스해야 한다는 것입니다. 일부 문맥에서, 설명을 줄이기 위해, 수열의 코도메인(codomain)은 문맥에 의해, 예를 들어 그것을 실수의 집합 R, 복소수의 집합 C, 또는 토폴로지적 공간(topological space)이 되는 것을 요구함으로써, 고정됩니다.
비록 수열이 함수의 유형일지라도, 그들은 보통 입력은 괄호라기 보다는 아래첨자, 즉, $a(n)$라기 보다는 $a_n$으로 쓰여지는 것으로 함수와 표기법에서 구별됩니다. 마찬가지로 용어적으로 차이점이 있습니다: 가장-낮은 입력 (종종 1)에서 수열의 값은 수열의 "첫 번째 원소"로 불리우고, 두 번째 가자-낮은 입력 (종종 2)에서 값은 "두 번째 원소", 등등으로 불립니다. 또한, 입력으로부터 추상화된 함수는 보통 단일 문자, 예를 들어 $f$로 표시되지만, 입력으로부터 추상화된 수열은 보통 $(a_n{)}_{n\in A}$, 또는 그냥 $(a_n)$와 같은 표기법으로 쓰여집니다. 여기서 $A$는 수열의 도메인, 또는 인덱스 집합입니다.
수열과 그들 극한 (아래를 참조하십시요)은 토폴로지적 공간을 연구하는 것에 대해 중요한 개념입니다. 수열의 중요한 일반화는 네트(nets)의 개념입니다. 네트는 (가능한 셀-수-없는) 방향화된 집합(directed set)에서 토폴로지적 공간으로의 함수입니다. 수열에 대한 표기적 관례는 통상적으로 마찬가지로 네트에 적용합니다.

Finite and infinite

수열의 길이(length)는 수열에서 항의 숫자로 정의됩니다.
유한 길이 n의 수열은 n-튜플(n-tuple)이라고 역시 불립니다. 유한 수열은 원소를 가지지 않는 빈 수열(empty sequence) ( )을 포함합니다.
통상적으로, 용어 무한 수열(infinite sequence)은 한 방향으로 무한한, 및 다른 방향으로 유한한 수열을 참조합니다—수열은 첫 번째 원소는 가지지만, 마지막 원소는 가지지 않습니다. 그러한 수열은, 모호성 제거가 필요할 때, 단독으로 무한 수열(singly infinite sequence) 또는 한쪽 무한 수열(one-sided infinite sequence)로 불립니다. 대조적으로, 양-방향으로 무한한—즉, 첫 번째 원소 및 마지막 원소도 가지지 않는 수열은 쌍-무한 수열(bi-infinite sequence), 두-방향 무한 수열(two-way infinite sequence), 또는 이중으로 무한 수열(doubly infinite sequence)입니다. 예를 들어 모든 짝의 정수의 수열 ( …, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8… )와 같은, 모든 정수의 집합 Z에서 하나의 집합으로의 함수는 쌍-무한입니다. 이 수열은 $(2n{)}_{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}$로 표시될 수 있습니다.

Increasing and decreasing

수열은, 만약 각 항이 그것 전의 항보다 크거나 같으면, 단조적으로 증가(monotonically increasing)라고 말합니다. 예를 들어, 수열 $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$이 단조적으로 증가하는 것과 모든 n ∈ N에 대해 $a_{n+1}\ge a_n$인 것은 필요충분 조건입니다. 만약 각 연속 항은 이전 항보다 엄격하게 크면 (>), 수열은 엄격하게 단조 증가(strictly monotonically increasing)라고 불립니다. 만약 각 연속 항이 이전 항보다 작거나 같으면, 수열은 단조적으로 감소(monotonically decreasing)하고, 만약 각 항이 이전보다 작으면, 엄격하게 단조 감소(strictly monotonically decreasing)입니다. 만약 수열이 증가 또는 감소하면, 그것은 단조(monotone) 수열이라고 불립니다. 이것은 단조로운 함수(monotonic function)의 보다 일반적인 개념의 특별한 경우입니다.
용어 비-감소(nondecreasing) 및 비-증가(nonincreasing)는 엄격하게 증가 및 엄격하게 감소와 임의의 가능한 혼란을 피하기 위해, 각각, 증가 및 감소의 자리에 종종 사용됩니다.

