이전과정에서 제곱은 같은 숫자, 또는 미지수를 여러 번 곱하는 것을 참조합니다.
예를 들어, 2의 세제곱은, \(2\times 2 \times 2\)를 의미하고, 간단히 \(2^3\)으로 나타내고, 미지수 \(x\)의 세제곱은 \(x\times x \times x=x^3\)을 의미합니다. 게다가, 계산에서 제곱은 이제곱을 줄여서 사용하는 것으로써, 2의 이제곱이라고 하지 않고, 처음 소개된 것이기 때문에, 생략해서 2의 제곱이라고 말합니다. 다른 제곱은 그 횟수를 명시적으로, 앞의 세제곱처럼, 적어야 합니다.
한편, 근은 일차 방정식, 예를 들어, \(2x=4\)를 풀면, \(x=2\)의 결과를 얻고, 이것을 주어진 일차 방정식의 근 또는 해라고 불립니다.
위 2가지 사실로부터 이제 배우려는 제곱근은 (이)제곱을 한 것의 근과 관련이 있음을 유추해 볼 수 있습니다.
양수의 제곱근
이제, 이런 경우를 생각해 보십시오.
어떤 숫자를 제곱했더니, 결과가 4였습니다. 이 숫자는 무엇일까요?
아마도 쉽게 2를 상상할 수 있을 것으로 보이고, 짝수 제곱은 부호를 양으로 만듦으로써 −2도 될 수 있음을 알 수 있습니다.
즉, \((2)^2=4,\;(-2)^2=4\).
다음으로, 다른 경우로써, 어떤 숫자를 제곱했더니, 결과가 3이었습니다. 이 숫자는 무엇일까요?
이것에 대한 답을 하기가 어려운데, 왜냐하면, 결과가 완전제곱수가 아니라서 어떤 숫자를 제곱했는지 말할 수 없기 때문입니다.
이 값을 구하는 방법으로써, 직접 계산을 시도해 볼 수 있습니다. 이 숫자는 적어도 2보다는 작을 것임을 짐작할 수 있는데, 왜냐하면 \(2^2=4\)이기 때문입니다.
어쨌든, 아래의 값을 참조해서, 서서히 근접한 값을 구할 수 있습니다.
| 값 | 결과 | 값 | 결과 | 값 | 결과 |
| \(1.7^2\) | 2.89 | \(1.73^2\) | 2.9929 | \(1.732^2\) | 2.9998 |
| \(1.8^2\) | 3.24 | \(1.74^2\) | 3.0276 | \(1.733^2\) | 3.0033 |
즉, 위의 결과로부터, 첫 번째 열의 결과인 두 번째 열에서, 구하려는 값은 1.7보다 큼을 알 수 있습니다. 이제 세 번째 열에서 소수점 두 번째 숫자를 더해서 계산을 시도해서, 구하려는 값이 1.73보다 큼을 알 수 있습니다. 이런 식으로 계속해서 시도해 볼 수 있습니다.
이런 식으로 값을 계산해도, 어쨌든, 어떤 숫자를 제곱해서 정확히 3을 만드는 숫자를 유리수로 표현할 수 없음을 알아내게 됩니다.
따라서, \(\pi\)와 마찬가지로 유리수로 나타낼 수 없고, 그런 경우가 완전 제곱수, 등을 제외하고 무수히 많기 때문에, 공통적인 표준 표기법이 필요하게 됩니다.
이런 이유로 제곱해서 3이 되는 숫자를 \(\sqrt{3}\)으로 나타냅니다.
즉, \((\sqrt{3})^2=3,\;(-\sqrt{3})^2=3\).
여기서 \(\sqrt{\;\; }\)은 제곱근 기호라고 불리는데, 그 이유는 조금 더 읽어보시면 나옵니다.
다른 예제로서, 제곱해서 5가 되는 숫자는, 아마도 쉽게, \(\sqrt{5},-\sqrt{5}\)라고 표기할 수 있을 것입니다.
0의 제곱근
다른 경우로서, 제곱해서 0이 되는 숫자는 0임을 알 수 있습니다.
숫자는 크게 양수, 0, 음수로 구성되는데, 양수를 제곱해도 양수이고 음수를 제곱해도 양수이기 때문에, 유일하게 부호를 갖지 않는 것은 0을 제곱해서 0뿐입니다.
따라서, 0의 제곱근은 유일하게 0입니다.
음수의 제곱근
다른 경우로서, 제곱해서 −3이 되는 숫자는 무엇일까요?
이 경우는 또 다른 문제로서, 중등과정에서 다루지 않고, 고등학교 과정에서, 다루어집니다. 관심 있는 분들은 복소수의 정의를 참조하십시오.
어쨌든, 앞에서 언급한 것처럼, 현재까지 배운 숫자는 양수, 0, 음수로 이루어져 있고 이 세 종류는 제곱했을 때, 0 또는 양수의 결과를 제공합니다.
따라서, 중학교 과정에서, 제곱해서 음수가 되는 것은 없다라고 임시적으로 정의하고, 따라서 제곱해서 −3이 되는 숫자는 역시 없다라고 얘기합니다. 제곱해서 음수가 되는 숫자는 중학교 과정에서는 없지만, 실제로는 존재하기 때문에 임시적이라는 표현을 사용했습니다.
일반화
위의 내용을 정리하자면,
- 제곱해서 음수가 되는 것은 없다
- 제곱해서 0이 되는 것은 0뿐이다
- 제곱해서 양수가 되는 것은 2개가 있다.
따라서, 유일하게 답이 하나로 정해져 있지 않는 양수에 대해, 제곱해서 양수 \(a\)가 되는 숫자는 무엇일까요?
이것은 새로운 표기법을 사용하여, \(\sqrt{a},-\sqrt{a}\)라고 답할 수 있습니다.
좀 더 문자를 사용하여 질문하자면, 어떤 숫자 \(x\)를 제곱했더니, 결과가 양수 \(a\)가 되는 \(x\)는 무엇일까요?
즉, \(x^2=a\)를 만족하는 \(x\)는 일차방정식에서 처럼, 주어진 식을 만족하기 때문에, 근이라고 말할 수 있고, 제곱해서 식을 만족해야 하기 때문에, 줄여서 제곱근이라고 불립니다. 좀 더 정확하게 표현하자면, \(a\)의 (이)제곱근 \(x\), 또는 미지수를 제외하고 \(a\)의 제곱근이라고 불립니다.
한편, \(a\)의 제곱근이라는 표현과 제곱근 \(a\)를 혼동해서는 안됩니다. 후자, 제곱근 \(a\)는 \(\sqrt{a}\)를 한글로 읽는 방법입니다. 영어로는 스퀘어 루트 a 또는 줄여서 루트 a라고 읽습니다.
즉, \(a\)의 제곱근은 방정식의 근이라서 \(a\)의 값에 따라 그것의 개수와 표기법이 변하고, 제곱근 \(a\)는 \(\sqrt{a}\)를 말하는 하나의 숫자입니다.
게다가, 수학은 가능한 간단히 나타내는 것을 좋아하기 때문에, \(a\)의 제곱근을 \(\sqrt{a},-\sqrt{a}\)라고 나타내기도 하지만, 간단히 \(\pm\sqrt{a}\)라고 나타내기도 합니다. 더불어, \(\sqrt{a}\)는 \(a\)의 양의 제곱근이라고 불리고, \(-\sqrt{a}\)는 \(a\)의 음의 제곱근이라고 불립니다.