숫자는 음수보다 영이 크고, 영보다 양수가 큽니다. 숫자의 대소 관계를 비교할 때에는, 앞의 이유로 같은 부호에서 크기를 비교합니다.
두 음수 사이의 대소 비교는 절댓값이 작은 것이 절댓값이 큰 것보다 더 큽니다. 예를 들어, –2 > –4입니다.
두 양수 사이의 비교는 절댓값이 큰 것이 절댓값이 작은 것보다 더 큽니다. 예를 들어, 4 > 2입니다.
이제 새롭게 정의된 두 양수 제곱근 사이의 대소 비교를 해 보려고 합니다. 두 음수 제곱근 사이의 비교는 부호를 제외하고 크기를 비교한 후에, 부등호의 방향을 반대로 바꿈으로써 대소 관계를 알 수 있습니다.
예를 들어, \(\sqrt{2}, \sqrt{3}\)은 어느 것이 더 클까요?
먼저, 직접 제곱을 계산해서 두 숫자를 비교할 수 있습니다:
\(\quad\)\(1.4^2=1.96,\;(\sqrt{2})^2=2,\;1.5^2=2.25\)
\(\quad\)\(1.7^2=2.89,\;(\sqrt{3})^2=3,\;1.8^2=3.24\)
따라서, \(\sqrt{2} < \sqrt{3}\)임을 알 수 있습니다.
다음으로, 기하학적 방법으로 계산할 수도 있습니다. 한 변의 길이가 \(x\)인 정사가형은 그것의 넓이로 \(x^2\)을 가집니다. 그리고, 정사각형은 넓이가 큰 것이 넓이가 작은 것보다 한 변의 길이가 더 깁니다.
앞의 예제는 한 변의 길이가 \(\sqrt{2}, \sqrt{3}\)인 정사각형의 넓이가 각각 \(2, 3\)이고, 넓이 \(2<3\)이므로, 변의 길이는 \(\sqrt{2} < \sqrt{3}\)임을 알 수 있습니다.
이것을 일반화하여, 두 양수 \(a,b\)에 대해, 정사각형이 \(\sqrt{a}, \sqrt{b}\)를 변의 길이로 가지면, 그것의 넓이가 \(a < b\)이면, 변의 길이는 \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\)임을 알 수 있습니다.
따라서, 두 양의 제곱근 사이의 대소 비교는 자체를 비교하지 않고, 그것을 제곱한 값을 비교했을 때, 대소 관계가 원래의 대소 관계와 같음을 이용합니다.
다른 예제로서, \(6, \sqrt{35}\) 사이의 대소 관계는 다음과 같이 알 수 있습니다:
\(\quad\)\(6=\sqrt{36}, \sqrt{35} \rightarrow \sqrt{36} > \sqrt{35} \rightarrow 6> \sqrt{35}\)
위의 방법은 주어진 유리수를 제곱근으로 표현하고, 제곱근 안의 숫자 사이를 비교하는 방식이라서, 간단한 숫자를 더 복잡한 숫자로 바꾸는 과정을 거칩니다.
이런 방식보다는 정사각형의 한 변의 길이의 대소 관계는 넓이의 대소 관계와 같다를 이용하는 것이 바람직합니다. 즉,
\(\quad\)\(6, \sqrt{35} \rightarrow 36 > 35 \rightarrow 6 > \sqrt{35}\).
이 방법은 복잡한 제곱근 기호를 제곱해서 없애버리고 간단한 두 숫자를 비교함으로써 위의 것보다 생각하기 더 쉽고, 실수가 적을 수 있습니다.
따라서, 두 양수 \(a,b\)에 대해, 다음이 항상 성립합니다:
\(\quad\)\(a<b\;\)이면, \(\sqrt{a}<\sqrt{b}\)
위의 명제의 반대인 다음도 항상 성립합니다: 두 정사각형의 넓이는 두 정사각형의 한 변의 길이의 대소 관계와 같습니다.
\(\quad\)\(\sqrt{a}<\sqrt{b}\;\)이면, \(a<b\)