Bounded

만약 실수 $a_n$의 수열이, 모든 항이 어떤 실수 M보다 작은 것을 만족하면, 그 수열은 위로부터 경계진(bounded from above) 것이라고 말합니다. 달리 말해서, 이것은 모든 n에 대해, $a_n\le M$을 만족하는 M이 존재하는 것을 의미합니다. 임의의 그런 M은 위쪽 경계(upper bound:상한)라고 불립니다. 마찬가지로, 만약 어떤 실수 m에 대해, 어떤 N보다 더 큰 모든 n에 대해 $a_m\ge m$이면, 그 수열은 아래로부터 경계진 것이고 임의의 그런 m은 아래쪽 경계(lower bound:하한)으로 불립니다. 만약 수열이 위로부터 경계지고 아래로부터 둘 다 경계지면, 수열은 경계진(bounded) 것이라고 말합니다.

Subsequences

주어진 수열의 부분-수열(subsequence)은 남은 원소들의 상대적 위치를 방해하는 것없이 원소의 일부를 삭제함으로써 주어진 수열로부터 형성된 수열입니다. 예를 들어, 양의 짝의 정수 (2, 4, 6, ...)의 수열은 양의 정수 (1, 2, 3, ...)의 부분-수열입니다. 일부 원소의 위치는, 다른 원소가 삭제될 때, 변경됩니다. 어쨌든, 상대적 위치는 유지됩니다.
공식적으로, 수열 $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$의 부분-수열은 형식 $(a_{n_k}{)}_{k\in \mathbb{N}}$의 임의의 수열이며, 여기서 $(n_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$가 양의 정수의 엄격하게 증가 수열입니다.

Other types of sequences

수열의 일부 다른 유형은 다음을 포함하여 쉽게 정의되는 것입니다:

• 정수 수열(integer sequence)은 그의 항이 정수인 수열입니다.
• 다항식 수열(polynomial sequence)은 그의 항이 다항식인 수열입니다.
• 양의 정수 수열은, 만약 n과 m이 서로소(coprime)를 만족하는 모든 쌍 n, m에 대해 $a_{nm}=a_n{a}_m$이면, 곱셈적(multiplicative)이라고 때때로 불립니다. 다른 예제에서, 수열은, 만약 모든 n에 대해 $a_n=n{a}_1$이면, 곱셈적이라고 종종 불립니다. 게다가, 곱셈적 피보나치 수열은 재귀 관계 $a_n=a_{n-1}{a}_{n-2}$를 만족시킵니다.
• 이진 수열(binary sequence)은 그의 항이 두 이산 값, 예를 들어, 밑수 2(base 2) 값 (0,1,1,0, ...), 동전 던지기 (Heads/Tails) H,T,H,H,T, ...의 수열, 참 또는 거짓의 질문의 집합에 대한 대답 (T, F, T, T, ...), 기타 등등의 하나를 가지는 수열입니다.

Limits and convergence

수열의 중요한 속성은 수렴(convergence)입니다. 만약 수열이 수렴하면, 그것은 극한으로 알려진 특정 값으로 수렴합니다. 만약 수열이 어떤 극한에 수렴하면, 그것은 수렴(convergent)합니다. 수렴하지 않는 수열은 발산(divergent)합니다.
비공식적으로, 수열은, 만약 수열의 원소가 (수열의 극한이라 불리는) 어떤 값 $L$에 점점 더 가까워지면, 극한을 가지고, 그들이 $L$에 임의로 가까워지게 되고 머무르며, 영보다 큰 실수 $d$가 주어지면, 수열의 원소의 유한 숫자를 제외한 모두는 $d$보다 작은 $L$로부터 거리를 가지게 됨을 의미합니다.
예를 들어, 오른쪽에 보여지는 수열 ${\displaystyle a_n=\frac{n+1}{2n^2}}$은 값 0에 수렴합니다. 다른 한편, (1, 8, 27, …로 시작하는) 수열 $b_n=n^3$ 및 (−1, 1, −1, 1, …로 시작하는) $c_n=(-1{)}^n$은 둘 다 발산입니다.
만약 수열이 수렴하면, 그것이 수렴하는 값은 유일합니다. 이 값은 수열의 극한(limit)으로 불립니다. 수렴하는 수열 $(a_n)$의 극한은 통상적으로 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n}$로 표시됩니다. 만약 $(a_n)$은 발산하는 수열이면, 표현 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n}$은 의미가 없습니다.

