(중학교) 현의 길이 성질

 

원의 중심에서 같은 거리에 있는 두 현의 길이 사이에 관계를 알아보고자 합니다.

그림처럼, 원 $\mathrm{O}$의 중심에서 같은 거리에 있는 두 현 $\mathrm{A}\mathrm{B},\mathrm{C}\mathrm{D}$이 있습니다. 

먼저, 원의 중심에서 각 현에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{M},\mathrm{N}$이라고 놓습니다. 

그런-다음 원의 중심에서 두 점 $\mathrm{A},\mathrm{C}$를 각각 연결해서 만들어지는 두 직각 삼각형 $\mathrm{△}\mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{M}$, $\mathrm{△}\mathrm{O}\mathrm{N}\mathrm{C}$은 다음 관계를 만족합니다:

• $\mathrm{\angle }\mathrm{O}\mathrm{M}\mathrm{A}=\mathrm{\angle }\mathrm{O}\mathrm{N}\mathrm{C}={90}^{\mathrm{o}}$ : 수선의 발을 내렸기 때문
• $\mathrm{O}\mathrm{A}=\mathrm{O}\mathrm{C}$ : 반지름의 길이(빗변)는 서로 같음
• $\mathrm{O}\mathrm{M}=\mathrm{O}\mathrm{N}$ : 문제에서 주어진 조건

따라서, $\mathrm{△}\mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{M}\equiv \mathrm{△}\mathrm{O}\mathrm{N}\mathrm{C}$ (RHS 합동)입니다.

이 사실로부터 $\mathrm{A}\mathrm{M}=\mathrm{C}\mathrm{N}$이고, $\mathrm{A}\mathrm{B}=2\mathrm{A}\mathrm{M}$과 $\mathrm{C}\mathrm{D}=2\mathrm{C}\mathrm{N}$을 만족하므로, $\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{C}\mathrm{D}$입니다. □

반대로, 한 원에서 같은 길이를 갖는 두 현은 원의 중심에서 같은 거리에 있습니다. 위와 유사한 방법으로 증명될 수 있습니다.