이전과정에서 유리수 사이의 사칙 연산을 배웠는데, 이제 무리수 중의 하나인 제곱근 사이의 사칙 연산을 알아보려고 합니다.
먼저, 제곱근의 곱셈을 알아보기 위해, \(\sqrt{2}\times \sqrt{3}\)의 제곱을 수행해 보면,
\(\quad\)\(\begin{align}
\left(\sqrt{2}\times \sqrt{3}\right)^2 & = \left(\sqrt{2}\times \sqrt{3}\right) \times \left(\sqrt{2}\times \sqrt{3}\right) \\
& = \sqrt{2}\times \sqrt{3} \times \sqrt{2}\times \sqrt{3} \\
& = \sqrt{2}\times \sqrt{2} \times \sqrt{3}\times \sqrt{3} \\
& = \left(\sqrt{2}\right)^2 \times \left(\sqrt{3}\right)^2 \\
& = 2 \times 3 \\
\end{align}\)
이것의 양쪽 변에 양의 제곱근을 취하면,
\(\quad\)\(\begin{align}
\sqrt{\left(\sqrt{2}\times \sqrt{3}\right)^2} & = \sqrt{2}\times \sqrt{3} \\
& = \sqrt{2 \times 3} \\
\end{align}\)
따라서, 양수 \(a, b\)에 대해,
\(\quad\)\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)
같은 방법을 나눗셈에 대해 적용하면, 다음 결과를 얻습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac ab}\)
위의 결과는 제곱근 안의 숫자, 또는 문자가 무조건 양수일 때에 적용가능합니다. 어느 하나도 음수로 표현되어서는 안 됩니다!!
다른 경우로써, 제곱근 안의 숫자를 소인수분해했을 때, 일부를 완전제곱수로 표현할 수 있는 경우가 있습니다.
예를 들어,
\(\quad\)\(\begin{align}
\sqrt{12} & = \sqrt{2^2\times 3} \\
& = \sqrt{2^2} \times \sqrt{3} \\
& = 2 \times \sqrt{3} \\
\end{align}\)
따라서, 양수 \(a,b\)에 대해 다음이 성립합니다:
\(\quad\)\(\sqrt{a^2 b} = a \times \sqrt{b}\)