Formal definition of convergence

실수의 수열 $(a_n)$은, 만약, 모든 $\epsilon >0$에 대해, 모든 $n\ge N$에 대해 우리가
$$$|a_n-L|<\epsilon .$
을 가지는 것을 만족하는 자연수 $N$이 존재하면, 실수 $L$에 수렴(converges to)합니다.
만약 $(a_n)$이 실수의 수열이라고 보다는 복소수의 수열이면, 이 마지막 공식은, $|\cdot |$이 복소수 모듈러스, 즉, $|z|=\sqrt{z^{\ast }z}$을 나타내는 규정과 함께, 수렴을 정의하는 것에 여전히 사용될 수 있습니다. 만약 $(a_n)$이 메트릭 공간(metric space)에서 점의 수열이면, 공식은, 만약 표현 $|a_n-L|$이, $a_n$과 $L$ 사이의 거리(distance)를 나타내는, 표현 $\text{dist}(a_n,L)$으로 대체되면, 수렴을 정의하는 것에 사용될 수 있습니다.

Applications and important results

만약 $(a_n)$과 $(b_n)$은 수렴하는 수열이면, 따라오는 극한이 존재하고 다음처럼 계산될 수 있습니다:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n\pm b_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\pm \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n$
• 모든 실수 $c$에 대해, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}c{a}_n=c\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n{b}_n)=\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\right)\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n\right)$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n}$, 여기서 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n\ne 0$
• 모든 $p>0$ 및 $a_n>0$에 대해, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n^p={\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\right)}^p$ 

게다가:

• 만약 어떤 $N$보다 더 큰 모든 $n$에 대해 $a_n\le b_n$이면, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n$입니다.
• (조임 정리(Squeeze theorem)) : 만약 $(c_n)$이 모든 $n>N$ {{nowrap|및 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=L$}}에 대해 $a_n\le c_n\le b_n$을 만족하는 수열이면, $(c_n)$은 수렴하고, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{c}_n=L$입니다.
• 만약 수열이 경계져(bounded) 있고 단조적(monotonic)이면 그것은 수렴합니다.
• 수열이 수렴하는 것과 그의 부분-수열의 모두가 수렴하는 것은 필요충분 조건입니다.

 
 

Cauchy sequences

코시 수열은 n이 매우 커져갈 때 그의 항이 함께 임의로 근접하게 되는 수열입니다. 코시 수열의 개념은 메트릭 공간(metric spaces)에서 수열의 연구, 및, 특히, 실수 해석학(real analysis)에서 중요합니다. 실수 해석학에서 특히 중요한 결과 중 하나는 수열에 대해 수렴의 코시 특성화(Cauchy characterization of convergence for sequences)입니다:

• 실수의 수열이 (실수에서) 수렴하는 것과 그것이 코시인 것은 필요충분 조건입니다.

반면에, 유리수(rational numbers)에서 수렴하지 않는 유리수의 코시 수열이 있습니다, 즉, $x_1=1$ 및 $x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{2}{x_n}}{2}$로 정의된 수열은 코시이지만, 유리수 극한을 가지지 않습니다 (비교. 여기). 보다 일반적으로, 무리수(irrational number)에 수렴하는 유리수의 임의의 수열은 코시이지만, 유리수의 집합에서 수열로 해석될 때 수렴하지 않습니다.
수열에 대해 수렴의 코시 특성화를 만족시키는 메트릭 공간은 완비 메트릭 공간(complete metric space)이라 불리우고 해석학에 대해 특히 유용합니다.

Infinite limits

미적분학에서, 위에서 논의된 의미에서 수렴하지는 않지만, 대신에 임의로 커지고 유지되는, 또는 음으로 임의로 커지고 유지되는 수열에 대한 표기법을 정의하는 것이 공통적입니다. 만약 $a_n$이 $n\to \mathrm{\infty }$일 때 임의로 커지면, 우리는 다음으로 씁니다:
$$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }.}$
이 경우에서, 우리는 수열이 발산한다(diverges), 또는 그것이 무한대에 수렴한다(converges to infinity)고 말합니다. 그런 수열의 예제는 $a_n=n$입니다.
만약 $a_n$이 $n\to \mathrm{\infty }$일 때 임의적으로 음수이면 (즉, 음수이고 크기에서 커지면), 우리는 다음으로 씁니다:
$$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=-\mathrm{\infty }}$
그리고 수열은 발산한다(diverges) 또는 음의 무한대로 수렴한다(converges to negative infinity)라고 말합니다.

Series

급수(series)는, 비공식적으로 말하면, 수열의 항의 합입니다. 즉, 그것은 형식 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 또는 $a_1+a_2+\cdots$의 표현이며, 여기서 $(a_n)$은 실수 또는 복소수의 수열입니다. 급수의 부분 합(partial sums)은 무한대 기호를 유한 숫자로 바꾼 것의 결과 표현입니다, 즉, 급수 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$의 N번째 부분 합은 다음 숫자입니다:
$$${\displaystyle S_N=\sum _{n=1}^N{a}_n=a_1+a_2+\cdots +a_N.}$
부분 합 자체는 수열 $(S_N{)}_{N\in \mathbb{N}}$을 형성하며, 이것은 급수 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$의 부분 합의 수열(sequence of partial sums)로 불립니다. 만약 부분 합의 수열이 수렴하면, 우리는 급수 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$이 수렴한다(convergent)고 말하고, 극한 ${\displaystyle \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_N}$은 급수의 값(value)이라고 불립니다. 같은 표기법은 급수와 그의 값을 나타내는 것에 사용하며, 즉, 우리는 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_N}$를 씁니다.

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Topology

수열은 토폴로지, 특히 메트릭 공간(metric spaces)의 연구에서 중요한 역할을 합니다. 예를 들어:

• 메트릭 공간(metric space)은, 그것이 수열적으로 컴팩트(sequentially compact)일 때, 정확하게 컴팩트(compact)입니다.
• 메트릭 공간에서 또 다른 메트릭 공간으로의 함수는, 그것이 수렴하는 수열에서 수렴하는 수열로 취해질 때 정확하게 연속(continuous)입니다.
• 메트릭 공간이 연결된 공간(connected space)인 것과 공간이 두 집합으로 분할될 때마다, 두 집합 중 하나가 나머지 다른 집합 안의 한 점에 수렴하는 수열을 포함하는 것은 필요충분 조건입니다.
• 토폴로지적 공간(topological space)은 점들의 조밀한 수열이 있을 때 정확하게 분해-가능(separable)입니다.

수열은 네트(nets) 또는 필터(filters)로 일반화될 수 있습니다. 이들 일반화는 위의 정리의 일부를 메트릭없이 공간으로 확장하는 것을 허용합니다.

Product topology

토폴로지적 공간의 수열의 토폴로지적 곱(topological product)은, 곱 토폴로지(product topology)로 불리우는 자연 토폴로지(natural topology)를 갖춘, 그들 공간의 데카르트 곱(cartesian product)입니다.
보다 공식적으로, 공간 $(X_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$의 수열이 주어지면, 곱 공간
$$$X:=\prod _{i\in I}{X}_i,$
은 각 i에 대해, $x_i$가 $X_i$의 원소인 것을 만족하는 모든 수열 $(x_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$의 집합으로 정의됩니다. 정식의 투영(canonical projections)은 방정식 $p_i((x_j{)}_{j\in \mathbb{N}})=x_i$으로 정의된 맵 $p_i:X\to X_i$입니다. 그런-다음 X 위의 곱 토폴로지(product topology)는 모든 투영 $p_i$가 연속(continuous)인 것에 대해 가장-엉성한 토폴로지(coarsest topology) (즉, 가장-적은 열린 집합을 갖는 포톨로지)으로 정의됩니다. 곱 토폴로지는 티호노프 토폴로지(Tychonoff topology)로 때때로 불립니다.

Analysis

해석학(analysis)에서, 수열에 대해 얘기할 때, 우리는 일반적으로 다음 형태의 수열을 고려할 것입니다:
$$$(x_1,x_2,x_3,\dots )\text{ or }(x_0,x_1,x_2,\dots )$
말하자면, 원소의 무한 수열은 자연수(natural number)로 인덱스됩니다.
그것은 1 또는 0과 다른 인덱스로 시작하는 수열을 가지는 것이 편리할 수 있을 것입니다. 예를 들어, $x_n=1/\log (n)$으로 정의된 수열은 오직 n ≥ 2에 대해 정의될 것입니다. 그런 무한 수열에 대해 얘기할 때, 그것은 수열의 구성원이 적어도 충분히 큰(large enough) 모든 인덱스, 즉 어떤 주어진 N보다 더 큰 것에 대해 정의된다고 가정하는 것으로 보통 충분합니다 (그리고 대부분 고려-사항에 대해 많이 변하지 않습니다).
수열의 가장 기초적인 유형은 숫자의 수열, 즉 실수(real) 또는 복소수(complex)의 수열입니다. 이 유형은 일부 벡터 공간의 원소의 수열로 일반화될 수 있습니다. 해석학에서, 고려된 벡터 공간(vector space)은 종종 함수 공간(function space)입니다. 훨씬 더 일반적으로, 우리는 어떤 토폴로지적 공간(topological space)에서 원소를 갖는 수열을 연구할 수 있습니다.

Sequence spaces

수열 공간(sequence space)은 그의 원소가 실수(real) 또는 복소수(complex)의 무한 수열인 벡터 공간(vector space)입니다. 동등하게, 그것은, 그의 원소가 자연수에서 필드 K로의 함수인 함수 공간(function space)이며, 여기서 K는 실수의 필드 또는 복소수의 필드입니다. 모든 그러한 함수의 집합은 K 안의 원소를 갖는 모든 가능한 무한 수열의 집합으로 자연스럽게 식별되고, 함수의 점마다 덧셈(pointwise addition)과 점마다 스칼라 곱셈의 연산 아래에서 벡터 공간(vector space)으로 바뀔 수 있습니다. 모든 수열 공간은 이 공간의 선형 부분-공간(linear subspace)입니다. 수열 공간은 전형적으로 노름(norm), 또는 적어도 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space)의 구조를 갖춥니다.
해석학에서 가장 중요한 수열 공간은 ${\ell }^p$ 공간이며, p-노름을 갖는, p-거듭제곱 합-가능한 수열로 구성됩니다. 이들은 자연수의 집합 위에 셈 측정(counting measure)에 대해 Lp 공간(Lp spaces)의 특별한 경우입니다. 수렴하는 수열 또는 널 수열(null sequence)과 같은 수열의 다른 중요한 클래스는, 높은 노름을 갖는, 각각 $c$와 $c_0$로 표시되는, 수열 공간을 형성합니다. 임의의 수열 공간은 역시 점마다 수렴(pointwise convergence)의 토폴로지(topology)를 갖출 수 있으며, 이 토폴로지 아래에서 그것은 FK-공간(FK-space)으로 불리우는 프레셰 공간(Fréchet space)의 특별한 종류가 됩니다.

Linear algebra

필드에 걸쳐 수열은 벡터 공간(vector space)에서 벡터(vectors)로 역시 보여질 수 있습니다. 특히, F-값 수열 (F는 필드(field))의 집합은 자연수 집합에 걸쳐 F-값 함수의 함수 공간(function space) (사실, 곱 공간(product space))입니다.

Abstract algebra

추상 대수학은 수열의 여러 유형을 사용하며, 그룹 또는 링과 같은 수학적 대상의 수열을 포함합니다.

Free monoid

만약 A가 집합이면, (클레이니 스타(Kleene star)라고 역시 불리우는, A*로 표시되는) A에 걸쳐 자유 모노이드(free monoid)는 연쇄의 이항 연산을 갖는, A의 영 이상의 원소의 유한 수열 (또는 문자열)을 포함하는 모노이드(monoid)입니다. 자유 반-그룹(free semigroup) $A^{+}$는 빈 수열을 제외한 모든 원소를 포함하는 A*의 부분 반-그룹입니다.

Exact sequences

그룹 이론(group theory)의 문맥에서, 그룹(groups)의 수열
$$${\displaystyle G_0\stackrel{f_1}{\to }{G}_1\stackrel{f_2}{\to }{G}_2\stackrel{f_3}{\to }\cdots \stackrel{f_n}{\to }{G}_n}$
과 그룹 준동형(group homomorphism)은, 만약 각 준동형의 이미지(image) (또는 치역(range))이 다음의 커널(kernel)과 같으면, 완전(exact)이라고 불립니다:
$$${\displaystyle \mathrm{im}(f_k)=\ker (f_{k+1})}$
그룹의 수열과 준동형은 유한 또는 무한이 될 수 있을 것입니다.
비슷한 정의는 어떤 다른 대수적 구조(algebraic structure)에 대해 만들어질 수 있습니다. 예를 들어, 우리는 벡터 공간(vector space)과 선형 맵(linear map), 또는 모듈(modules)과 모듈 준동형(module homomorphism)의 완전 수열을 가질 수 있습니다.

Spectral sequences

호몰로지 대수학(homological algebra) 및 대수적 토폴로지(algebraic topology)에서, 스펙트럼 수열(spectral sequence)은 연속적인 근사를 취하여 호몰로지 그룹을 계산하는 수단입니다. 스펙트럼 수열은 완전 수열(exact sequence)의 일반화이고, Jean Leray (1946)에 의해 그들의 도입 이후, 그들은, 특히 호모토피 이론(homotopy theory)에서, 중요한 연구 도구가 되어져 왔습니다.

Set theory

순서-숫자-인덱스 수열(ordinal-indexed sequence)은 수열의 일반화입니다. 만약 $\alpha$가 극한 순서-숫자(limit ordinal)이고 X가 집합이면, X의 원소의 $\alpha$-인덱스 수열은 $\alpha$에서 X로의 함수입니다. 이 용어에서, $\omega$-인덱스 수열은 보통의 수열입니다.

Computing

컴퓨터 과학에서, 유한 수열은 목록(lists)으로 불립니다. 잠재적으로 무한 수열은 스트림(streams)으로 불립니다. 문자 또는 자릿수의 유한 수열은 문자열(string)로 불립니다.

Streams

유한(finite) 알파벳(alphabet)에서 그려진 자릿수(digits) (또는 문자(characters))의 무한 수열은 이론적 컴퓨터 과학(theoretical computer science)에서 특히 관심이 있습니다. 그들은 유한 문자열(strings)과는 달리 수열(sequences) 또는 스트림(streams)으로 간단하게 종종 참조됩니다. 무한 이진 수열은, 예를 들어, 비트(bit)의 무한 수열 (알파벳 {0, 1}로부터 그려진 문자들)입니다. 모든 무한 이진 수열의 집합 $C=\{0,1{\}}^{\mathrm{\infty }}$은 칸토어 공간(Cantor space)이라고 때때로 불립니다.
무한 이진 수열은 수열의 n 번째 비트를 1로 설정하여 형식적 언어(formal language) (문자열의 집합)를 나타낼 수 있는 것과 (단락 순서(shortlex order)에서) n 번째 문자열이 언어에 있는 것은 필요충분 조건입니다. 이 표현은 증명에 대해 대각화 방법(diagonalization method)에 유용합니다.

External links

 

• "Sequence", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Journal of Integer Sequences (free)
• "Sequence". PlanetMath.